《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》習(xí)題及答案 第12、13章 微分方程、差分方程

習(xí)題12—1（A）1.指出下列各微分方程的階數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；答案：（1）一階；（2）一階；（3）二階；（4）三階；（5）五階；（6）二階；（7）四階.2.驗(yàn)證下列各函數(shù)是否為所給微分方程的解.如果是解，請(qǐng)指出是通解，還是特解？（1）函數(shù)，微分方程；（2）函數(shù)，微分方程；（3）由確定的函數(shù)，微分方程；（4）函數(shù)（其中是給定的實(shí)數(shù)），微分方程．解：（1）因?yàn)椋笫接沂?，所以函?shù)是微分方程解．又因?yàn)楹瘮?shù)不包含任意常數(shù)，所以是特解．（2）因?yàn)?，即，所以函?shù)是微分方程解，但是由于中只有一個(gè)任意常數(shù)，又因?yàn)槲⒎址匠淌嵌A的，所以既不是微分方程的通解，也不是特解，只是解．（3）等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，整理得，所以由確定的函數(shù)是的解，又中含有一個(gè)任意常數(shù)，而是一階微分方程，所以是通解．（4）因?yàn)椋瑒t有，所以．當(dāng)時(shí)，，則是微分方程的解，并且是特解；當(dāng)時(shí)，，則不是微分方程的解．3.若函數(shù)是微分方程的解，求的值．解：由得，，，將它們代入微分方程，得，所以，或．4．驗(yàn)證下列所給的各函數(shù)是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解.（1）函數(shù)，微分方程，初始條件；（2）函數(shù)，微分方程，初始條件；（3）函數(shù)，微分方程，初始條件，.解：（1）因?yàn)椋裕种泻幸粋€(gè)任意常數(shù)，是一階微分方程，所以函數(shù)是微分方程的通解．由，可得，所以微分方程滿足初始條件的特解是．（2）對(duì)隱函數(shù)的兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，即．又中含有一個(gè)任意常數(shù)，是一階微分方程，所以隱函數(shù)是微分方程的通解．由，可得，所以微分方程滿足初始條件的特解是．（3）因?yàn)?，，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，而是二階微分方程，所以是微分方程的通解．由初始條件，，有得，，所以微分方程滿足初始條件，的特解是．習(xí)題12—1（B）1．給定微分方程，（1）求過(guò)點(diǎn)的積分曲線方程；（2）求出與直線相切的積分曲線方程．解：易驗(yàn)證是微分方程的通解．（1）由曲線過(guò)點(diǎn)，有，得，所求積分曲線為．（2）若曲線與直線相切，則有（斜率相等），得．當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)為，將其代入，有，得，所求曲線為．2．將積分方程（其中是連續(xù)函數(shù)）轉(zhuǎn)化為微分方程，給出初始條件，并求函數(shù)．解：將兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，即，這就是所求的微分方程，容易得到其通解為．將代入到原方程中，有，得初始條件為，所以有，得，所求函數(shù)為．

習(xí)題12—2（A）1.求下列可分離變量的微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）分離變量，兩邊積分，整理得通解為．（2）分離變量，兩邊積分，整理得通解為，或?qū)懽鳎?）分離變量，兩邊積分，整理得通解為，進(jìn)而原方程通解為：．（4）分離變量有，整理得，兩邊積分，整理得通解為，進(jìn)而原方程通解為：．2.求下列齊次方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）將方程改寫為，令，則，于是原方程化為，即，積分得，即，所以原方程通解為．（2）將方程改寫為，令則，于是原方程化為，即，積分得，即，所以原方程通解為．（3）將方程改寫為，令，則，于是原方程化為，即，積分得，即，所以原方程通解為．（4）將方程改寫為，令，則，于是原方程化為，即，積分得，即（其中，所以原方程通解為，或?qū)懽鳎?.求下列一階線性微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法一：相應(yīng)齊次方程為，即，積分得，即（其中．令，代入原方程，有，即，得，所以原方程通解為．法二：、，方程通解為．（2）、，方程通解為．（3）、，方程通解為．（4）方程化為，則有、，方程通解為．4．求下微分方程滿足所給初始條件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），．解：（1）這是可分離變量方程，分離變量為，積分得，即方程通解為．由，有，方程特解為．（2）這是齊次方程，令，則，于是原方程化為，即，積分得，即方程的通解為（其中．由，可得，所以方程特解為．（3）這是一階線性方程，，因此，方程通解為．由，有，得，方程特解為．（4）原方程可化為，這是一階線性方程，、，方程通解為．由，有，得，所以方程特解為．習(xí)題12—2（B）1．求下列伯努利微分方程的通解：（1）；（2）．解：（1），令（），則原方程化為，即，該方程通解為．所以，原方程通解為．（2），令（），則原方程化為，即，該方程通解為．所以，原方程通解為．2．用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，則，于是，分離變量有，積分得，原方程通解為．（2）令，則，于是，即，分離變量得，或，積分得，所以原方程通解為．