高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)第二章平面向量及其應(yīng)用綜合強(qiáng)化5

高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)第二章平面向■及其

應(yīng)用綜合強(qiáng)化5

第I卷（選擇題）

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明

一、單選題

1.?均為單位向量,且它們的夾角為45。,設(shè)￡不滿足|辦月|=（出=冢+皈（人/?）,

則|辦-臼的最小值為（）

A.V2B.—C.—D.—

244

2.已知平面向量滿足|吊=2,|昨6且|已+（1-2X）B|（XWR）的最小值3,則

2

|￡+y5|（yeR）的最小值為（）

A.也B.1C.2D.1或2

2

3.已知點(diǎn)尸為圓（x-l）2+（y-2：『=l上動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量辦在向量

方向上投影的最大值為（）

A.V5B,逑+1C.延7D.坡

555

4.已知平面向量訕工滿足：忖=|4=1,選=0，@+不歸一胃=4,則,-聞+忖一目的

最小值為（）

A.4—\/2B.4+y2C.5+D.5+

___1—1—

5.已知點(diǎn)M是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^AM=-AB+-ACf則AABW與/CM的

面積之比為（）

854

2

A.3-B.2-D.3-

6.在四邊形A8CD中，點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，且|而|=1,|。。|=2,若

ABDC>0,則I而I的取值范圍是（）

A.（李B，C.（~?+°°）D.[*,+oo）

二、多選題

7.下列命題中正確的是（）

A.不存在4個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任意兩個(gè)向量之和與其余兩個(gè)向量之和垂

直

B.設(shè)4、P2........2是單位圓。上的任意〃點(diǎn)，則在圓O上至少可以找到一點(diǎn)M,使

得|阿|+|阿卜…+|碉2〃

C.任意四邊形ABCO中，M、N分別為AD、8c的中點(diǎn)，G為MN的中點(diǎn)，。為平面

內(nèi)任意一點(diǎn)，則05=,（函+麗+反+對(duì)

4

D.AABC中，點(diǎn)。為外心，H為垂心，則兩=西+而+覺

8.已知點(diǎn)。為“18c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且［35+力布+C反=G（?b，c>0）,則下列選

項(xiàng)正確的是（）

A.若a=l,b=2,c=3,則AO='4B+，AC

32

B.若a=3,b=2,c=4,且|厲|=|/=|覺|=1,則反?布

C.若直線AO過(guò)BC的中點(diǎn)，則a=8=c

D.SjoB：Sjoc=b;c

第H卷（非選擇題）

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明

三、填空題

9.在AABC中，Z&4C=60°,BC=3,。是8。上的點(diǎn)，AO平分"4C,若4）=2,

則的面積為.

10.如圖，在AABC中，BD=DE=ECfAF=2FB,2AM=MDf直線尸M交AE于

點(diǎn)G,直線MC.交A&于點(diǎn)N,若△MNG是邊長(zhǎng)為1的等邊二角形，則向.證=

11.如圖，已知正方形A6CO的邊長(zhǎng)為1,E在C。延長(zhǎng)線上，且DE=CD.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)

A出發(fā)沿正方形A8CD的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中祈=4通+〃恁，

則下列命題正確的是.（填上所有正確命題的序號(hào)）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

①人0,〃之0；

②當(dāng)點(diǎn)尸為40中點(diǎn)時(shí)，4+4=1；

③若;1+〃=2,則點(diǎn)尸有且只有一個(gè)；

④2+〃的最大值為3：

⑤麗?通的最大值為1.

12.已知邊長(zhǎng)為2的正方形A8C0邊上有兩點(diǎn)P、Q,滿足|PQ|N1,設(shè)O是正方形的中

心，則麗?麗的取值范圍是.

四、解答題

13.在①岑=-丁"，②,處A也,③2s=々5麗?近三個(gè)條件中任選

cosC2a+csinc-sinCa+c

一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c且,作4?_LAD,使得四邊形

ABC。滿足NACZ）=q,AD=g,求8c的取值范圍.

