高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.2.2 兩角和與差的正、余弦函數(shù)教案 北師大版必修4

高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.2兩角和與差的正、余弦函數(shù)教案北師大版必修4主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱(chēng)：兩角和與差的正、余弦函數(shù)

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中四年級(jí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班

3.授課時(shí)間：第2學(xué)期的第9周，星期三，第1節(jié)（08:00-08:45）

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

課程內(nèi)容設(shè)計(jì)：

一、導(dǎo)入（5分鐘）

通過(guò)回顧上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，即兩角和與差的正弦函數(shù)公式，自然導(dǎo)入本節(jié)課的主題——兩角和與差的余弦函數(shù)公式。

二、新課內(nèi)容（25分鐘）

1.利用多媒體展示兩角和與差的余弦函數(shù)公式。

2.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作，探討并證明余弦函數(shù)的兩角和與差公式。

a.利用課本P102的例題，指導(dǎo)學(xué)生理解并應(yīng)用公式。

b.分組討論并展示不同的證明方法。

3.解釋并演示如何運(yùn)用這些公式簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

三、實(shí)例演示（10分鐘）

選用北師大版必修4課本P103的練習(xí)題2、3，現(xiàn)場(chǎng)演示解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

四、課堂練習(xí)（5分鐘）

讓學(xué)生獨(dú)立完成北師大版必修4課本P104的習(xí)題1、2，鞏固對(duì)公式的理解和運(yùn)用。

五、總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）

1.對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)兩角和與差余弦公式的記憶與運(yùn)用。

2.布置課后作業(yè)：完成課本P105的習(xí)題3、4，并預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。

六、課后反思

教師根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)和學(xué)習(xí)效果，及時(shí)進(jìn)行課后反思，調(diào)整教學(xué)方法，以便更好地服務(wù)于學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下核心素養(yǎng)：

1.數(shù)學(xué)抽象：通過(guò)探索兩角和與差的余弦函數(shù)公式，提升學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，加深對(duì)三角函數(shù)變換的理解。

2.邏輯推理：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)定理和公理，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理證明兩角和與差的余弦公式，提高學(xué)生的推理能力。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用三角恒等變換進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，解決具體問(wèn)題，加強(qiáng)計(jì)算能力和公式的應(yīng)用技巧。

4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合具體實(shí)例，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)以致用的意識(shí)。

5.數(shù)據(jù)分析：通過(guò)課堂練習(xí)，讓學(xué)生分析、比較不同解題方法，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析能力和優(yōu)化解題策略的素養(yǎng)。

6.數(shù)學(xué)思維：鼓勵(lì)學(xué)生在探索和解決問(wèn)題過(guò)程中，發(fā)展批判性思維和創(chuàng)新思維，提高解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了以下相關(guān)知識(shí)：基本的三角函數(shù)定義、圖像和性質(zhì)；正弦函數(shù)的兩角和與差公式；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。此外，學(xué)生還具備一定的代數(shù)運(yùn)算能力和邏輯推理基礎(chǔ)，這些都是學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的重要基礎(chǔ)。

2.學(xué)習(xí)興趣、能力和風(fēng)格：高中四年級(jí)學(xué)生通常對(duì)數(shù)學(xué)有一定的興趣，尤其是對(duì)邏輯推理和解決問(wèn)題充滿(mǎn)好奇心。他們對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)和公式的理解能力較強(qiáng)，喜歡通過(guò)具體的例子來(lái)理解和掌握抽象概念。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有的喜歡獨(dú)立思考，有的則更傾向于小組合作和討論。

學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理方面表現(xiàn)出較強(qiáng)的能力，能夠通過(guò)觀察和總結(jié)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。他們對(duì)數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問(wèn)題的興趣也較高，這有助于本節(jié)課內(nèi)容的吸收和應(yīng)用。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：兩角和與差的余弦公式涉及到的代數(shù)變換較為復(fù)雜，學(xué)生在理解和記憶公式上可能存在困難。此外，將這些公式靈活應(yīng)用于解決綜合性問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)感到挑戰(zhàn)性較大。特別是在運(yùn)用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤或不知道如何選擇合適的變換方法。

另外，部分學(xué)生可能在邏輯推理和證明過(guò)程中遇到困難，對(duì)公式的推導(dǎo)過(guò)程不夠清晰，需要教師在教學(xué)過(guò)程中給予更多的引導(dǎo)和解釋。對(duì)于這些潛在的問(wèn)題，教師應(yīng)準(zhǔn)備相應(yīng)的教學(xué)策略和輔助材料，以幫助學(xué)生克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：對(duì)于兩角和與差的余弦函數(shù)公式的推導(dǎo)和理解，采用講授法進(jìn)行教學(xué)。教師通過(guò)清晰的邏輯推理和詳細(xì)的步驟解釋?zhuān)瑤椭鷮W(xué)生理解公式的來(lái)龍去脈，強(qiáng)調(diào)公式的重要性和應(yīng)用場(chǎng)景。同時(shí)，結(jié)合實(shí)際例題，展示公式的具體運(yùn)用，使學(xué)生在聽(tīng)講中掌握知識(shí)要點(diǎn)。

