菱形的性質(zhì)與判定 同步練習(xí)題 魯教版（五四制）八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（含答案）

魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6.1菱形的性質(zhì)與判定同步練習(xí)題

1.已知菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6?！昂?a”，則這個(gè)菱形的面積是)

A.20cm2B.24cm2C.48sz2D.100cm2

2.如圖，菱形ABC。中，AC=6,BD=8,于點(diǎn)H,則A”=()

「2412

A.24B.10D.

5~5

3.如圖，在菱形A8C￡＞中，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE1_8c于點(diǎn)E.PF1AB

于點(diǎn)凡若菱形ABC。的周長(zhǎng)為24,面積為24,則PE+P尸的值為（)

2448

A.4B.C.6D.

~5~5

4.菱形的一個(gè)性質(zhì)是（)

A.四個(gè)角相等B.四條邊相等C.對(duì)角線相等D.對(duì)角互補(bǔ)

5.如圖，在菱形ABCD中,AB=5,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，且AC=6.AELCO于

)

12「24

A.4B.D.5

~55

6.如圖，在菱形A8C。中，AB=4,/區(qū)40=120°,AAEF為等邊三角形，點(diǎn)E,尸分別

在菱形的邊BC,CD上滑動(dòng)，且￡,尸不與B,C,D重合，則四邊形AECF的面積是（）

4C.3D.3&

7.如圖，在菱形ABC。中，ZA=60°,A3=4,點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E,F分

別是DP,BP的中點(diǎn)，則線段EF的長(zhǎng)為（）

D.2M

A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線相等

C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)邊平行且相等

9.如圖，在菱形A8C。中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，于點(diǎn)E,若/AOC=110

°,則NAOE的大小為（）

A.20°B.35°C.55°D.70°

10.在。ABC。中，添加以下哪個(gè)條件能判斷其為菱形（）

A.AB1BCB.BCLCDC.CD±ACD.AC±BD

11.如圖，在四邊形A8CO中，點(diǎn)E,P分別是AZ）,8c的中點(diǎn)，G,H分別是BD,AC的

中點(diǎn)，AH,CO滿足什么條件時(shí)，四邊形EG尸”是菱形（）

B

A.AB=CDB.AB//CDC.AC=BDD.AD=BC

12.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩鄰邊相等的四邊形是菱形B.一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形

C.對(duì)角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形D.對(duì)角線垂直的四邊形是菱形

13.已知平行四邊形ABCD,下列條件：?AC±BD；②N8AO=90°；?AB=BC^@AC

=BD.其中能使平行四邊形ABC。是菱形的有（）

A.①③B.②③C.③④D.①②?

14.下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是菱形的是（）

A.一組鄰邊相等的平行四邊形

B.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形

C.四條邊都相等的四邊形

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形

15.順次連接矩形A8CO各邊中點(diǎn)所得四邊形必定是（）

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形

16.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的平行四邊形ABC。是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.無(wú)法確定

17.如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為43中點(diǎn)，若。4=8,OE=5,

則菱形ABCD的面積為.

18.如圖，在四邊形A3CQ中，AD//BC,AB=AD,下列條件①AC,20；②0A=0C；③

AC平分NBC。；@ZABC=ZADC,能判定四邊形A8C￡＞是菱形的有.（填寫(xiě)

序號(hào)）

19.如圖，四邊形ABC。是菱形，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,DHLAB于H,連接。H,

（1）求證：ZDHO=ZDCO.

（2）若0C=4,BD=6,求菱形ABCO的周長(zhǎng)和面積.

20.如圖，E為菱形ABCO的對(duì)角線BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE,CE.

(1)求證：AE=CE-

(2)若2C=10,AE=13,ZABC=60°,求3E的長(zhǎng).

21.如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)尸，交AB于點(diǎn)E,連接

DF.

(1)求證：AF=DF-

(2)若NBAD=76°,求的度數(shù).

22.已知：如圖，在菱形ABCD中，尸為邊AB的中點(diǎn)，R7與對(duì)角線8。交于點(diǎn)G,過(guò)G

作GE_LBC于點(diǎn)E,NADB=NFCB.