（3）令，則，于是，分離變量得，積分得，即，所以原方程通解為．（4），即，則，原方程化為，分離變量有，該方程通解為，即，所以原方程通解為．3．求微分方程的通解．解：將方程改寫為這是以為未知函數(shù)的齊次方程，為此令，則，于是方程化為，分離變量有，積分得，即，進(jìn)而原方程通解為．4．求微分方程的通解．解：方程改寫為，即，這是一階線性微分方程，通解為．５．設(shè)函數(shù)連續(xù)，且不恒為零，若，求函數(shù)．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，分離變量有，得通解為．記，則，令，得初始條件．用代入到之中，有，所以．由，得，所以．６．設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，求函數(shù)．解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，令，則方程可以改寫為，即，這是一階線性微分方程，通解為．用代入到方程之中，得初始條件，于是，故，于是，即所以函數(shù)為（注：根據(jù)初始條件，所以不能?。?/p>

習(xí)題12—3（A）1.求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1），．（2），，．（3）方程不顯含，令，則，于是，分離變量為，積分得，即（其中，于是原方程降階為，原方程通解為．（4）方程不顯含，令，則，于是，這是一階線性微分方程，其通解為，于是原方程降階為，所以原方程的通解為．（5）方程不顯含，令，則，于是，即，這是可分離變量的方程，先分離變量，再兩邊積分，并整理可得．所以，解得，這就是原方程的通解．2.求下列各微分方程滿足初始條件的特解：（1），，，；（2），，；（3），，．解：（1），由，得，所以；，由，得，所以；，由，得，所以方程滿足初始條件的特解為．（2）方程不顯含，令，則，原方程化為，此方程通解為，即，由，得，從而，此方程通解為，由，得，所以方程滿足初始條件的特解為．（3）方程不顯含，令，則，于是，分離變量有，積分得，即，由，可知道，所以，再由，，得，所以．分離變量有，積分得，由，得，于是，化簡(jiǎn)為，這就是方程滿足初始條件的特解．習(xí)題12—3（B）1.求下列各微分方程的通解：（1）（，為常數(shù)）；（2）；（3）．解：（1）由于，，故原方程的通解為．（２）方程不顯含，令，則，于是，即，這是齊次方程，令，則，原方程化為，分離變量有，積分得，即，原方程降階為，原方程通解為．（３）方程既不顯含，也不顯含．（方法1）令，則，則，分離變量有，積分得，即，原方程降階為，所以原方程的通解為．（方法2）令，則，于是，分離變量有，積分得，即原方程降階為，分離變量為，積分得，化簡(jiǎn)為，這就是原方程的通解．2.求下列各微分方程滿足初始條件的特解：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）按不顯含的方程求解，（注：本題按不顯含方程求解困難）．令，則，于是，分離變量有，積分得，即，由，得，于是，積分得，由，得，所以方程滿足初始條件的特解為．（2）令，則，得，因?yàn)椴粷M足初始條件，所以，分離變量有，積分得，即．由初始條件，，有，得，故．分離變量，積分并整理得．再由初始條件，得，所以原方程滿足初始條件的特解為．（3）這是不含的二階可降階微分方程，令，則，則方程化為．因?yàn)椴粷M足初始條件，所以，分離變量有，積分得，解得．由初始條件，，有，得，故，分離變量有，積分得，再由初始條件，得，所以原方程滿足初始條件的特解為，即．

習(xí)題12—4（A）1．指出下列各對(duì)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的線性相關(guān)性：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與；（5）與；（6）與；（7）與；（8）與（）．解：（1）因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān)．（2）因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān)．（3）因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān)．（4）因?yàn)楹銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)．（5）因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān)．（6）因?yàn)楹銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)．（7）因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān)．（8）因?yàn)楹銥槌?shù)，所以與在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)．2．驗(yàn)證函數(shù)，是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，并寫出該方程的通解．解：因?yàn)椋?，因此，所以是的解；同理，是的解．又因?yàn)椴缓銥槌?shù)，所以函數(shù)，是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解．因此二階線性齊次微分方程通解為．3．通過(guò)觀察給出微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，并寫出該方程的通解．解：是二階線性齊次微分方程，改寫為，二階導(dǎo)數(shù)與自身呈相反數(shù)的函數(shù)有，，它們是的兩個(gè)解，又不恒為常數(shù)，于是，線性無(wú)關(guān)，所以方程的通解為．