2.討論法：在推導(dǎo)和證明公式過(guò)程中，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)，分享不同的證明方法，通過(guò)集思廣益，提高學(xué)生對(duì)公式的理解和記憶。此外，針對(duì)課堂練習(xí)中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展討論，分析錯(cuò)誤原因，總結(jié)解題技巧。

3.實(shí)驗(yàn)法：利用多媒體教學(xué)軟件（如幾何畫(huà)板、Mathematica等），讓學(xué)生觀察和探索三角函數(shù)的圖像變化，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)兩角和與差公式的規(guī)律。這種方法有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀感受。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：運(yùn)用多媒體課件，展示兩角和與差的余弦函數(shù)公式、例題和圖像，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象直觀。同時(shí)，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生更好地理解公式推導(dǎo)過(guò)程，提高學(xué)習(xí)效果。

2.教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)軟件（如MathType、GeoGebra等）進(jìn)行公式的編輯、推導(dǎo)和演示，提高課堂效率。此外，通過(guò)教學(xué)軟件，設(shè)計(jì)互動(dòng)性強(qiáng)、富有挑戰(zhàn)性的課堂練習(xí)，讓學(xué)生在課堂上實(shí)時(shí)反饋，增強(qiáng)教學(xué)互動(dòng)性。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：結(jié)合網(wǎng)絡(luò)資源，如在線(xiàn)教育平臺(tái)、數(shù)學(xué)論壇等，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資料和拓展知識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源開(kāi)展自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的信息素養(yǎng)和自主學(xué)習(xí)能力。

在教學(xué)過(guò)程中，將以上教學(xué)方法和手段相結(jié)合，注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。具體實(shí)施如下：

1.導(dǎo)入階段：通過(guò)多媒體課件展示上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生回顧正弦函數(shù)的兩角和與差公式，為新課內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2.新課內(nèi)容階段：結(jié)合講授法和討論法，教師講解兩角和與差的余弦函數(shù)公式，并組織學(xué)生進(jìn)行小組討論。在此過(guò)程中，利用多媒體課件和教學(xué)軟件，展示公式推導(dǎo)過(guò)程和例題解析。

3.實(shí)例演示階段：運(yùn)用多媒體設(shè)備，現(xiàn)場(chǎng)演示解題過(guò)程，讓學(xué)生直觀地看到公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

4.課堂練習(xí)階段：利用教學(xué)軟件，設(shè)計(jì)具有針對(duì)性的習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上實(shí)時(shí)練習(xí)。同時(shí)，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分析解題方法，提高課堂互動(dòng)性。

5.課后拓展階段：推薦網(wǎng)絡(luò)資源，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展自主學(xué)習(xí)，拓寬知識(shí)視野。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

課程開(kāi)始時(shí)，通過(guò)多媒體展示上節(jié)課學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)的兩角和與差公式，引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并提出問(wèn)題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的兩角和與差公式，那么余弦函數(shù)的兩角和與差公式又是怎樣的呢？”從而激發(fā)學(xué)生的好奇心，順利導(dǎo)入新課。

2.新課講授（用時(shí)15分鐘）

（1）教師首先介紹兩角和與差的余弦函數(shù)公式，通過(guò)具體的例子和圖形，解釋公式中的各個(gè)參數(shù)，讓學(xué)生對(duì)公式有初步的認(rèn)識(shí)。

（2）接著，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作，利用已知的三角恒等式和數(shù)學(xué)性質(zhì)，共同推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式。在此過(guò)程中，教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生的疑問(wèn)。

（3）針對(duì)推導(dǎo)過(guò)程中涉及的難點(diǎn)，如公式的化簡(jiǎn)和變形，教師進(jìn)行詳細(xì)講解，并通過(guò)多媒體演示，讓學(xué)生直觀地理解推導(dǎo)過(guò)程。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

（1）教師設(shè)計(jì)一組有關(guān)兩角和與差余弦公式的計(jì)算題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)公式的掌握程度。

（2）學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）繪制兩角和與差余弦函數(shù)的圖像，觀察并分析圖像特征，進(jìn)一步理解公式。

（3）挑選幾名學(xué)生代表，展示他們的計(jì)算過(guò)程和圖像分析，讓其他學(xué)生借鑒和學(xué)習(xí)。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

（1）針對(duì)課堂練習(xí)中的難題，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論。引導(dǎo)學(xué)生從以下三個(gè)方面展開(kāi)討論：

a.公式的選擇：在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，如何選擇合適的余弦公式進(jìn)行求解？

b.計(jì)算技巧：在運(yùn)用余弦公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，有哪些簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧？

c.解題策略：對(duì)于不同類(lèi)型的問(wèn)題，如何靈活運(yùn)用余弦公式解決問(wèn)題？

（2）各小組針對(duì)討論問(wèn)題，給出具體的解答實(shí)例，并分享解題心得。

（3）教師對(duì)小組討論結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，總結(jié)解題方法和技巧。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