14.如圖，數(shù)軸X），的交點(diǎn)為0,夾角為。，與I軸、》軸正向同向的單位向量分別是

由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量而，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（乂y）,使得

麗=扃+再，我們把（x,y）叫做點(diǎn)尸在斜坐標(biāo)系短），中的坐標(biāo)（以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在

斜坐標(biāo)系直為中的坐標(biāo)）.

y；

(1)若。=90。，而為單位向量，且方與1的夾角為120。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑵若0=45。，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,拒)，求向量而與I的夾角.

15.如圖，等腰直角三角形地塊ABC,A3=AC=2km,為了美化環(huán)境，現(xiàn)對(duì)該地塊

進(jìn)行改造，計(jì)劃從BC的中點(diǎn)。引出兩條成45。角的射線，分別交48,AC于點(diǎn)E,F,

將四邊形A瓦加區(qū)域改造為人工湖，其余區(qū)域?yàn)椴莸兀O(shè)NBDE=a.

(2)求人工湖AEL尸的面積S(a)的取值范圍.

TF

16.在平行四邊形A5CQ中，AB=2,40=1,NDAB=§.若E、尸分別是邊4C、CD

上的點(diǎn).

(1)若E、尸分別是邊3C、C。的中點(diǎn)，AE與8尸交于點(diǎn)。，用油和G表示益；

BPCF

(2)若E、尸滿足器=為，求危.京的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案

I.C

【分析】

建立直角坐標(biāo)系，求得向量￡,B的終點(diǎn)軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半

徑得到最小值得解

【詳解】

設(shè)礪=￡，OB=b

以I的方向?yàn)檎较颍谥本€為％軸，垂直于I所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系

力方均為單位向量，且它們的夾角為45。，則［=。,0),￡=(￥，￥)

,.1a+e2l=?設(shè)A=(x,y)

滿足(X+￥)、(y+*)2="

B=5+ke式kwR),設(shè)8=(%,%)

(%，Yo)=Q+^~'故/一%=1，

則|力|=|西-函=|麗I，則|力|的最小值為圓(x+爭(zhēng)+(y+爭(zhēng)2=:上的點(diǎn)到直線

%一%=1距離的最小值

一興+也T廠廠

其最小值為?22"五二近

VF+T44

故選:C.

【點(diǎn)睛】

向量模長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

2.D

【分析】

設(shè)/(x)=\xa+(\-2x)b『，必■=r,則/(x)=(16-4/)x2+(2r-12)x+3,由『⑶的最小值為1,

4

得4x(161⑵2：9,且16-4”0,解得"0或"3,然后分2種情況考慮

4x(16—41)4

Ia+yb|(ye7?)的最小值，即可得到本題答案.

【詳解】

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

設(shè)/(x)=|xZ+(l-2%)5?，ab=!?

則fM=ax2+2x(1-2x)ah+(\-2x)2b

=4x2+2x(1-2x)t+3(1-4x+4x2)

=(16-4r)x2+(2z-12)x+3

因?yàn)槠?(l-2x)6|(%eR)的最小值避

所以『⑴的最小值為力

4x(16—41)x3—⑵一⑵3

人」4x(16-4r)“且16-4C0,

解得r=0或f=3,

當(dāng)，=0,即￡.3=0時(shí).

\a+yh|=^4+2ya-h+3y2=(4+3y?>2，

所以IG+yBI(yeR)的最小值為2；

當(dāng)r=3,即2石=3時(shí)，

\a+yb|=yj4+2ya-b+3y2=J3y2+6y+4=J3(y+1)2+1>1，

所以|￡+y5|(ywK)的最小值為1,

綜上，|￡+?3|(yeR)的最小值為1或2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的模的計(jì)算與二次函數(shù)值域的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的推理分析能力和計(jì)算

能力.

3.B

【分析】

設(shè)向量：所在直線為QA(A為向量的終點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn)P位于與直線。A旋直且與圓相切的直線

上時(shí)，投影取得最值，進(jìn)而求出最大值.