4．寫出下列各二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）特征方程為，即，特征根為、（不相等實(shí)根），所以方程的通解是．（２）特征方程為，即，特征根為（兩個(gè)相等實(shí)根），所以方程的通解是．（3）特征方程為，由二次代數(shù)方程求根公式，得特征根為（一對(duì)共軛復(fù)根），所以方程的通解是．（4）特征方程為，特征根為、（不同實(shí)根），所以方程的通解是（注意是自變量，是因變量）．5．求下列各微分方程滿足初始條件的特解：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）特征方程為，即，特征根為、，所以方程的通解是，且．由初始條件，，有得所以方程滿足初始條件，的特解是．（2）特征方程為，即，特征根為，所以方程的通解是，且．由初始條件，，有得所以方程滿足初始條件，的特解是．（3）特征方程為，由二次代數(shù)方程求根公式，得特征根為，所以方程的通解是，且．由初始條件，，有得所以方程滿足初始條件，的特解是．

6．求下列各二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）相應(yīng)齊次方程為，特征方程，特征根為，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，不是特征根，因此設(shè)，將其代入到原方程之中，有，比較系數(shù)得，于是原方程的一個(gè)特解為．原方程的通解為．（2）相應(yīng)齊次方程為，特征方程，即，特征根為，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，是二重特征根，因此設(shè)，將其代入到原方程之中，化簡(jiǎn)有，得，于是原方程的一個(gè)特解為，原方程的通解為．（3）相應(yīng)齊次方程為，特征方程，即，特征根為，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，不是特征根，因此設(shè)，代入到原方程之中，有，比較系數(shù)有得，于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解為．（4）相應(yīng)齊次方程為，特征方程，特征根為，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，，是單重特征根，因此設(shè)，將其代入到原方程之中，化簡(jiǎn)有，比較系數(shù)得，于是原方程的一個(gè)特解為，所以原方程的通解為．7．求下列各二階常系數(shù)線性非齊次微分方程滿足初始條件的特解：（1），，；（2），，；解：（1）相應(yīng)齊次方程為，特征方程，特征根為、，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，、是單重特征根，因此設(shè)，代入到原方程之中，有，得，，于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解為．，由初始條件，，有得、，所以方程滿足初始條件，的特解為．（2）相應(yīng)齊次方程為，特征方程，特征根為，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，不是特征根，因此設(shè)，代入到原方程之中，有，得于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解為．，由初始條件，，有得、，所以方程滿足初始條件，的特解為．8.求常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解.解：相應(yīng)齊次方程為，特征方程，特征根為，相應(yīng)齊次方程通解為．這里，將其分為，、．對(duì)，這里是單重特征根，因此設(shè)，代入到之中，有，比較系數(shù)得，于是方程的一個(gè)特解為；對(duì)，不難觀察得一個(gè)特解．于是，原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解為．.習(xí)題12—4（B）1．若，是二階線性非齊次微分方程的兩個(gè)解，證明是相應(yīng)線性齊次微分方程的解．證：因?yàn)椋裕允窍鄳?yīng)線性齊次微分方程的解．2．已知函數(shù)，，都是微分方程的解，寫出該方程的通解．解：是二階非齊次線性微分方程，由函數(shù)，，都是它的解，根據(jù)上題，則是相應(yīng)齊次線性微分方程的兩個(gè)解，而它們之比不恒等于常數(shù)，于是它們是線性無(wú)關(guān)的解，所以的通解為，根據(jù)二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，得方程的通解是．3．若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)特解是，寫出該微分微分方程及其通解．解：由二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個(gè)特解是，則該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征根是，于是特征方程是，即，所以微分方程為，通解為．4．若二階常系數(shù)線性齊次微分方程有一個(gè)特解，寫出該微分微分方程及其通解．解：由二階常系數(shù)線性齊次微分方程有一個(gè)特解，則該二階常系數(shù)線性齊次微分方程有一個(gè)特征根，并且是二重根，于是特征方程是，即，所以微分方程為，通解為．5．求下列各常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解：（1）；（2）．