在課程結(jié)束時(shí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程、應(yīng)用場(chǎng)景和注意事項(xiàng)。同時(shí)，提醒學(xué)生課后加強(qiáng)練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-《三角函數(shù)及其應(yīng)用》：介紹三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，包括物理學(xué)、工程學(xué)、地理學(xué)等領(lǐng)域。

-《數(shù)學(xué)史中的三角學(xué)》：回顧三角學(xué)的發(fā)展歷程，了解歷史上數(shù)學(xué)家們?cè)谌呛瘮?shù)研究方面的貢獻(xiàn)。

-《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》：深入探討三角函數(shù)的圖像特點(diǎn)及其與性質(zhì)之間的關(guān)系，拓展對(duì)三角函數(shù)的理解。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-研究三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，探討它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-學(xué)習(xí)三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)，了解其在數(shù)值計(jì)算和近似計(jì)算中的應(yīng)用。

-探索兩角和與差公式的推廣，如三角和與差公式、多角和與差公式等，并嘗試進(jìn)行證明。

-通過(guò)實(shí)際案例，如測(cè)量角度、計(jì)算物體的高度等，應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。

-結(jié)合物理學(xué)的振動(dòng)和波動(dòng)現(xiàn)象，理解三角函數(shù)在描述周期性變化中的作用。

-研究三角函數(shù)在信號(hào)處理和頻譜分析中的應(yīng)用，如音頻信號(hào)處理、圖像處理等。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度、提問(wèn)回答的積極性和準(zhǔn)確性，以及課堂練習(xí)的完成情況。這些表現(xiàn)將作為評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度和課堂學(xué)習(xí)效果的重要依據(jù)。

2.小組討論成果展示：評(píng)估各小組在討論過(guò)程中的合作程度、解題思路的合理性以及最終展示的清晰度。通過(guò)這一環(huán)節(jié)，了解學(xué)生在團(tuán)隊(duì)合作中的貢獻(xiàn)和問(wèn)題解決能力。

3.隨堂測(cè)試：設(shè)計(jì)一份涵蓋本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容的測(cè)試題，包括選擇題、填空題和解答題，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)兩角和與差余弦公式的掌握程度。測(cè)試結(jié)果將直接反映學(xué)生的學(xué)習(xí)成效。

4.課后作業(yè)：布置與課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生在課后獨(dú)立完成。通過(guò)作業(yè)的批改，了解學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的鞏固情況，以及他們?cè)谧灾鲗W(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)學(xué)生在課堂表現(xiàn)、小組討論、隨堂測(cè)試和課后作業(yè)中的表現(xiàn)，給予及時(shí)的反饋。教師的評(píng)價(jià)應(yīng)具體、具有指導(dǎo)性，旨在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的優(yōu)點(diǎn)和不足，促進(jìn)他們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的改進(jìn)。

具體實(shí)施如下：

1.課堂表現(xiàn)評(píng)價(jià)（用時(shí)5分鐘）：

-教師在課堂上觀察學(xué)生的行為和反應(yīng)，記錄他們?cè)谔釂?wèn)和練習(xí)中的表現(xiàn)。

-對(duì)積極參與、正確回答問(wèn)題的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)，對(duì)表現(xiàn)欠佳的學(xué)生給予鼓勵(lì)和指導(dǎo)。

2.小組討論成果展示評(píng)價(jià)（用時(shí)5分鐘）：

-教師在小組展示時(shí)，關(guān)注學(xué)生的表達(dá)能力和解題思路。

-對(duì)表現(xiàn)優(yōu)秀的小組給予肯定，對(duì)存在的問(wèn)題提出改進(jìn)建議。

3.隨堂測(cè)試評(píng)價(jià)（用時(shí)5分鐘）：

-教師在課堂結(jié)束時(shí)發(fā)放測(cè)試題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。

-收集測(cè)試卷，及時(shí)批改并給予反饋，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)成果。

4.課后作業(yè)評(píng)價(jià)（課后時(shí)間）：

-教師在課后批改作業(yè)，記錄學(xué)生的錯(cuò)誤類(lèi)型和常見(jiàn)問(wèn)題。

-在下一節(jié)課開(kāi)始時(shí)，對(duì)作業(yè)情況進(jìn)行總結(jié)，針對(duì)普遍問(wèn)題進(jìn)行講解。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋（用時(shí)5分鐘）：

-教師在課后對(duì)學(xué)生的整體表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，總結(jié)本次課程的優(yōu)點(diǎn)和不足。

-將評(píng)價(jià)結(jié)果以書(shū)面或口頭形式反饋給學(xué)生，鼓勵(lì)他們不斷進(jìn)步。板書(shū)設(shè)計(jì)1.重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-兩角和與差的余弦函數(shù)公式

-余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)

-公式的推導(dǎo)與應(yīng)用

2.重點(diǎn)詞句：

-余弦公式：cos(A±B)=cosAcosB?sinAsinB

-公式推導(dǎo)：利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和兩角和的正弦公式

-應(yīng)用場(chǎng)景：計(jì)算