(1)求證：AB=2BE；

(2)求證：DG=CF+GE.

23.如圖，在。ABCC中，G為8C邊上一點(diǎn)，DG=DC,延長(zhǎng)OG交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)A作力?〃EZ)交8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：四邊形4EDF是菱形.

24.已知：如圖，在四邊形A8C。中，AB//DC,對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CE

_LCC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)OE,OC=OE.

(I)求證：OE=LC；

2

(2)如果。B平分NAOC,求證：四邊形ABC。是菱形.

25.在RtZVIBC中，ZBAC=90°,。是8C的中點(diǎn)，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作4尸〃BC

交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接CF.

(1)求證：AF=BD.

(2)求證：四邊形ADCF是菱形.

26.如圖，在△4BC中，49是NBAC的平分線，E尸垂直平分AD交A8于E,交AC于F.

求證：四邊形AEDF是菱形.

E/Oi

27.如圖，四邊形A8C。、DE8尸都是矩形，AB=BF,AD,BE相交于M,BC、。尸相交于

N.求證：四邊形BMQN是菱形.

E

F

28.如圖，已知△ABC中，。是邊上的一點(diǎn)，E是AO的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線,

交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡且AF=B。，連接BE

(1)求證：BD=CD；

(2)若四邊形AF8。要為菱形，則需要添加什么條件？證明你的結(jié)論.

29.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,BC=3AD,BE=2EC,AC平分NE43.

(1)求證：四邊形AECO是菱形：

(2)若BC=6,NA￡>C=120°,求AASE的面積.

30.如圖，△ABC中，AB=AC=2,ZBAC=30°,△AOF絲△ABC,AD±AC,連接BD、

CF交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形A3EF為菱形；

(2)求CE的長(zhǎng).

31.如圖，在四邊形A8C￡>中，AB=AD,ND4B=90°,4c平分ND48,作。E〃BC交

AC于點(diǎn)E,連接BE.

(I)求證：四邊形DEBC是菱形；

(2)若/C￡>E=2/ECA,CE=2,求AO的長(zhǎng).

參考答案

1.解：??,菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6cm和80小

，這個(gè)菱形的面積=*X6X8=24(on2),

故選：B,

???四邊形A8CQ是菱形,

：.AC±BDfOA=OC,OB=OD,

=22

^CVOCOB=V32+42=5，

???菱形ABC。的面積=/AOBD=/X6X8=24,

24

：.AH=—

59

故選：c.

3.解：連接3P,如圖，

:四邊形48C。為菱形，菱形A8C￡＞的周長(zhǎng)為24,面積為24,

^BA=BC=6fS4ABCU/S菱形ABCZ)=12,

SAABC=SAPAaSNBC，

A—X6XPE+—X6XPF=12,

22

；.PE+PF=4,

故選：A.

4.解：菱形的一個(gè)性質(zhì)是四條邊相等,

故選項(xiàng)A、a。錯(cuò)誤，B正確，

故選：B.

5.解：??,四邊形A3C。是菱形，

：.AO=—AC=—X6=3,OB=—BD,AC±BD,

222

'：AB=5,

-■?BC，=VAB2-A02=V52-32=4>

：.BD=8,

「X6X8=5AE,

2

故選：C.

6.解：連接AC,如圖所示，

:四邊形ABC。是菱形，乙840=120°,

：.ZBAC=ZDAC=60°,BC=AB=4,

.../l+NEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

ZBAD=120°,BC//AD,

NABC=ZBAC=ZACB=60°,

.?.△ABC、△AC。為等邊三角形，

/.Z4=60°,AC=AB,

在△ABE和△AC5中，

21=N3

<AB=AC，

ZABC=Z4

.?.△ABE絲zMCF(ASA).

S&ABE=S^ACF，

故S四邊形AECFuSaAEC+SaACFuSaAEc+SAABEuSMBC，是定值，

過(guò)A作AHLBC于H,則BH=—BC=2,

2

J.AH^ylAB2-BH2=V42-22=2V3>

S四邊形AECF=SAABC=_^_8C?A//=*X4X

故選：A.