解：（1）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，特征根為，應(yīng)齊次方程通解為．這里，最高多項(xiàng)式次數(shù)，是單重特征根，為此設(shè)，代入到原方程之中，有，比較系數(shù)有得，于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解是．（2）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，特征根為，應(yīng)齊次方程通解為．對(duì)原方程，這里是單重特征根，為此設(shè)，代入到原方程之中，有，即，得，于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解是．6．求下列各二階常系數(shù)線性非齊次微分方程滿足初始條件的特解：（1），，；（2），，．解：（1）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，特征根為，應(yīng)齊次方程通解為．對(duì)原方程，這里多項(xiàng)式最高次數(shù)是單重特征根，為此設(shè)，代入到原方程之中，有，比較系數(shù)有，得，于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解是．，由初始條件，，得，所以方程滿足初始條件的特解為．（2）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，特征根為，應(yīng)齊次方程通解為．對(duì)原方程，這里多項(xiàng)式最高次數(shù)不是特征根，為此設(shè)，代入到原方程之中，有，比較系數(shù)有得于是原方程的一個(gè)特解為，原方程的通解是．，由初始條件，，有得，所以原方程滿足初始條件的特解是．7．若連續(xù)函數(shù)滿足，求的表達(dá)式．解：，，，于是函數(shù)滿足微分方程，初始條件是．是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，相應(yīng)齊次方程是，特征方程為，特征根為，應(yīng)齊次方程通解為．對(duì)原方程，這里不是特征根，為此設(shè)，代入到原方程之中，得，于是原方程的一個(gè)特解為．所以，原方程的通解是．因?yàn)?，由初始條件，有得，所以所求函數(shù)是．8.證明：若滿足方程，則必滿足方程，并求方程的解．解：先證必滿足方程．由于，則求導(dǎo)可得，故證明了必滿足方程．下面求解方程．由于方程的通解為，且，所以，令可得，則，從而方程的解為．

習(xí)題12—5（A）1.設(shè)在冷庫(kù)中存儲(chǔ)的某種新鮮水果500噸，放置一段時(shí)間之后開始腐爛，腐爛率是未腐爛數(shù)量的0.001倍，設(shè)腐爛的數(shù)量為噸，則顯然它是時(shí)間的函數(shù)，求此函數(shù)的表達(dá)式．解：由題意知 ，分離變量得， ，兩邊積分，并整理得 （為任意常數(shù)），再結(jié)合，容易求出，所以水果腐爛數(shù)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為．2.已知某商品的需求量（單位：kg）對(duì)價(jià)格（單位：元）的彈性為，且當(dāng)時(shí)，需求量Kg.（1）求該商品對(duì)價(jià)格的需求函數(shù)；（2）求當(dāng)價(jià)格元時(shí)，市場(chǎng)對(duì)該商品的需求量；（3）當(dāng)時(shí)，需求量是否趨于穩(wěn)定？解：（1）由已知條件知，，分離變量得，所以有（為任意常數(shù)）．再由得，，所以．（2）由（1）可知，當(dāng)元時(shí)，（kg）．（3）由可知，當(dāng)時(shí)，，即隨著商品價(jià)格的無(wú)限增大，需求量將趨于零，是穩(wěn)定的．3.記某型號(hào)小轎車的運(yùn)行成本為，轉(zhuǎn)讓價(jià)值為，其中為自購(gòu)買開始計(jì)的時(shí)間．設(shè)運(yùn)行成本與轉(zhuǎn)讓價(jià)值滿足的方程為 ，，其中，為已知的常數(shù)，且，（購(gòu)買成本），求和．解：先考慮微分方程，易求得此方程的通解為，再結(jié)合購(gòu)買成本，得小轎車的轉(zhuǎn)讓價(jià)值函數(shù)．將其代入微分方程，得，因此運(yùn)行成本滿足的函數(shù)為．4.考慮在某池塘里養(yǎng)魚，一開始放養(yǎng)200條，魚可以自然繁殖，魚塘最多能容納2000條魚．設(shè)在時(shí)刻池塘內(nèi)魚的數(shù)量為，經(jīng)驗(yàn)表明，池塘內(nèi)魚數(shù)量的變化率與池內(nèi)魚數(shù)和池內(nèi)還能容納的魚數(shù)的乘積成正比．又知第3個(gè)月末池塘內(nèi)魚的數(shù)量為500條，求放養(yǎng)個(gè)月末時(shí)池塘內(nèi)魚數(shù)的表達(dá)式和放養(yǎng)半年后池塘內(nèi)魚的條數(shù)．解：由題意，個(gè)月末時(shí)池塘內(nèi)魚數(shù)滿足 ，，，這是一個(gè)可分離變量微分方程，分離變量并兩邊積分，得 ，將，代入上式，解得，．因此，個(gè)月末時(shí)池塘里的魚數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為 ，即 ．于是，當(dāng)放養(yǎng)6個(gè)月后池塘里的魚數(shù)為 （條）．習(xí)題12—5（B）1.設(shè)市場(chǎng)上某商品的需求函數(shù)為 ，供給函數(shù)為 ，這里假定初始值分別為，．試求在市場(chǎng)均衡條件（）下該商品的價(jià)格函數(shù)．解：由題意，市場(chǎng)供需平衡時(shí)有，整理得 ，這是一個(gè)常系數(shù)的二階非齊次線性微分方程．其特征方程為，易求得，，所以其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為．又由于右端函數(shù)為，所以可假設(shè)特解形式為，將其代入方程，得，因此非齊次線性微分的通解為．再結(jié)合初始條件，，可求得，，所以商品的價(jià)格函數(shù)為．2.某公司的辦公用品成本與公司員工人數(shù)相關(guān)，如果辦公用品的邊際成本為 ，且，求辦公用品成本函數(shù)．解：由題意，成本函數(shù)滿足的方程可化為 ，這是一個(gè)伯努利方程，令，即，則上面的方程可化為 ，由一階線性微分方程的通解公式，得 ，所以 ，再由可得，因此辦公用品成本函數(shù)為 ．

