《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》課件 11-1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

第十一章無窮級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、問題的提出二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念三、等比級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用四、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)五、小結(jié)我們?cè)谇懊嫠鶎W(xué)的定積分，所表達(dá)的是一類和式極限。有限和的極限實(shí)際上是無窮多個(gè)數(shù)相加之和，所謂和式極限存在是指無窮多項(xiàng)相加之和是一個(gè)有限數(shù)。下面我們將專門研究無窮和的問題，并把無窮多個(gè)數(shù)相加的式子稱為無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。一、問題的提出1、計(jì)算圓的面積即正六邊形的面積正十二邊形的面積正邊形的面積當(dāng)時(shí)，即為無窮項(xiàng)相加，即是級(jí)數(shù)問題.2、計(jì)算棒長(zhǎng)

“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，如果把每天截取的棒長(zhǎng)相加，到第n天所得之棒長(zhǎng)之和為：

此時(shí)上式中的加項(xiàng)無窮增多，成為無窮多個(gè)數(shù)相加的式子，這就是級(jí)數(shù).顯然總的棒長(zhǎng)小于1，并且n的值愈大，其數(shù)值愈接近于1；當(dāng)時(shí)，的極限為1.二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1、定義一般項(xiàng)給定一個(gè)數(shù)列定義1形如的表達(dá)式，稱為(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)，簡(jiǎn)稱(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù).記作：即部分和部分和數(shù)列2、收斂與發(fā)散

借助于此，我們可以研究級(jí)數(shù)的斂散性，即級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散是由部分和數(shù)列的收斂與發(fā)散定義的，級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散與部分和數(shù)列的斂散性有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.當(dāng)n無限增大時(shí)，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的極限情況為極限存在和不存在兩種，即數(shù)列是收斂與發(fā)散兩種.無窮級(jí)數(shù)收斂定義2

當(dāng)n無限增大時(shí)，如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限s，即則稱無窮級(jí)數(shù)收斂.無窮級(jí)數(shù)發(fā)散定義3

當(dāng)n無限增大時(shí)，如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列沒有極限s，即則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散）存在（不存在）收斂級(jí)數(shù)的和定義4

如果部分和數(shù)列收斂，極限s叫做級(jí)數(shù)的和，并記為無窮級(jí)數(shù)的余項(xiàng)定義5

如果當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)的和s是其部分和的近似值，它們之間的差值稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).想一想：級(jí)數(shù)與數(shù)列的關(guān)系？答：如果給定級(jí)數(shù)，則有部分和數(shù)列.如果給定數(shù)列，則有級(jí)數(shù)與數(shù)列的是同斂散的，且在收斂時(shí)有即解：由于例1判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若該級(jí)數(shù)收斂，則求其和．有故有該級(jí)數(shù)收斂且其和為所以解：由于例2判斷級(jí)數(shù)的斂散性．有即而不存在所以該級(jí)數(shù)發(fā)散解：該級(jí)數(shù)的部分和例3判斷級(jí)數(shù)的斂散性．有即不存在所以該級(jí)數(shù)發(fā)散證明（一）：（反證法）假設(shè)該級(jí)數(shù)收斂，則其前n項(xiàng)的和例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的．有于是顯然對(duì)于它的前2n項(xiàng)的和，也有，但是與所以調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.

矛盾，從而假設(shè)不成立，證明（二）：子序列無極限，所以不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散.證明（三）：所以級(jí)數(shù)發(fā)散.利用時(shí)，有三、等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用1、等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）的定義定義6

無窮級(jí)數(shù)叫做等比級(jí)數(shù)（又稱幾何級(jí)數(shù)），其中,q叫做公比.2、等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）的斂散性判定定理