7.解：如圖連結(jié)3。,

?.?四邊形ABCO是菱形，

：.AD=AB=4,

VZA=60°,

.?.△ABO是等邊三角形，

：.BD=AD=^,

?.?點(diǎn)E,F分別是。尸，8尸的中點(diǎn)，

■為△P8O的中位線，

：.EF^—BD=2,

2

故選：4

8.解：???菱形具有的性質(zhì)有：四邊相等，兩組對(duì)邊平行且相等，兩組對(duì)角分別相等，對(duì)角

線互相平分，對(duì)角線互相垂直；

平行四邊形的性質(zhì)有：兩組對(duì)邊分別平行且相等，兩組對(duì)角分別相等，對(duì)角線互相平分,

菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是四邊相等，對(duì)角線互相垂直，

故選：C.

9.解：?.?四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,ZABC^ZAZ)C=110°,

AZABO=—ZABC=55°,

2

\-OElAB,

：.ZOEB=90°,

:.NBOE=90°-55°=35°,

AZAOE=90a-35°=55°,

故選：c.

10.解：A、-JABLBC,

：.ZABC=90°,

又,:四邊形ABCD是平行四邊形，

二四邊形A8C。是矩形；故選項(xiàng)A不符合題意；

B、'：BC±CD,

：.ZBCD=90°,

又：四邊形ABCD是平行四邊形，

二四邊形ABC。是矩形；故選項(xiàng)8不符合題意；

C、CDLAC,不能判定ABCD是菱形；故選項(xiàng)C不符合題意;

。、：四邊形ABCD是平行四邊形，

5L,：ACLBD,

四邊形ABC。是菱形；故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

11.解：當(dāng)AB=C。時(shí)，四邊形EGFH是菱形.理由如下：

?.?點(diǎn)E,G分別是A￡>,8。的中點(diǎn)，

；.EG是△ABO的中位線，

：.EG//AB,EG=—AB,

同理HF〃AB,HF=—AB,EH//CD,EH=—CD,

22

J.EG//HF,EG=HF,

：.四邊形EGFH是平行四邊形，

又

：.EG=EH,

平行四邊形EGF4是菱形.

故選：A.

RFC

12.解：A、??,兩鄰邊相等的平行四邊形是菱形,

選項(xiàng)A不符合題意；

反,?,一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形,

二選項(xiàng)B符合題意；

C、；對(duì)角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形，

，選項(xiàng)C不符合題意；

；對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，

，選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

13.解：①0ABec中，ACLBO,根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定必8。

是菱形；故①正確；

②。ABCD中，/54。=90°,根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定。A2CO

是矩形，而不能判定。ABCD是菱形；故②錯(cuò)誤；

③。ABCC中，AB=BC,根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定是菱

形；故③正確；

D、SBC。中，AC=BD,根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定048co是矩

形，而不能判定。4BCD是菱形；故④錯(cuò)誤.

故選：A.

14.解：A、?..一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，

???選項(xiàng)A不符合題意；

8、?.?一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形不一定是菱形，

選項(xiàng)B符合題意；

c、四邊相等的四邊形是菱形，

選項(xiàng)C不符合題意；

：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，

選項(xiàng)。不符合題意；

故選:B.

15.解：如圖：E,F,G,H為矩形的中點(diǎn)，則AH=HZ)=BF=CF,AE=BE=CG=DG,

在RtAAE/7與中，AH=HD,AE=DG,

：.△AEgADGH,

：.EH=HG,

同理，叢AEH烏ADGHQ/\BEFm/\CGF沿叢DGH,

：.EH=HE=GF=EF,NEHG=NEFG,

四邊形EFGH為菱形.

故選：D.

16.解：過(guò)A作于F,過(guò)8作BELA。，交D4的延長(zhǎng)線于E,

???兩張等寬的紙條交叉疊放在一起,

：.AF=BE,

?.?平行四邊形ABCD的面積S=DCXAF=ADXBE,

：.DC=AD,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

.??四邊形A8C3是菱形，

故選：C.