總習(xí)題十二1．填空題：（1）若函數(shù)是微分方程的解，則.（2）若一階線性微分方程有兩個(gè)特解，則該方程通解為.（3）以為一個(gè)特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為.（4）過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)的切線斜率為的曲線方程為.（5）微分方程的特解形式為．解：（1）填．理由如下：將代入到方程中，有，得.（2）填.理由如下：根據(jù)據(jù)線性方程解的性質(zhì)，是相應(yīng)齊次方程的一個(gè)特解，相應(yīng)齊次方程的通解是，由于線性非齊次微分方程的通解等于它的一個(gè)特解與相應(yīng)齊次方程的通解之和，所以原方程的通解是．（3）填．理由如下：通過(guò)二階常系數(shù)線性齊次微分方程有特解，可以看到該微分方程有特征根，從而也是特征根，于是特征方程為，即，所以該微分方程是.（4）填（）．理由如下：設(shè)曲線方程為，根據(jù)已知有，分離變量為，積分得，即，由初始條件，得，所以所求曲線為（），（5）填．理由如下：非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程為，特征方程為，特征根為．對(duì)，這里不是特征根，因此；對(duì)，這里是單重特征根，因此；對(duì)，這里是單重特征根，因此，所以方程有形如的特解.2．單項(xiàng)選擇題：（1）微分方程是（）；(A)變量可分離方程(B)齊次方程(C)關(guān)于的一階線性方程(D)關(guān)于的一階線性方程（2）已知是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解，則（其中是任意常數(shù)）（）；(A)是方程的通解(B)是方程的一個(gè)特解(C)是方程的解(D)不是方程的解（3）微分方程的特解形式是（）；(A)(B)(C)(D)（4）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，如果滿足，則函數(shù)（）；(A)(B)(C)(D)（5）若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則（）．(A)(B)(C)(D)解：（1）選D，事實(shí)上：將方程改寫為，具有（其中）的形式，所以是關(guān)于的一階線性方程.（2）選C，事實(shí)上：根據(jù)定理4.1，是方程的解，則D被排除；而由中可能有任意常數(shù)，則B被排除；而可能線性相關(guān)，這時(shí)可以合并為一個(gè)任意常數(shù)，則A被排除，因此符合條件的只有C.（3）選B，事實(shí)上：相應(yīng)齊次方程為，特征方程，特征根為，，對(duì)微分方程，這里是單重特征根，因此；對(duì)方程微分，這里不是特征根，因此，原方程有特解形式.（4）選C，事實(shí)上：由，有，根據(jù)條件曲線在點(diǎn)處的切線方程為，得初始條件是，于是，，所以.（5）選B，事實(shí)上：等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得，初始條件，由分離變量有，積分得，即，由初始條件，得，所以．3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）（）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）方程改寫為，分離變量有，積分得，即，記則原方程通解為.（2）方程改寫為，令，則，于是，分離變量有，積分得，通解為，即.（3）方程改寫為，這是一階線性微分方程，通解為.（4）方程改寫為，這是關(guān)于的線性方程，通解為.（5）這是不顯含的二階可降階微分方程，令，則，原方程化為，分離變量為，積分得，即，所以原方程的通解是.（6）這是不含的二階可降階微分方程.（方法1）令，則，原方程化為，分離變量有，即，積分得，化簡(jiǎn)為，所以原方程通解為．（方法2）令，則，原方程化為，分離變量有，積分得，即，分離變量有，積分得，化簡(jiǎn)為，這就是原方程的通解.（7）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，即，特征根為，相應(yīng)齊次方程的通解為.對(duì)原方程，這里，是單重特征根，為此設(shè)，將其帶入原方程之中，化簡(jiǎn)有，比較系數(shù)得，于是原方程的一個(gè)特解為.所以，原方程的通解是.（8）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，即，特征根為，相應(yīng)齊次方程的通解為.對(duì)方程，這里不是特征根，為此設(shè)，代入到方程之中，有，比較系數(shù)得，所以方程的一個(gè)特解為；對(duì)方程，這里是二重特征根，為此設(shè)，將其帶入原方程之中，化簡(jiǎn)有，即，所以方程有一個(gè)特解為．方程的一個(gè)特解為．所以原方程的通解是.4．求下列微分方程滿足初值條件的解：（1），；（2），．解：（1）將方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)線性方程，其通解為.