【詳解】

如圖所示，向量：所在直線為。4(4為向量的終點(diǎn))，則后八=；，則設(shè)與直線。A垂直且與

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

I/-4I

圓相切的直線為/：y=-2x+f,所以圓心到直線的距離4==1nf=4±-\/5

根據(jù)圖形可知，當(dāng)f=4+6時(shí)投影最大，設(shè)此時(shí)/:y=-2x+4+有與直線04交于8,

y=-2工+4+石

解得：《|件灼』4+灼｝

易得，直線04：y=~^x,聯(lián)立:1

y=-x

所以|08|=(4+石)+6)=號(hào)+1，則向量辦在向量)=(2,1)方向上投影的最大值

為---+1.

5

故選：B.

4.A

【分析】

由卜+0+歸-4=4可得同=2,由忖=口=1,選=0,可得⑹?七近，設(shè)5=歸一刎10,

貝|JS=忸_4_0,S2—2a+2-2a(b+e)+2a-a(b+e),從而可求出

其最小值

【詳解】

解:因?yàn)闅w+0+忖一1=4,

所以歸+,+2忖+"弧-4+歸一42=16,

所以2片+2+2了-1卜16,所以/二4

所以同=2,

因?yàn)殁?忖=1,人"=0,所以歸一0=夜,

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

設(shè)$=卜一目+卜一0,則s>|(a_另卜(。_0)卜,

S2=2a+2-2a'(b+e)+2a-a(b+e),

當(dāng)/一—小+工)40時(shí)，S2=2(舍去)，

當(dāng)/_3@+工)>0時(shí)，52=18-4a-(5+e)>18-4|5|^4-^|=18-8x/2=(4->/2)2,

所以的最小值為4-、5，

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算律的應(yīng)用，考查向量的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

由已知條件得14=2,忸-0=也，令S=B-4+|￡—0,則

S2=2^+2—27@+工)+212—￡.@+可，然后化簡(jiǎn)可求得結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于較難

題

5.C

【分析】

作出圖形,結(jié)合三點(diǎn)共線性質(zhì)可?得，而=4而+(1-4)而，同時(shí)設(shè)AG=MM,聯(lián)立解出/U,

進(jìn)而確定%關(guān)系，同時(shí)滿足且=2而，進(jìn)而求出要關(guān)系，即可求解兩三角形面積之比.

GAGC

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)4M交8C于G,則而=4通+(1-義)而，因?yàn)锳,M.G三點(diǎn)共線，所以

1

-

2心3

AG=tAM，即屈+。-4)/=，佶而+<祜，所以工-則=-

12

I2，33)1-/t

3-

，=：,又行=畫,故而=：質(zhì),所以票=,，察=!，所以

55GC3GA6

^aWc=^xlsAM3/=^BAM,所以2=2.

乙Z0乙%8MC

故答案為：C

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

6.A

【分析】

根據(jù)向量的加法可得2E戶=4月,再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得4|而產(chǎn)=而2+比2+2通.配,

由0<而.加=1*2=2可得選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榍?麗+而+格W=ED+DC+CF>

又點(diǎn)E為A。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)，所以2而==^+比，

又因?yàn)?<A月0^41x2=2，

所以4|而降褶+三+2被配>4+1=5，

22

且4|麗『=AB+DC+2ABDC^4+1+2|AB||DC|=5+2X1X2=9?

所以4|研逅（5,9］,即|喬歸卓/，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，求線段的長(zhǎng)度的范圍，關(guān)鍵在于待求向量用已知向

量表示，由已知向量的數(shù)量積的范圍得以解決.

7.BCD

【分析】

對(duì)A：設(shè)0為正三角形ABC的內(nèi)心，P為內(nèi)切圓圓周上一點(diǎn)，（而+麗）-（4+所）=0,

所以西+而與京+而垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)8：取西+西+…+礫的反向延長(zhǎng)線與單位圓的交點(diǎn)為M,則而與

函+西+…+礫共線同向時(shí)，有|叫卜|西'卜…+|謝］

N“麗卜|西+西+…+四］之八，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)C：因?yàn)椋?礪+反+礪=4而+2麗+痂:=4而，所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)。：作直徑8D,連接人Q,可得四邊形4”C。為平行四邊形，所以

OH=OA+AH=OA+DC=dA+OC-dD=dA+O§+OC所以選項(xiàng)D正確.