17.解：?..四邊形A8CD為菱形，04=8,

J.ACLBD,AC=2OA=16,

.\ZAOB=90°,

是AB的中點(diǎn)，

...AB=2OE=2X5=10,

???OB=VAB2-0A2=V102-82=6-

：.BD=2OB=\2f

???S菱形ABCD=*AC?8O=*X16X12=96,

故答案為：96.

18.解：?*：AB=ADfAC1BD,

:.0B=0D,

*：AD//BC,

???/AD0=/CB0,

又???/A0D=/C0B,

：./^AOD^ACOBCASA),

:?AD=CB,

???四邊形ABC。是平行四邊形,

又,.,A8=A。，

???平行四邊形4BC。是菱形，故①能判定四邊形A8CO是菱形;

②?.?AB=A。，ACLBD,

：.OB=OD,

???。4=。。，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又,.,A8=AO,

???平行四邊形A8CO是菱形，故②能判定四邊形A8CO是菱形;

③，以?！ü?/p>

：.ZDAC=ZBCA,

,?，AC平分/BCD,

JZDCA=ZBCAf

：.ZDAC=ZDCA,

:.AD=CD,

：.AB=AD=CDf不能判定四邊形ABC。是菱形；

@*:AD//BC9

：.ZBAD+ZABC=\SO0,

?.?ZABC=ZADCf

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

：.AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又???48=4。，

??.平行四邊形ABCD是菱形，故④能判定四邊形ABCD是菱形;

故答案為：①②④.

19.(1)證明：???四邊形ABC。是菱形，

：?OD=OB,AB//CD,BD_LAC,

VDH1AB,

:.DHLCD,

；./DHB=90°,

JOH=—BD=OD=OB,

2

：.ZODH=ZDHOf

9

：DH±CDf

：?NODH+/ODC=90°,

?：BD±AC,

：.ZO￡>C+ZDCO=90o,

：.ZODH=ZDCO,

：./DHO=ADCO-,

(2)解：?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,0D=0B=、BD=3,0A=0C=4,BD±AC,

2

：.AC=2OC=4,NCOO=90°,

在RtZ\OCO中，由勾股定理得：CD=A/OD2<)C2=^32+42=5,

二菱形ABCD的周長(zhǎng)=4CD=20,

菱形ABC。的面積得8OXAC得X6X8=24.

20.(1)證明：I?四邊形ABC。是菱形，

：.AB=CB,NABE=NCBE,

在△ABE和aCBE中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBE.

BE=BE

:.AABE%ACBE(SAS),

：.AE=CE；

(2)解：連接AC交8。于O,如圖：

?.?四邊形ABC。是菱形，

.".AC1.BD,ZABO=—ZABC=30°,AB=BC=10,

2

：.ZAOC=ZAOD=9^,

：.OA^—AB^5,

2

OB=VAB2-0A2=V102-52=5V3>

°WAE2-0A2=V132-52=12>

BE=OB+OE=12.

21.(1)證明：連接BF,如圖所示：是線段AB的垂直平分線,

：.AF=BF,

???四邊形ABC。是菱形，

：.BC=DC,NBCF=NDCF,

在△8CF和△OC/中，

'BC=DC

<ZBCF=ZDCF，

CF=CF

:?4BCF經(jīng)4DCF(SAS),

：?BF=DF,

:.AF=DF；

(2)解：由(1)得：△BCF9XDCF,

：.ZFDC=ZFBCt

??,四邊形48co是菱形，

：.AB=BCZBAC=-ZBAD=—X70°=35°,AD//BC,

f22

NBCF=NDCF=NBAC,ZABC=\SO°-ZBAD=\S0°-70°=110°

丁敏是線段AB的垂直平分線，

:.AF=BF9

：.ZFBA=ZBAC=35°,

AZFBC=AABC-ZABF=110°-35°=75°,

:.NFDC=NFBC=75°.

