2024-2025學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分）1．（2分）下列表情符號(hào)中，不是軸對(duì)稱圖形的是A．^^ B．⑨⑨ C． D．2．（2分）下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，413．（2分）在聯(lián)歡會(huì)上，有、、三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒?，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鞯腁．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)4．（2分）根據(jù)下列已知條件，能夠畫(huà)出唯一△的是A．，， B．，， C．，， D．，，5．（2分）如圖，南北向的公路上有一點(diǎn)，東西向的公路上有一點(diǎn)，若要在南北向的公路上確定點(diǎn)，使得是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)最多能確定個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．56．（2分）如圖，已知點(diǎn)、、在同一直線上，△和△都是等邊三角形．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．①；②；③△是等邊三角形；④連接，則平分，以上結(jié)論正確的有A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，共24分）7．（2分）等腰三角形的對(duì)稱軸是．8．（2分）如圖，已知，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使．9．（2分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．10．（2分）如圖，在△中，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，△的周長(zhǎng)為，則△的周長(zhǎng)是．11．（2分）如圖，在直角三角形中，，，，為△的中線，則的長(zhǎng)為．12．（2分）一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為15、20、25，則三角形的面積為．13．（2分）如圖，是等邊三角形，，，則的度數(shù)為．14．（2分）如圖，平分，于，于，，，若，則．15．（2分）如圖，在△中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)為．16．（2分）如圖，四個(gè)全等的直角三角形與小正方形拼成的大正方形圖案，如果大正方形的面積為25，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為和，那么的值為．17．（2分）如圖，一張矩形紙片，其中，，將紙片沿對(duì)角線對(duì)折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．18．（2分）如圖，已知，△中，，，△的頂點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之在上運(yùn)動(dòng)，△的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大為．三、解答題（本大題共8小題，共64分）19．（6分）如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，．求證：．20．（8分）如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．21．（8分）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，交的平分線于，于，于交的延長(zhǎng)線于．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．22．（6分）利用網(wǎng)格線畫(huà)圖：（1）在上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到和的距離相等；（2）在射線上找一點(diǎn)，使．23．（8分）證明：在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：．求證：．證明：24．（8分）如圖，四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．25．（10分）在△中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為邊在其右側(cè)作△，使得、，連接．（1）如圖①，點(diǎn)在線段上，求證：△△．（2）設(shè)，．當(dāng)點(diǎn)在射線上移動(dòng)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．（10分）【新知學(xué)習(xí)】如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么我們就把這樣的三角形叫做“智慧三角形”．【概念理解】（1）下列三個(gè)三角形，是智慧三角形的是（填序號(hào)）；【靈活應(yīng)用】（2）如圖1，已知線段和直線，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在上找出所有滿足條件的點(diǎn)，使得△為“智慧三角形”（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；【深入探究】（3）如圖2，等邊三角形邊長(zhǎng)．若動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿△的邊運(yùn)動(dòng)．若另一動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿邊運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)首次回到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么為時(shí)，△為“智慧三角形”．

參考答案一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分）1．（2分）下列表情符號(hào)中，不是軸對(duì)稱圖形的是A．^^ B．⑨⑨ C． D．解：，，選項(xiàng)中的表情符號(hào)都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)中的表情符號(hào)不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；故選：．2．（2分）下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，41解：、，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意；、，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意．故選：．3．（2分）在聯(lián)歡會(huì)上，有、、三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒颍笤谒麄冎虚g放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鞯腁．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)解：根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到、、三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鞯娜叴怪逼椒志€的交點(diǎn)．故選：．4．（2分）根據(jù)下列已知條件，能夠畫(huà)出唯一△的是A．，， B．，， C．，， D．，，解：、已知兩邊和一角，不能畫(huà)出唯一△，故本選項(xiàng)不符合題意；、因?yàn)?，不能?gòu)成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)兩角和一邊，能畫(huà)出唯一三角形，故本選項(xiàng)符合題意；、根據(jù)，，不能畫(huà)出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．5．