由初值條件，有，即，所以方程滿足初值條件的特解是.（2）相應(yīng)齊次方程為，特征方程為，特征根是，相應(yīng)齊次方程的通解為.下面用求非齊次方程的特解：對(duì)方程，這里多項(xiàng)式最高次數(shù)、是單重特征根，為此設(shè)，代入到方程之中，有，比較系數(shù)得，于是方程的一個(gè)特解為.所以原方程的通解是．，由初值條件，有得，所以方程滿足初值條件的特解是．5．已知函數(shù)滿足，求．解：當(dāng)時(shí)，，即，得，當(dāng)時(shí)，對(duì)積分作變量代換，則，于是，該式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，即，這是一階線性微分方程，通解為，綜上，所求函數(shù)為．6．對(duì)于，過(guò)曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于，求函數(shù)．解：用表示切線上點(diǎn)的坐標(biāo)，則切線方程為，令，得切線在軸上的截距，根據(jù)題意有，即，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得方程，改寫為，積分的，即，再積分得，這就是所求函數(shù)．（注：方程一般用變量代換求解）7．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，由（）及軸圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積，求函數(shù)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足初始條件的特解．解：一方面根據(jù)旋轉(zhuǎn)體體積公式，另一方面，得，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，用取代，并由，得微分方程．令，則，于是方程化為，分離變量有，積分得，即，所以原方程通解是．由初始條件，有，得，所以滿足初始條件的特解是．8．設(shè)函數(shù)有二階導(dǎo)數(shù)，且，，過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積記為，并且恒為1，求此曲線方程．解：如圖，用表示切線上點(diǎn)的坐標(biāo)，則切線方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是，而，根據(jù)恒為1，有，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，即，用到代入到中，并注意，得．對(duì)方程，令，則，方程化為，分離變量有，積分得，即，由此初始條件、，得，于是，分離變量有，積分得，所以，再由此初始條件，得，所以所求曲線方程為．9．某容器內(nèi)盛有（L）含鹽（kg）的濃鹽水，若以（L/min）的均勻速度向容器內(nèi)注入凈水，同時(shí)以（L/min）的均勻速度放出混合均勻的溶液，問開始1h后，容器中還有多少鹽？解：設(shè)時(shí)刻（從注入凈水開始起）時(shí)容器內(nèi)含鹽為，這時(shí)鹽水的濃度為，從時(shí)刻到時(shí)刻容器內(nèi)含鹽改變了（放出了），則，初始條件．分離變量有，積分得，即通解是，由初始條件，得，所以時(shí)刻時(shí)容器中含有鹽為．一小時(shí)后容器中含鹽為kg．習(xí)題13—1（A）1.求下列函數(shù)的一階差分和二階差分：（1）；（2）；（3）；（4）設(shè)階乘函數(shù)，.解：（1），.（2），.（3），.（4），.2.判斷下列差分方程的階數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）一階；（2）一階；（3）二階；（4）二階；（5）二階；（6）三階；（7）四階；（8）二階.3.已知差分方程，（1）證明函數(shù)（，是任意常數(shù)）是差分方程的通解；（2）當(dāng)初始條件為，時(shí)，求差分方程的特解.解：（1）這是一個(gè)二階差分方程，將函數(shù)代入差分方程的左邊，整理得左邊右邊，又因?yàn)?，是兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，所以函數(shù)是差分方程的通解.（2）由初始條件，，有解得，，因此所求的特解為.4.如果，，，,，……，根據(jù)以上數(shù)據(jù)的規(guī)律，寫出和表示的差分方程.解：根據(jù)數(shù)列的取值，可知后一項(xiàng)比前一項(xiàng)的二倍還多一，所以有，這是一個(gè)一階差分方程，也可以化為.5.某個(gè)地區(qū)，若每年現(xiàn)有的汽車中有需報(bào)廢，同時(shí)每年新購(gòu)輛汽車，試建立年后汽車總數(shù)的差分方程.解：第年的汽車總量與前一年汽車的報(bào)廢數(shù)量和新購(gòu)置數(shù)量相關(guān)，根據(jù)題意，它們之間的關(guān)系式為，這是一個(gè)一階線性差分方程.習(xí)題13—1（B）1.求，，.解：設(shè)，那么，，2.一輛油耗指標(biāo)是每加侖英里，建立一個(gè)以為英里，為汽車油箱內(nèi)汽油加侖數(shù)的差分方程.解：由題意，一英里耗油的加侖數(shù)為，則差分方程為.3.某植物第一天長(zhǎng)高cm，之后每天長(zhǎng)的高度是前一天的，建立一個(gè)描述天后植物高度的差分方程.解：，或，.4.某種樹年后可成才，若表示第年植入的樹數(shù)，表示第年時(shí)已成才的樹數(shù)，試寫出與，有關(guān)的差分方程.如果表示每年要砍伐的樹數(shù)，差分方程應(yīng)如何修正？解：考慮時(shí)的情形，差分方程為；如果每年砍伐的樹數(shù)為，則此時(shí)的差分方程為.