22.證明：(1),??四邊形ABC。是菱形,

；.AB=BC,AD//BC,

：.NADB=NDBC,

'：NADB=/FCB,

：.NFCB=/DBC,

：.GB=GC,

又?：GE工BC,

:?BC=2BE,

：.AB=2BE；

(2)如圖，延長(zhǎng)CRDA交于點(diǎn)H,

???四邊形ABCQ是菱形，

J.AD//BC,ZABD=ZDBC,

：.ZH=ZFCB,

:?/H=4ADB,

:?DG=HG,

丁點(diǎn)尸是43的中點(diǎn)，

:?AF=BF,AB=2BF,

；?BF=BE,

在△AF”和△8FC中，

<ZH=ZFCB

<ZAFH=ZBFC，

AF=BF

AAAFH^ABFC(AAS),

:.CF=FH,

在aBG尸和△BGE中，

<BF=BE

<ZABD=ZDBC，

BG=BG

:.△BG0/XBGE(SAS),

:?FG=GE,

：.DG=HG=HF+FG=FC+GE.

23.證明：??,四邊形ABC。是平行四邊形,

:.NBAD=/C,AD//BC,AB//CD,

'：AF//ED9

???四邊形AEDF是平行四邊形，

■:AD//BC,

；.NDGC=NADE,

?：DG=DC,

：.ZDGC=ZC,

：.ZBAD=ZADEf

：.AE=DEf

，平行四邊形AEOb是菱形.

24.證明：(1)過(guò)。作OFLCE于F,如圖所示:

?：OC=OE,

:.CF=EF,

VOF1CE,CELCD,

：.OF//CD,

■:AB//DC,

：.OF//AB,

??.OF是△ACE的中位線，

：.OA=OCf

：.OE=^AC；

u

(2)：AB//DCt

:.ZOAB=ZOCD9

在aAOB和△OCO中，

<Z0AB=Z0CD

<OA=OC，

ZA0B=ZC0D

???△AOBdOCO(ASA),

:.OB=OD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.NADB=NCBD,

?.?。3平分NAOC,

???NADB=NCDB,

：.ZCBD=ZCDBf

：.BC=DC,

，平行四邊形ABC。是菱形.

25.證明：(1)-JAF//BC,

：.N4FE=NDBE

：△ABC是直角三角形，A。是BC邊上的中線，E是AO的中點(diǎn),

：.AE=DE,BD=CD

在△AFE和△QBE中，

"ZAFE=ZDBE

,ZAEF=ZBED-

AE=DE

/.(A4S))

：.AF=BD

(2)由(1)知，AF=BD,且BO=C￡>,

：.AF=CD,且AF〃BC,

四邊形A3c尸是平行四邊形

VZBAC=90",。是2c的中點(diǎn)，

???AD-|BC=DC

四邊形AOC尸是菱形

26.證明：平分/BAC

：.ZBAD=ZCAD

又；EFLAD,

，ZAOE=NAOF=90°

?在△AE。和△AFO中

"ZEA0=ZFA0

<A0=A0，

ZA0E=ZA0F

：./\AEO^/\AFO(ASA),

：.EO=FO,

尸垂直平分A。，

：.EF,AO相互平分，

...四邊形AE。尸是平行四邊形

又EF±AD,

，平行四邊形AEC尸為菱形.

27.證明：?.?四邊形ABC。、OEB尸都是矩形，AB=BF,

二/48C=/MBF=90°,

ZABM=NFBN,

/\ABM與/\FBN0/\EDM,

：.BN=DM,

：.四邊形BMDN是平行四邊形，

同理△ABM絲△尸BN,則

四邊形BMDN是菱形.

28.解：(1)-AF//BC,

：.ZFAE=ZCDE,

在AAE尸和△OEC中，

，ZFAE=ZCDE

<AE=DE，

ZAEF=ZCED

/.AAEF^ADEC(ASA),

：.AF=CD,

'：AF=BD,

：.BD=CD.

(2)需要添加NBAC=90°.

證明：VZBAC=90°,BD=CD,

：.AD=^BC=BD(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，

又,：AF//BD,AF=BD,

，四邊形AFB。是平行四邊形，

四邊形AFBO是菱形.

29.(1)證明：:BE=2EC,

:.BC=3EC,

又：BC=3A。，

：.AD=EC,

'：AD//BC,

???四邊形AECD是平行四邊形，

：AC平分/EC。，

：.ZACD=ZACE,

,JAD//BC,

：.ZDAC=ZACE=ZACD,

J.AD