《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊 第2版》課件 11-3 任意項級數(shù)及其審斂法

第十一章無窮級數(shù)第三節(jié)任意項級數(shù)及其審斂一、交錯級數(shù)及其審斂法二、絕對收斂與條件收斂三、小結(jié)一、交錯級數(shù)及其審斂法其形式為定義1

如果級數(shù)的各項是正負(fù)交錯的，那么稱該級數(shù)為

交錯級數(shù).其中或如：那么交錯級數(shù)收斂，且其和，其余項的絕對值．如果交錯級數(shù)滿足以下兩個條件：（2）.（1）；定理1（萊布尼茨定理）證：所以數(shù)列是單調(diào)增加的又所以數(shù)列是有界的如果交錯級數(shù)滿足以下兩個條件：（2）.（1）；定理1（萊布尼茨定理）證：所以級數(shù)收斂于和，且余項滿足收斂的兩個條件,也為交錯級數(shù)那么交錯級數(shù)收斂，且其和，其余項的絕對值．解：因為例1判定交錯級數(shù)的斂散性．且由萊布尼茨定理可知是收斂的，且其和，如果取前n項的和作為s的近似值，所產(chǎn)生的誤差．解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，由于一般項極限例2判定級數(shù)的斂散性．不存在因此，可知發(fā)散．例3判定級數(shù)的斂散性．分析：作輔助函數(shù)，顯然當(dāng)時，在為單調(diào)減函數(shù)求解：于是，有下式成立：（1）故在為單調(diào)減函數(shù)（2）由萊布尼茨定理可知收斂，且其和例3判定級數(shù)的斂散性．則注意：1、萊布尼茨判別法是判定級數(shù)收斂的充分而非必要條件；2、判定的方法（3）相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性.（2）思考：萊布尼茨判別法的條件其中之一不成立，結(jié)果如何？（1）二、絕對收斂與條件收斂定義2

正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).任意項級數(shù)正項級數(shù)任意項級數(shù)的各項取絕對值問題:

如何研究任意項級數(shù)的斂散性問題？定義3絕對收斂：如果級數(shù)各項的絕對值所構(gòu)成的正項級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；條件收斂：如果級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂．通過正項級數(shù)的斂散性判斷任意項級數(shù)的斂散性.定理2

如果級數(shù)絕對收斂，那么級數(shù)必定收斂．證：收斂顯然且又令收斂收斂解：（1）由，而收斂，例4判定級數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．解：例4判定級數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）（2）由于而級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散.又因為由萊布尼茨定理知級數(shù)（2）收斂.綜上，級數(shù)(2)條件收斂解：例4判定級數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）（3）由于而發(fā)散,因此發(fā)散.解：例4判定級數(shù)的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．（1）（3）（2）所以有令則故在區(qū)間上為單增的函數(shù),從而函數(shù)在區(qū)間上為單減的正值函數(shù).由萊布尼茨定理可知級數(shù)是收斂的且是條件收斂．（3）證：由正項級數(shù)比值審斂法可知：定理3

如果任意項級數(shù)滿足條件（其中

可以為），則當(dāng)時，級數(shù)收斂，且為絕對收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散．（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂，從而級數(shù)收斂且為絕對收斂；（2）當(dāng)時，為遞增數(shù)列，從而，故有級數(shù)是發(fā)散的．解：（1）由于例5判定下列級數(shù)的斂散性．（1）（2）因此級數(shù)發(fā)散．所以此級數(shù)收斂，且為絕對收斂．例5判定下列級數(shù)的斂散性．（1）（2）解：