【詳解】

解：對(duì)4如圖所示，。為正三角形43c的內(nèi)心，P為內(nèi)切圓圓周上一點(diǎn)，滿足再，而，無(wú)，可

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

兩兩不共線，而（蘇+方）.（定+而）=（而+）+所+而）（而+配+所）

=（2PO+OA+OB）（2PO+OC）=\2PO-OC^（2PO+OC）=4PO-O&=0,

所以中+而與定+所垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)B：如圖，當(dāng)〃=1時(shí)，|西|=|荻+珂，當(dāng)碗與西共線同向時(shí)，

|畫=麗卜冏2網(wǎng)=1；

當(dāng)〃=2時(shí)，|胸卜區(qū)冏=|M0+陷++OP^\>12Mo+（*+西,

當(dāng)血與西+強(qiáng)共線同向時(shí)，有上荻+（西+四）|=2|而可+|西+。月|22；

同理，可取西+西+…+函的反向延長(zhǎng)線與單位圓的交點(diǎn)為M,則血與

西+西+…+函共線同向時(shí)，有|砌]+|砌卜…+|研]

=函+0耳卜廂+西|+..+廂+因2%麗+西+圾+..+閉

="函+|西+西+…+西|之人所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)C：因?yàn)椋?5S+無(wú)+歷=[55+函）+（礪+而）+（礪+文）+（礪+SS）

=4OG+（GA+GS+GC+GD）=4OG+[GA++GD）+[GB+GC）

=4OG+2GM+2GN=4OGf

所以詬=]（礪+礪+式+兩，所以選項(xiàng)C正確；

4

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

D

對(duì)。：如圖，作直徑80,連接AD,則AD_LAB,又因?yàn)椤槿切蜛BC的垂心，

所以Ca_LA8,所以C”〃A。，同理AH〃C。，所以四邊形AHCD為平行四邊形，

所以麗=次+而=而+就=弧+元一麗=麗+麗+無(wú)，所以選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

8.AB

【分析】

由礪+2礪+3方=6，OB=OA+AB^近=礪+恁即可判斷A；

將4反=-（3次+2礪）兩邊平方可得漢.麗的值，再結(jié)合而二無(wú)一次即可判斷B；

設(shè)3C的中點(diǎn)為￡）,則而=g（而+林）=-礪+：而+；覺再結(jié)合荷=攵而即可得4仇c

之間的關(guān)系可判斷C；取點(diǎn)4,*,C使得前=〃次，OBi=hOB,（X?=cOC,則點(diǎn)。為

ss

VAEC的重心，可得，=再利用三角形面積公式即可求臺(tái)"，

即可求得Sj8：S,w，即可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A：若a=l,b=2,c=3則方+2礪+3反=0，因?yàn)槎?35+而，

OC=OA+AC，代入可得礪+2（E+而）+3（3+而）=。即

_,_____.1—1—

6OA+2AS+3AC=0^所以6而=2而+3而，可得4。=3A8+萬(wàn)AC,

故選項(xiàng)A正確；

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

對(duì)于B：若a=3,b=2,c=4則3礪+2而+4雙=6，所以4反=-（3礪+2礪）

所以16反匕（3礪+2麗卜即16反、9次：4而2+［2礪.而，

所以16=9+4+12方?麗，可得萬(wàn)?加二，

所以反.而=一；（3礪+2萬(wàn)）（礪_礪）=_；卜3麗2+2而2+麗麗）

二一：（-3+2+：］=2，故選項(xiàng)B正確；

414）16

對(duì)于C：設(shè)BC的中點(diǎn)為O,貝IJ而=g（而+*）=g（而一礪+武一麗）

二一04+；。3+；0。若直線4。過(guò)BC的中點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)女滿足血=攵而，