（1）當(dāng)時(shí)，收斂，且其和為（2）當(dāng)時(shí)，發(fā)散.證明:的部分和（1）當(dāng)時(shí)，由于，從而有，因此級(jí)數(shù)收斂，且其和（2）當(dāng)時(shí)，由于，從而有，因此級(jí)數(shù)發(fā)散.（3）當(dāng)時(shí)，如果，則，有因此級(jí)數(shù)發(fā)散.因此級(jí)數(shù)發(fā)散.如果，級(jí)數(shù)變?yōu)?，故不存在，綜上所述當(dāng)時(shí)，收斂于當(dāng)時(shí)，發(fā)散公比，且例5級(jí)數(shù)例6級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)發(fā)散公比所以級(jí)數(shù)收斂，且其和為3、銀行通過存款和放款“創(chuàng)造”貨幣問題若記，稱為貨幣創(chuàng)造乘數(shù)。如果最初存款是既定的，法定準(zhǔn)備金率r越低，銀行存款和放款的總額越大，這個(gè)問題就是一個(gè)等比級(jí)數(shù)的問題。設(shè)R表示最初存款，D表示存款總額（即最初存款“創(chuàng)造”貨幣總額），r表示法定準(zhǔn)備金占存款的比例，且，當(dāng)存款與放款一直進(jìn)行下去時(shí)，則例7設(shè)某銀行最初的存款為5000萬(wàn)元，法定準(zhǔn)備金率為20%，試計(jì)算該銀行的存款總額和貸款總額．解：決定，其和為根據(jù)題意可知R=5000，，存款總額由決定，其和為貸款總額由級(jí)數(shù)4、投資費(fèi)用問題設(shè)初期投資為p，年利率為r，t

年重復(fù)一次投資。這樣第一次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為，第二次更新費(fèi)用的現(xiàn)值為，依此類推，投資費(fèi)用D為下列等比數(shù)列之和例8某城市建一座鋼橋的費(fèi)用為680000元，每隔5年需要油漆一次，每次費(fèi)用為50000元，這座橋的期望壽命為50年；建造一座木橋的費(fèi)用為300000每隔2年需要油漆一次，每次的費(fèi)用為30000元，其期望壽命為15年，若年利率為10%，試計(jì)算建造鋼橋和木橋的現(xiàn)值為多少？解：對(duì)建造鋼橋建橋的費(fèi)用+油漆的費(fèi)用根據(jù)題意，橋的總費(fèi)用包括兩部分：建鋼橋的費(fèi)用為其中，則所以，建造鋼橋的總費(fèi)用的現(xiàn)值為油漆鋼橋的費(fèi)用為油漆木橋的費(fèi)用為所以，建造木橋的總費(fèi)用的現(xiàn)值為類似的，建造木橋的費(fèi)用為四、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1

如果級(jí)數(shù)收斂，且其和為s，那么級(jí)數(shù)也收斂，且其和為ks.

證明:則所以級(jí)數(shù)收斂，且和為設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)的部分和為于是有注意在中，如果無極限且，那么的極限也不存在.結(jié)論無窮級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)不為零的常數(shù)后，它的收斂性不會(huì)改變.2.級(jí)數(shù)例如:1.級(jí)數(shù)發(fā)散證明:則級(jí)數(shù)的部分和設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)的部分和為性質(zhì)2

如果級(jí)數(shù)與分別收斂于s和，那么級(jí)數(shù)

也收斂也收斂，且其和為.

故有所以級(jí)數(shù)收斂，且和為結(jié)論兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減問題:1.級(jí)數(shù)一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？2.兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散能否得出肯定結(jié)論？（1.發(fā)散；2.不一定.)性質(zhì)2

如果級(jí)數(shù)與分別收斂于s和，那么級(jí)數(shù)

也收斂也收斂，且其和為.

解：由性質(zhì)1知都是收斂的等比級(jí)數(shù)，且由于與例9討論級(jí)數(shù)的斂散性.收斂，且其和為由性質(zhì)2知收斂，且其和為例9討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：所以新級(jí)數(shù)的部分和證明:設(shè)將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉，則得到級(jí)數(shù)性質(zhì)3

在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.

其中是原來級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的和.由于是常數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，與或者同時(shí)有極限，或者同時(shí)無極限.

證明:仍收斂，且其和不變.性質(zhì)4

如果級(jí)數(shù)收斂，那么對(duì)該級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所形成的新的級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，加括號(hào)之后所形成的新的級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，則有即加括號(hào)之后所形成的新的級(jí)數(shù)收斂，且其和不變.由此可見，數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列。由數(shù)列

的收斂性以及收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系可知，數(shù)列必定收斂，且有注意(3)正項(xiàng)級(jí)數(shù)加括弧與去括弧均不影響其斂散性.例如收斂(1)收斂級(jí)數(shù)可以加括號(hào)，但收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.發(fā)散(2)如果加括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.證明:性質(zhì)5

（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)收斂，那么當(dāng)時(shí)它的一般項(xiàng)趨于零，即設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為由于級(jí)數(shù)收斂，有故有結(jié)論如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零（包含不存在的情形），則級(jí)數(shù)必定發(fā)散.例如級(jí)數(shù)一般項(xiàng)在時(shí)的極限不等于零，即故該級(jí)數(shù)發(fā)散.注意例如調(diào)和級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，即如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零,則級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.雖然有但是它