《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 5.1 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析

1第五章數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析實(shí)驗(yàn)5.1統(tǒng)計(jì)作圖實(shí)驗(yàn)5.2參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)5.3假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2實(shí)驗(yàn)5.1統(tǒng)計(jì)作圖一、頻率直方圖二、統(tǒng)計(jì)量四、應(yīng)用舉例三、常用概率分布的MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3一、頻率直方圖

在這次實(shí)驗(yàn)中，我們用MATLAB軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值的計(jì)算,作出頻數(shù)直方圖.

將數(shù)據(jù)的取值范圍等分為若干個(gè)小區(qū)間，以每一個(gè)小區(qū)間為底，以落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)（頻數(shù)）為高作小矩形，這若干個(gè)小矩形組成的圖形稱為頻數(shù)直方圖.

用MATLAB作頻數(shù)直方圖，首先將數(shù)據(jù)按行或列寫(xiě)入一個(gè)數(shù)據(jù)文件備用，然后用hist函數(shù)(見(jiàn)表5.1)作出圖形.4表5.1常用函數(shù)函數(shù)功能figure(h)figure(h)有兩種情況，當(dāng)h為已存在圖形的句柄時(shí)，則打開(kāi)這一圖形作為當(dāng)前圖形，供后續(xù)繪圖命令輸出.當(dāng)h不為句柄且為整數(shù)時(shí)，則figure(h)可建立一圖形窗口，并給它分配句柄hhist(s,k)s表示數(shù)組（行或列），k表示將以數(shù)組s中的最大和最小值為端點(diǎn)的區(qū)間等分為k份.hist(s,k)可以繪制出以每個(gè)小區(qū)間為底，以這個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)為高的小矩形組成的直方圖5例1

某教師為檢查利用多媒體合堂教學(xué)效果，對(duì)所授課程成績(jī)進(jìn)行分析，已知該合堂班共有學(xué)生144名，成績(jī)（用X表示）如下:648387678166606782848082688475384273757812675480936645517667947582684564717885724161317680767056658167746771746173493556747650765652906888796691518186836567806868675059793935617061817458817271807181745881727161675090957454627335748497748278858372918483667092819692799575786139625550856860根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出該門(mén)課程成績(jī)的頻數(shù)直方圖和樣本分布函數(shù)圖.6解(1)將以上述數(shù)組中的最大和最小值為端點(diǎn)的區(qū)間等分為10(見(jiàn)圖5.1)、12(見(jiàn)圖5.2)、20(見(jiàn)圖5.3)等份,分別作頻數(shù)直方圖.在命令窗口輸入A=[648387678166606782848082688475384273757812675480936645517667947582684564717885724161317680767056658167746771746173493556747650765652906888796691518186836567806868675059793935617061817458817271807181745881727161675090957454627335748497748278858372918483667092819692799575786139625550856860]7圖5.1figure(1),hist(A,10)↙figure(1),hist(A,12)↙圖5.28figure(1),hist(A,20)↙圖5.3由上面三個(gè)圖形可見(jiàn)，k的大小要根據(jù)數(shù)據(jù)的取值范圍而定為了更清楚地反映.出總體X的特性,通常每個(gè)小區(qū)間至少包含2～4個(gè)數(shù)據(jù).9

另外，把頻數(shù)直方圖的縱坐標(biāo)上的頻數(shù)換為相應(yīng)小區(qū)間上的頻率，頻數(shù)直方圖即為頻率直方圖.(2)樣本分布函數(shù)圖編寫(xiě)數(shù)據(jù)排序程序:fori=1:143forj=144:-1:i+1ifA(j)>A(j-1)y=A(j);A(j)=A(j-1);A(j-1)=y;endendenddisp(A)↙10作頻數(shù)累積圖(見(jiàn)圖5.4):x=linspace(12,97,51);y=[125689101213171920222326282931373941434756626570747985899498101106114118122126129130131132134136138139140142143144];plot(x,y)↙圖5.411c=[y/144];x=linspace(12,97,51);plot(x,c)↙作樣本分布函數(shù)圖(見(jiàn)圖5.5)

由頻數(shù)累積圖和樣本分布圖可見(jiàn)，它們的形狀是完全相同的,只要把頻數(shù)累積圖縱坐標(biāo)上的頻數(shù)換為相應(yīng)的累積頻率,就得到了樣本分布函數(shù)圖.12二、統(tǒng)計(jì)量1.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的統(tǒng)計(jì)量（１）樣本均值和中位數(shù)將由小到大排序后位于中間的那個(gè)數(shù)稱為中位數(shù).（２）樣本方差﹑樣本標(biāo)準(zhǔn)差和極差樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差極差13數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的函數(shù)，見(jiàn)下表函數(shù)功能及格式mean(x)求x陣列的均值；調(diào)用格式：M=mean(x)median(x)求x陣列的中值；調(diào)用格式：M=median(x)range(x)求x陣列的極差；調(diào)用格式：R=range(x)var(x),var(x,1)求x陣列的方差；調(diào)用格式：V=var(x)std(x),std(x,1)求x陣列的標(biāo)準(zhǔn)差；調(diào)用格式：S=std(x)14例2