（2分）如圖，南北向的公路上有一點(diǎn)，東西向的公路上有一點(diǎn)，若要在南北向的公路上確定點(diǎn)，使得是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)最多能確定個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5解：分為三種情況：①作的垂直平分線交南北公路于一點(diǎn)，此時(shí)；②以為圓心，以為半徑交南北公路于兩點(diǎn)，此時(shí)；③以為圓心，以為半徑交南北公路于兩點(diǎn)點(diǎn)除外，有一點(diǎn)），此時(shí)；共點(diǎn)，故選：．6．（2分）如圖，已知點(diǎn)、、在同一直線上，△和△都是等邊三角形．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．①；②；③△是等邊三角形；④連接，則平分，以上結(jié)論正確的有A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④解：點(diǎn)、、在同一直線上，△和△都是等邊三角形，，，，，，在△和△中，，△△，，，故①正確；，故②正確；在△和△中，，△△，，，△是等邊三角形，故③正確；作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，點(diǎn)在的平分線上，平分，故④正確，故選：．二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，共24分）7．（2分）等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）所在的直線．解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）所在的直線．故填底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）．8．（2分）如圖，已知，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使．解：添加條件：．，，在和中，，，故答案為：．（答案不唯一）9．（2分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為10．解：（1）當(dāng)三邊是，，時(shí)，，不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；（2）當(dāng)三邊是，，時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)是；所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是．故填10．10．（2分）如圖，在△中，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，△的周長(zhǎng)為，則△的周長(zhǎng)是17．解：邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，，△的周長(zhǎng)為，，，△的周長(zhǎng)，故答案為：17．11．（2分）如圖，在直角三角形中，，，，為△的中線，則的長(zhǎng)為6.5．解：在直角三角形中，，，，，為△的中線，，故答案為：6.5．12．（2分）一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為15、20、25，則三角形的面積為150．解：，該三角形是直角三角形，其面積．故答案為150．13．（2分）如圖，是等邊三角形，，，則的度數(shù)為．解：是等邊三角形，，，，，，，，又，，故答案為：．14．（2分）如圖，平分，于，于，，，若，則3．解：平分，，，，，，，即，解得．故答案為：3．15．（2分）如圖，在△中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)為1．解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，在△和△中，，△△，，，且，，，，故答案為：1．16．（2分）如圖，四個(gè)全等的直角三角形與小正方形拼成的大正方形圖案，如果大正方形的面積為25，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為和，那么的值為46．解：大正方形的面積為25，，，，；故答案為：46．17．（2分）如圖，一張矩形紙片，其中，，將紙片沿對(duì)角線對(duì)折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．解：四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，將紙片沿對(duì)角線對(duì)折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，，，，，，，，．故答案為：．18．（2分）如圖，已知，△中，，，△的頂點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之在上運(yùn)動(dòng)，△的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大為17．解：取的中點(diǎn)，連接、、，，△的頂點(diǎn)、分別在、上，，，，，，，，，且，，的最大值為17，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大為17，故答案為：17．三、解答題（本大題共8小題，共64分）19．（6分）如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，．求證：．【解答】證明：在△和△中，，△△，．20．（8分）如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．【解答】證明：（1）為等邊三角形，．，，．是等邊三角形．（2）為等邊三角形，．平分，．是等邊三角形，．．21．（8分）如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，交的平分線于，于，于交的延長(zhǎng)線于．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．解：（1）如圖，連接、，且平分，．為的平分線，，，，在和中，．（2）在和中．．，．，，，，，．22．（6分）利用網(wǎng)格線畫(huà)圖：（1）在上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到和的距離相等；（2）在射線上找一點(diǎn)，使．解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求．（2）如圖，點(diǎn)即為所求．23．（8分）證明：在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在△中，，．求證：．證明：【解答】已知：如圖，在△中，，．求證：．證明：如圖，延長(zhǎng)到，使得，連接，，，，，，，△是等邊三角形，，，．故答案為：如圖，在△中，，，．24．（8分）如圖，四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．解：連接，，，，，，，，，，△是直角三角形，，四邊形的面積△的面積△的面積．25．（10分）在△中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為邊在其右側(cè)作△，使得、，連接．（1）如圖①，點(diǎn)在線段上，求證：△△．（2）設(shè)，．當(dāng)點(diǎn)在射線上移動(dòng)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：，，，在△和△中，，△△；（2）當(dāng)點(diǎn)在射線上移動(dòng)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系是：或，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，由（1）可知：△△，，，在△中，，，即；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可證：△△，，，，，，即．26．（10分）【新知學(xué)習(xí)】如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么我們就把這樣的三角形叫做“智慧三角形”．【概念理解】（1）下列三個(gè)三角形，是智慧三角形的是①（填序號(hào)）；【靈活應(yīng)用】（2）如圖1，已知線段和直線，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在上找出所有滿足條件的點(diǎn)，使得△為“智慧三角形”（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；【深入探究】（3）如圖2，等邊三角形邊長(zhǎng)．若動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿△的邊運(yùn)動(dòng)．若另一動(dòng)點(diǎn)以