習(xí)題13—2（A）1.求下列差分方程的通解：（1）；（2）；（3）.解：（1）特征方程為，解得特征根，故所求的通解為（為任意常數(shù)）.（2）原方程可改寫為，特征方程為，解的特征根，故所求的通解為（為任意常數(shù)）.（3）原方程可改寫為，特征方程為，解的特征根，故所求的通解為（為任意常數(shù)）.2.求下列差分方程在給定初始條件下的特解：（1），；（2），；（3），.解：（1）特征方程為，解得特征根，故所求的通解為（為任意常數(shù)）.由，得，故原方程滿足初始條件的特解為.（2）原方程可改寫為，特征方程為，解得特征根，故所求的通解為（為任意常數(shù)）.由，得，故原方程滿足初始條件的特解為.（3）原方程可改寫為，特征方程為，解得特征根，故所求的通解為（為任意常數(shù)）.由，得，故原方程滿足初始條件的特解為.3.求下列差分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.解：（1）原方程可化為，特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.（2）特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.令，代入原方程得，這是一階非齊次線性差分方程，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.綜上可得，原方程的通解為.（3）原方程可化為，特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.令，代入原方程得，這是一階非齊次線性差分方程，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.綜上可得，原方程的通解為.（4）特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于是不是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.（5）特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于不是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得，，.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.（6）特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于是不是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得，，.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.（7）原方程可化為，特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于是不是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得，.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.4.求下列差分方程在給定初始條件下的特解：（1），；（2），；（3），；（4），.解：（1）特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得，.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.由初始條件，得，因此所求的滿足初始條件的特解為.（2）原方程可化為，特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.由于不是特征根，且方程的右端函數(shù)為，所以可假設(shè)原方程的特解為，代入原方程，并比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得.所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.由初始條件，得，因此所求的滿足初始條件的特解為.（3）原方程可化為，特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.令，代入原方程得，這是一階非齊次線性差分方程，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.綜上可得，原方程的通解為.由初始條件，得，因此所求的滿足初始條件的特解為.（4）特征方程為，特征根為，故其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（為任意常數(shù)）.令，代入原方程得，這是一階非齊次線性差分方程，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.綜上可得，原方程的通解為.由初始條件，得，因此所求的滿足初始條件的特解為.習(xí)題13—2（B）1.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）（）；（3）；（4），.解：（1）由于，所以如果，則有.（2）特征方程為，特征根為，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為.令，代入原方程得，這是一階非齊次線性差分方程.（i）當(dāng)時(shí)，是特征方程的根，且原方程的右端函數(shù)為，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.此時(shí)，原方程的通解為.（ii）當(dāng)時(shí)，不是特征方程的根，且方程的右端函數(shù)為，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.此時(shí)，原方程的通解為.（3）原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程為，特征根為，所以對(duì)應(yīng)的其次差分方程的通解為.又由于原方程的右端函數(shù)為，可令特解為，代入原方程，并比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，得，，所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.（4）原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程為，特征根為，所以對(duì)應(yīng)的其次差分方程的通解為.又由于原方程的右端函數(shù)為，可令特解為，代入原方程，并比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，得，，所以原方程的一個(gè)特解為，從而原方程的通解為.根據(jù)初始條件，可得，所以原方程滿足初始條件的特解為.2.設(shè)，為非零常數(shù)且，驗(yàn)證：通過(guò)變換，可將非齊次差分方程化為齊次差分方程，并求解.解：由得，所以方程可化為，即，這是一個(gè)齊次差分方程，其通解為.所以方程的通解為.3.已知差分方程，其中，，均為常數(shù)，為給定的初始條件．（1）證明：，；（2）證明：在變換下，原方程可化為關(guān)于的線性差分方程，并求出的通解；（3）求差分方程在初始條件時(shí)的特解及．解：（1）因?yàn)?，，，，所以．由?shù)學(xué)歸納法，假設(shè)，那么有，因此對(duì)應(yīng)任意的，可知．（2）作變換，即，代入原方程，得．這是一個(gè)一階非齊次線性差分方程，下面分情況討論它的解．（i）當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，是此方程的特征根，可得通解，所以．結(jié)合初始條件，得，則有．（ii）當(dāng)時(shí)，不是方程的特征根，求得通解為，所以．結(jié)合初始條件，得，則有．綜合（i）和（ii），在初始條件下，原方程的解為（3）由上面的結(jié)論可知，方程在初始條件時(shí)的解為，所以．