^AO=kx^-OA+^OB+^OC^=-kOA+^OB+^OC,

所以（1+女）厲一?礪一,加=6,所以。=4+1,b=c=~,所以不一定°=b=c,故選項(xiàng)

C不正確；

對(duì)于D：取點(diǎn)4,乩（7使得函麗，兩=〃而，OC=cOC＞則

OAi+OBf+OC=d^所以點(diǎn)。為VA'UC的重心，

因?yàn)橹匦摹５紹C'中點(diǎn)的距離等于中線的：，所以重心。到8c的距離等于高線的：，可得

S4K0C=QSj'tfc，問(wèn)理可得\A'OC'=§、owe?S揖0時(shí)=—SEKC、

所以S。*=^AAOC'=SAA,05',

-OBOCsxn^BOCIs1

所以［g2OBPC而同理可得；基

-OB'OCsxn^B'OCOB'OCac

2

S/OB1~T

嬴,所以Sj.^^叱=彳2-----=c:b,故選項(xiàng)D不正確;

一S.KOC

ac

故選：AB.

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

B\B

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)。為AA3c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且〃次+力而+C覺=0（。，ac>0），則

S&BOC：S,A0c-SSOB=a：b:c

2

【分析】

由正弦定理可得3。=」、DC=^—,即有［二+1==3,而券=等=26，

sinBsinesin8sinesinesinB

可得A8+AC=^ACA8,結(jié)合余弦定理求ACA8,再應(yīng)用三角形面積公式求d8C的

2

面積即可.

【詳解】

BDKDDCAD

ncAD.711

，由正弦定理，-7sinB，a即nBD=-----sin—=-------

sin—sinB6sinB

6

DC=—sin-=—,而8C=3,

sinC6sinC

--------1-------=3,

sinBsinC

???&=&=—^=26即_L=述，_L=氈

sinCsinBsinZBACsinCABsin5AC

BPAB+AC=—ACAB,

ACAB22

又由余弦定理知：AC2+AB2-2ACABcosZBAC=BC2，

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

AAC2+AB2-ACAB=9,即(4C+A8)2-3AC4B=9,^X=ACAB,

x2-4x-12=0,即x=6(x=-2舍去)，

I3J3

?-SARC=-ACABs\nZBAC=—.

故答案為：地.

2

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正余弦定理，列方程求AC-AB,根據(jù)三角形面積公式求面積.

10.-

5

【分析】

假設(shè)啟=4怠，首先根據(jù)向量共線求得AG=；AE，同理得ANn^AE，AG=^GN,最

》)4???2

后由于M"=4M)V，M4=MG+WNG,從而計(jì)算MAMC=g即可.

【詳解】

TT2T]一

解：^AG=AAE=-AAC+-AAB,

33

-?1—1—2f—2f

=-AD=-AC+-AB,AF=-AB,

3993

TT->]T4T

所以==

FG=AG-AF=-AAC+\-X--\AB,

3(33j

因?yàn)楸馑鶈?|卜卜打I"

2

得八g,

T2T

所以4G=§AE.

T[ff4f

同理4N=—4E,所以AG=—GN.

25

-TT11(\^*2A21-*

MN=AN-AM=-AC+-AB-\-AC+-AB\=-AC--AB

36(99J918f

->->-?Q—>9->->

MC=AC-AM=-AC--AB=4MN,

99

->-?-?-?4—

MA=MG+GA=MG+wNG,

->-*f-*4A—1682

所以MAMC=|MG+mNG14MN=4MN?MG+W"MNG=2_]=M.

【點(diǎn)睛】

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的

加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論

表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

11.??④⑤

【分析】

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸的坐標(biāo)(x,y)的有關(guān)問(wèn)題，

即可逐一作出判斷.

【詳解】

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則8(1,0],E(-M),

故A8=(L0),AE=(-1,1),AP-ZAB+=

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y),則,易得4+〃=(/l-〃)+2〃=x+2y.

x=2-//>0??