求例1中，A的均值﹑中位數(shù)﹑極差﹑方差﹑標(biāo)準(zhǔn)差.解

在命令窗口輸入:M=[mean(A)median(A)range(A)var(A)std(A)]↙M=69.847272.000085.0000228.787715.1257

由例1的頻率直方圖及統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值可見(jiàn),均值和中位數(shù)表示數(shù)據(jù)分布的位置;方差﹑標(biāo)準(zhǔn)方差、極差表示數(shù)據(jù)對(duì)均值的離散程度.152．幾個(gè)重要概率分布（１）正態(tài)分布隨機(jī)變量X的概率密度為當(dāng)時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作

它的分布函數(shù)記作（２）分布若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均分從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

16服從自由度為的分布，記作（３）t分布若隨機(jī)變量

且它們相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量為服從

自由度為n的t分布,記作

（４）F分布若隨機(jī)變量，且它們相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從

第一自由度為,第二自由度為

的F分布,記作17三、常用概率分布的MATLAB實(shí)現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)中，正態(tài)分布﹑分布、

t分布、F分布是經(jīng)常用到的四種分布,在MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱，給出它們的概率密度和分布函數(shù)函數(shù)功能normpdf(x,mu,sigma)均值為mu﹑標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布的密度函數(shù)，其中

x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣.當(dāng)mu＝0,sigma＝1可以缺省normcdf(x,mu,sigma)均值為mu﹑標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布的分布函數(shù)，

其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣.當(dāng)mu＝0,sigma＝1可以缺省chi2pdf(x,n)分布的密度函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣chi2cdf(x,n)布的分布函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣tpdf(x,n)分布的密度函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣tcdf(x,n)分布的分布函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣fpdf(x,n1,n2)分布的概率密度f(wàn)cdf(x,n1,n2)分布函數(shù)18例3

分別在同一張圖上作出：（1）正態(tài)分布N(0,0.62)﹑N(0,12)﹑N(-1,12)﹑N(1,22)的概率密度圖;分布的概率密度圖;

（2）

（3）分布的概率密度圖;

（4）分布的概率密度圖.解

在命令窗口輸入：x=-4:0.1:4;p1=normpdf(x,0,0.6);p2=normpdf(x,0,1);p3=normpdf(x,-1,1);p4=normpdf(x,1,2);19figure(1),plot(x,p1,x,p2,x,p3,x,p4)↙圖5.620（2）輸入:x=0:0.1:30;p1=chi2pdf(x,5);p2=chi2pdf(x,10);figure(1),plot(x,p1,x,p2)↙分布的數(shù)學(xué)期望，方差當(dāng)自由度增加時(shí)，數(shù)學(xué)期望、方差增大，因此概率密度曲線向右移動(dòng)，且變平，如圖5.7所示.21（3）輸入:x=-4:0.1:4;p1=tpdf(x,1);p2=tpdf(x,10);p3=tpdf(x,20);p4=normpdf(x,0,1);figure(1),plot(x,p1,x,p2,x,p3,x,p4)↙圖5.822此圖從直觀上驗(yàn)證了統(tǒng)計(jì)理論中的結(jié)論：當(dāng)

時(shí)，

實(shí)際上,從在圖5.8可見(jiàn)，當(dāng)

時(shí)，它與就相差無(wú)幾了.（4）輸入：x=0:0.01:4;p1=fpdf(x,5,10);p2=fpdf(x,10,10);P3=fpdf(x,10,5)；figure(1),plot(x,p1,x,p2，x，p3)↙23圖5.924四、應(yīng)用舉例計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣實(shí)驗(yàn)

通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣實(shí)驗(yàn).用1代替國(guó)徽向上，0代替國(guó)徽向下，n表示試驗(yàn)次數(shù).（1）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，觀察國(guó)徽向上的一面頻率的變化情況.（2）進(jìn)行n次重復(fù)獨(dú)立的擲硬幣實(shí)驗(yàn)，分別用表示這n次試驗(yàn)的結(jié)果，求它們的均值及方差.（3）設(shè),其中進(jìn)行n次重復(fù)獨(dú)立的擲硬幣試驗(yàn)，對(duì)ξ來(lái)說(shuō)稱為一次試驗(yàn)，得到的結(jié)果稱為25這次試驗(yàn)的結(jié)果.做N次這樣的試驗(yàn)，將所得結(jié)果記為,取足夠大的N和n,觀察隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)的變化情況并與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)相比較.解

(1)n

=100在命令窗口輸入:x=rand(1,100);y=fix(2*x);p=0;fori=1:100;p=p+y(1,i);enddisp(p/100)↙0.4400把上述程序中的n換為1000,10000,100000分別得

p=0.4880,p=0.5059，p=0.5007.26

通過(guò)模擬試驗(yàn)可見(jiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，國(guó)徽向上的頻率逐漸逼近它的概率0.5.從直觀上驗(yàn)證了頻率的穩(wěn)定性.(2)

n=10000

x=rand(1,10000);y=fix(2*x);a=[mean(y)var(y)]↙a=0.50590.2500(3)n

=2500當(dāng)N=500時(shí)，取ξ的500個(gè)樣本觀測(cè)值：x=zeros(1,500);y=fix(2*rand(500,2500));fori=1:500;forj=1:2500;x(1,i)=x(1,i)+y(i,j);endx(1,i)=（2＊（(x(1,i)-1250)）/50;En