寧夏回族自治區(qū)銀川市2025屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷含答案

寧夏回族自治區(qū)銀川市2025屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（

）A． B．1 C． D．2．若數(shù)列的前項和，則等于（

）A．10 B．11 C．12 D．133．已知函數(shù)為在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．0,+∞4．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（

）A． B．C．2 D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則取最小值時，的值為（

）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或157．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶左《數(shù)書九章》中記述了了“一斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則的面積，根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則恰有個零點(diǎn)B．若恰有個零點(diǎn)，則的取值范圍是C．若恰有個零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若，則恰有個零點(diǎn)二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖像的對稱中心是，C．函數(shù)的遞增區(qū)間是，D．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位而得到11．正方形的邊長為4，是中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（

）A．最大值為1 B．最大值為2C．存在使得 D．最大值是8三、填空題（本大題共3小題）12．已知單位向量滿足，則方向上的投影向量為.13．已知，則的最小值為．14．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)．(1)求的最小正周期和對稱軸方程；(2)求在的最大值和最小值．16．已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.17．在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求線段長的取值范圍．18．已知函數(shù)和(1)若函數(shù)是定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，求的取值范圍.(2)若函數(shù)和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列19．定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“線性數(shù)列”.(1)已知為“線性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)已知.（i）證明：數(shù)列為“線性數(shù)列”；（ii）記，數(shù)列的前項和為，證明：.

參考答案1．【答案】C【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計算即可得.【詳解】.故選：C.2．【答案】C【詳解】.故選：C.3．【答案】B【詳解】當(dāng)時，恒成立，此時在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，在單調(diào)遞增；因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，此時還需滿足，解得，綜上所述：，故選：B.4．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，再由及兩角差的正切公式計算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，又，所?故選：D5．【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式即可得解.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6．【答案】A【詳解】由，，所以，數(shù)列的公差，且，所以，且數(shù)列單調(diào)遞增，故取最小值時，的值為15或16.故選：A7．【答案】B【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡，求得，再結(jié)合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，即，又由，所以，由因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，解得，則的面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和兩角和與差的正弦函數(shù)公式的化簡求值的綜合應(yīng)用，意在考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.8．【答案】D【詳解】令，則，解得或，當(dāng)時，，由f′x>0，得；由f′x<0則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，取最大值，最大值為f?1=2，故的大致圖象如圖所示，由圖可知，有且僅有個實(shí)根.當(dāng)時，恰有個零點(diǎn)，故A選項錯誤；由恰有個零點(diǎn)，則恰有個實(shí)根，且，則或或，則B選項錯誤；由恰有個零點(diǎn)，得恰有個實(shí)根，則或或，則選項錯誤；當(dāng)時，有個實(shí)根，則恰有個零點(diǎn)，故D單調(diào)正確；故選：D.9．【答案】BCD【詳解】由圖象可知，，則,故，解得，所以，由得，解得，即，又因?yàn)?，所以，所以，?故選：BCD.10．【答案】BCD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性及圖象變換的概念判斷各選項．【詳解】對于A，時，，時，，不是函數(shù)的周期，A錯；對于B，，，因此函數(shù)圖象對稱中心是，，B正確；對于C，，，，，是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此原函數(shù)的增區(qū)間是，C正確；對于D，函數(shù)的圖像向右平移個單位得圖象的函數(shù)解析式為，D正確．故選：BCD．11．【答案】AD【詳解】以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，，，，，，，，，，，，解得，，則，，，時，取最大值1，正確；，其中，，為銳角，當(dāng)即時，取最大值，故B錯誤；若，則有，整理得，得，即，故不存在滿足條件的值，即不存在符合條件的點(diǎn)，C錯誤；由于，，時，的最大值為8，D正確．故選：AD．12．【答案】【詳解】，因?yàn)椋?，所以在方向上的投影向量?故答案為：.13．【答案】【詳解】令，，則，，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，即.故答案為：.14．【答案】【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，，函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，則有，解得且，所以不等式解集為.故答案為：15．【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為，，(2)的最小值，最大值.【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期為．令，，解得，，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，，（2）當(dāng)時，，則，進(jìn)而可得，當(dāng)時，即時，取最小值，時，即時，取最大值.16．【答案】(1)證明見解析，；(2).【詳解】（1）由，，所以是首項、公比均為3的等比數(shù)列，故；（2）由（1）有，則，所以，兩式相減，得，所以.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理得，由正弦定理得，又是銳角三角形，所以，所以，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得解得，則，所以，所以，所以，所以線段長的取值范圍為．18．【答案】(1)(2)1(3)存在【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零恒成立，轉(zhuǎn)化為最值求解即可；（2）分別求出兩函數(shù)的最值，根據(jù)最值相等構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得的值；（3）求導(dǎo)研究函數(shù)和的單調(diào)性，及最值，設(shè)出其交點(diǎn)，進(jìn)而求出三個不同的交點(diǎn)，根據(jù)等式可證明等差數(shù)列.【詳解】（1）恒成立，因?yàn)?，所以，則的取值范圍為；（2）定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，若，則，單調(diào)遞增，無最小值，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)楹瘮?shù)和有相同的最小值所以，因?yàn)?，所以化為，令，，則，因?yàn)椋院愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋瑑H有此一解，所以；（3）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，恒成立，即在時恒成立，所以時，，因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為,，此時可作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象知當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)時，直線必經(jīng)過點(diǎn),，即，因?yàn)?，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以?dāng)直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)時，從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，因?yàn)?，所以，所以，，成等差?shù)列．所以存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，