①由尸的運(yùn)行軌跡可知產(chǎn)后。,所以八故①正確;

②當(dāng)點(diǎn)尸為中點(diǎn)時(shí)，，2+〃=x+2y=l,,故②正確;

③由4+〃=2時(shí)x+2y=2,直線J：x+2y=2經(jīng)過(guò)0(0,1),與線段8c交于點(diǎn)(1,萬(wàn)

工使得％+〃=2的點(diǎn)有兩個(gè)，故③錯(cuò)誤;

④4+〃=4一〃+2〃=x+2y,顯然當(dāng)直線x+2y=4+〃平行移動(dòng),

經(jīng)過(guò)C(l,l)點(diǎn)時(shí)義+4取得最大值3,故④正確.

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

(5)由于而在荏的方向上的投影在「與。重合時(shí)取得最大值，

UUUULU_

此時(shí)而?荏取得最大值，ADAE=(O,1)(-1,1)=1?故⑤正確.

12.[-2,1]

【分析】

先建立平面直角坐標(biāo)系，再分類討論求出各種情況下的麗?麗的范圍即可得到答案.

【詳解】

建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

①當(dāng)P,Q兩點(diǎn)在正方形的同一邊上時(shí)(含正方形的頂點(diǎn)).

0W1

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)由于IPQE1,所以滿足?-14y40,

x-y>l

可得-14個(gè)40,

所以麗?麗=孫+16]0,1]；

②當(dāng)P,。兩點(diǎn)在正方形的相鄰邊上時(shí)(含正方形的頂點(diǎn)).

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)QU，D,尸(Ly),

所以麗?麗=x+y,

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

由于IPQI之i,所以乂y滿足1"小

（x-l）2+（^-l）2>l

當(dāng)2="+'與圓*—l）2+（y—l）2=l相切時(shí)，Z有最大值Zg=（應(yīng)一1）>0=2-也,

所以這種情況下/?麗=x+ye[-2,2-&]；

③當(dāng)P,。兩點(diǎn)在正方形的對(duì)邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)Q（K，1），P（X2，T），

所以麗?麗=西9一1,由圖可知，-1工王VlnTVXiW，

所以所衣=

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

綜上可知：[-2,1].

故答案為：[-2,1].

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵?是要分類討論，二是在每?種情況下要準(zhǔn)確地寫出變量的范圍

并求出每種情況下麗?麗取值范圍.

13.(0,2).

【分析】

根據(jù)題意，選擇①②③求得8=算，設(shè)㈤C=e，則/=e+在

△ACZ)中，由正弦定理求得AC=2sin(e+￡),在AABC中，由正弦定理求得可得

BC=-isin(^+—)sin^=-^^sin(2^--)+1,結(jié)合0<0<三和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

V36333

【詳解】

若選①：由筆=-J-，根據(jù)正弦定理可得筆

cosC2a+ccosCzsinA+sinc

即2sinAcosB+sinCeosB=-sinBcosC,

BP2sinAcosB=-sinBcosC-sinCeosB=-sin（B+C）=-sinA,

可得8sB=-；,因?yàn)锳e（0,;r）,所以B=

設(shè)Zft4C=e,ppjZC4D=--ZCDA=0+-,

26

ACAD

在AAC。中，由正弦定理得.八，

sinZADCsi'n1Z.3ACD

ADsinZADC"則（嶗）

可得檢"si必C'。"1二2sm（0+彳）,

sin一

3

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

在，蛇中,由正弦定理得益二總'

2制辦自加45叫「

ACsin，

可得BC=一”一耳sm('+k)sn°

sin8

3

sinO+JcosO)sine=,1

sin-^+—sin^cos0)

-^(2>/3sin29+2sinOcos。)=9(2>/5乂"!-C^S^+sin2^)

~^=(sin2?！?/3cos2。)+1=―^―1sin(26—()+1，

因?yàn)?<0v],可得—?<2?！?/p>

當(dāng)2。一9=￡時(shí)，即e=g,可得拽sin2+1=2,

33333

當(dāng)2夕-￡=-^時(shí)，即6=0,可得逆sin(-馬+1=0,

3333

所以8C的取值范圍是(0,2).