習(xí)題13—3（A）1.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，；（6），，.解：（1）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程的通解為（，為任意常數(shù)）.（2）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)相等的實(shí)特征根為，所以原方程的通解為（，為任意常數(shù)）.（3）原方程可化為的特征方程為，解得兩個(gè)共軛的復(fù)特征根為，經(jīng)計(jì)算得，，所以原方程的通解為（，為任意常數(shù)）.（4）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程的通解為（，為任意常數(shù)）.（5）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程的通解為（，為任意常數(shù)）.由初始條件，，可得，，于是原方程滿足初始條件的特解為.（6）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)共軛的復(fù)特征根為，經(jīng)計(jì)算得，，所以原方程的通解為（，為任意常數(shù)）.由初始條件，，可得，，于是原方程滿足初始條件的特解為.2.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，；（6），，.解：（1）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.再求原方程的一個(gè)特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比較同次冪的系數(shù)，得，所以.于是原方程的通解為.（2）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)相等的實(shí)特征根為，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.再求原方程的一個(gè)特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比較同次冪的系數(shù)，得，所以.于是原方程的通解為.（3）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)共軛的復(fù)特征根為，經(jīng)計(jì)算得，，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.再求原方程的一個(gè)特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比較同次冪的系數(shù)，得，，所以.于是原方程的通解為.（4）；原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.再求原方程的一個(gè)特解.令，代入原方程得，這是一階非齊次線性差分方程，容易求得它的一個(gè)特解，故原方程的一個(gè)特解為.綜上，原方程的通解為.（5），，；原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.再求原方程的一個(gè)特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比較同次冪的系數(shù)，得，所以.于是原方程的通解為.再由初始條件，，可得，，所以原方程滿足初始條件的特解為.（6）原方程的特征方程為，解得兩個(gè)不相等的實(shí)特征根為，，所以原方程對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.再求原方程的一個(gè)特解.由于是單重的特征根，可令，代入原方程，并比較同次冪的系數(shù)，得，，，所以.于是原方程的通解為.再由初始條件，，可得，，所以原方程滿足初始條件的特解為.習(xí)題13—3（B）1.求下列差分方程的通解：（1）；（2）.解：（1）這是一個(gè)二階非齊次線性差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程為，特征方程為，解的特征根，，所以齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.由于原方程的右端函數(shù)可寫作，其中，．對(duì)于方程，可求得特解；對(duì)于方程，可求得特解．由線性差分方程的疊加原理，可知原方程的一個(gè)特解，于是得到原方程的通解為．（2）這是一個(gè)二階非齊次線性差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程為，特征方程為，解的特征根，所以齊次差分方程的通解為（，為任意常數(shù)）.由于原方程的右端函數(shù)可寫作，其中，．對(duì)于方程，可求得特解；對(duì)于方程，可求得特解．由線性差分方程的疊加原理，可知原方程的一個(gè)特解，于是得到原方程的通解為．

習(xí)題13—4（A）1.某人在歲時(shí)將萬(wàn)元錢存入某基金會(huì)，約定固定月利率為，每月從中提取元作為日常生活費(fèi)，試通過(guò)建立差分方程計(jì)算（1）他每月末在基金會(huì)里還有多少錢？（2）在他多少歲時(shí)將存入基金會(huì)里的錢用完？（3）如果他想用到歲，那么在歲時(shí)應(yīng)存入多少錢？解：設(shè)個(gè)月后存在基金會(huì)的錢還有元，每月支取元，約定固定月利率為，則有，這是一個(gè)一階非齊次線性差分方程，通解為.當(dāng)時(shí)，，所以通解也可表示為.（1）當(dāng)，，初始條件為時(shí)，求解上述差分方程，得，從而.由此可計(jì)算出第個(gè)月末的余額.（2）用完存入基金會(huì)里的錢時(shí)，也就是對(duì)應(yīng)于時(shí)，即，解得，即到歲零個(gè)月時(shí)用完基金里的錢.（3）如果他想用到歲，即時(shí)，.設(shè)在歲時(shí)應(yīng)存入元錢，則有，可得（元）.2.假設(shè)一水庫(kù)中開始有萬(wàn)條魚，由于繁殖導(dǎo)致魚的年增長(zhǎng)率為，而每年的捕魚量為萬(wàn)條.（1）列出每年末