選②：由.：臣二口,根據(jù)正弦定理可得戶二"￡，

sinB-sinCa+cb-ca+c

可得，+公=乂一。？，BPa2+c2-b2=-ac,

又由余弦定理，可得cosB=#+c~b；=W￡

2aclac2

因?yàn)锳w(0人),所以8=與，

設(shè)ZJX4C=e,則NG4O=工一4NCDA=e+工,

26

ACAD

在△ACO中，由正弦定理得

sinZADCsin/AC。

汕3二士咤

2sin(^+—),

sinZACD.TT6

sin一

3

在，叱中，由正弦定理得煮二總'

2sin(6+7)sin。

ACsin。47T

可得BC==-j=sin(。+-)-sin0

sin.2%

Bsin——

3

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

sin6+；cos0)sin0=sin2e+；sin6cos6)

=J=(2Wsin?9+2sin"cos。)=1-COS20.今八\

-------+sin20)

x/3

=9(sin2。-百cos2。)+1=手sin(2<9-y)+l,

因?yàn)?<eg,可得這<2"d，

當(dāng)26-g=g時(shí)，即。=￡,可得亞sin2+1=2,

33333

當(dāng)2。一?二一?時(shí)，即0=0,可得竽sin(—?)+1=0,

所以8C的取值范圍是(0,2).

若選③：由2s=-J5麗可得2x：acsin〃一-BaccosZ?,

即sinB=-x/3cosB?可得tanB=-&?

因?yàn)?6(04),所以B=弓,

設(shè)z^c=e,則NCAO=2—仇NCOA=O+2,

26

ACAD

在△ACQ中，由正弦定理得

sinZADCsinZACD

可…"三

2sin(6>+-),

6

3

在AMC中'由正弦定理得益=羔

A廠.n2sin(0+三)sin夕

ACsm6/_'64-4c

可得BC==—f=sin(?+—)-sin0

sinB.2乃

sin——V36

3

sine+gcos6)sine=9(*sin2e+gsinOcos。)

l-C2s2￡^

sin2^+2sin^cos^)=x+sin2)

=(sin26—V3cos26)+1=-1sin(26——)+1*

V333

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

因?yàn)?<0<]，可得一?〈2。一(〈事，

當(dāng)2，—g=g時(shí)，即e=g,可得氈sin2+1=2,

33333

當(dāng)28-5=-(時(shí)，即9=0,可得竿sin(-§+l=0,

所以BC的取值范圍是(0,2).

14.(1)(一：,士岑)；(2)arccos-=1^-

【分析】

(1)利用而與1的數(shù)量積及而為單位向量列出方程組，求解即得：

(2)類比平面向量的長(zhǎng)度及夾角公式，計(jì)算向量而與1的夾角的余弦得解.

【詳解】

(1)0=90。時(shí)，坐標(biāo)系Mb為平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)P(x,y),則有加=(x,y),而不=(1,0),OP^=x,

又而￡=|而|￡|cosl20=-g,所以x=_g,又因|而|=Jf+y2=],

解得y=±乎，故點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(_最士*)；

⑵依題意[之夾角為45。，不.刊=|不I?向Icos45'孝,而=4+&?&,

2

「JOP|=|e,+>/2?e21=y/(et+V2-e2)=\Jet+2y/2et-e2+2e2=J5?

OPex^OP\\eyI-cos?=>/5cosa,9.&=(，+母+g￡4=2,

所以6cosa=2,cosa=?而ae[0,4],故a=arccos^^.

55

【點(diǎn)睛】

坐標(biāo)系下新定義的創(chuàng)新試題，類比原有平面向量的模、數(shù)量積解決，但不能直接類比原有平

面向量的直角坐標(biāo)方法處理.

15.(1)^^(km)2；(2)(4-何(km)?

【分析】

(1)先根據(jù)正弦定理求