金融數(shù)學(xué)課件 ch6 金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

金融數(shù)學(xué)第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE39/69第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)金融數(shù)學(xué)中國(guó)人民大學(xué)出版社本章內(nèi)容本章內(nèi)容1金融市場(chǎng)的相關(guān)概念期權(quán)的分類12貨幣的時(shí)間價(jià)值無(wú)套利原理2金融市場(chǎng)上的價(jià)格套利的相關(guān)概念3市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性3

狀態(tài)價(jià)格4風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)哥薩諾夫定理4哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的拓展5馬氏過(guò)程和鞅5金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融市場(chǎng)是一個(gè)便于進(jìn)行金融產(chǎn)品交易的場(chǎng)所，該市場(chǎng)的參與者包金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融產(chǎn)品，也稱作金融工具（financialinstrumen，是金融市場(chǎng)相關(guān)交易的載體。根據(jù)金融產(chǎn)品的市場(chǎng)屬性，可將它們分為基礎(chǔ)金融產(chǎn)品和金融衍生產(chǎn)品兩大類?；A(chǔ)金融產(chǎn)品是在實(shí)際金融交易中出具的能證明債權(quán)債務(wù)關(guān)系或所有權(quán)關(guān)系的合法憑證，主要有商業(yè)票據(jù)、債券等債權(quán)債務(wù)憑證和股票、基金等所有權(quán)憑證。金融衍生產(chǎn)品（financialderivatives）又稱金融衍生工具，是建立在基礎(chǔ)金融產(chǎn)品之上，價(jià)格變動(dòng)取決于基礎(chǔ)金融產(chǎn)品的派生品，主要包括金融期貨、金融遠(yuǎn)期、金融期權(quán)、金融互換等類別?；A(chǔ)金融產(chǎn)品基礎(chǔ)金融產(chǎn)品金融市場(chǎng)的相關(guān)概念股票（stock）是有價(jià)證券的主要形式，是股份有限公司簽發(fā)的用于證明股東按其所持股份享有權(quán)利和承擔(dān)義務(wù)的憑證。金融市場(chǎng)的相關(guān)概念債券是發(fā)行人（也稱債務(wù)人或借款人）按照法定程序發(fā)行的、在未來(lái)按約定的時(shí)間和方式向其購(gòu)買(mǎi)方（也稱債權(quán)人或投資者）支付利息和償還本金的一種債務(wù)憑證。金融衍生產(chǎn)品金融衍生產(chǎn)品金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融期貨指交易雙方在期貨交易所以公開(kāi)競(jìng)價(jià)的方式成交，承諾在未來(lái)某一日期或某一段時(shí)間內(nèi)，以事先約定的價(jià)格交割某種特定的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量的金融工具的契約。金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融遠(yuǎn)期是指由交易雙方約定于未來(lái)某日期以成交時(shí)所確定的價(jià)格，交割一定數(shù)量的某種金融商品的協(xié)議或合約。期權(quán)（option）又稱選擇權(quán)，是一種能在未來(lái)某日期或該日期之前，以事先確定的價(jià)格買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出一定數(shù)量的某種商品的權(quán)利。期權(quán)期權(quán)金融市場(chǎng)的相關(guān)概念金融市場(chǎng)的相關(guān)概念格。期權(quán)費(fèi)（premiu，又稱為權(quán)利金或保險(xiǎn)費(fèi)，是指期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者為獲期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者（buyer，也稱為期權(quán)持有者h(yuǎn)older，是指支付期權(quán)費(fèi)以獲得期權(quán)合約所賦予的權(quán)利的一方。rr在期權(quán)交易中，期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者在向期權(quán)出售者支付一定的期權(quán)費(fèi)后，就獲得了期權(quán)合約所賦予的權(quán)利。期權(quán)期權(quán)(cont.)金融市場(chǎng)的相關(guān)概念期權(quán)交易所針對(duì)的交易對(duì)象也稱作標(biāo)的物或標(biāo)的資產(chǎn)（underlyingasse。金融市場(chǎng)的相關(guān)概念行權(quán)價(jià)（eprice,exerciseprice，也稱履約價(jià)格或執(zhí)行價(jià)格，是指期權(quán)合約所規(guī)定的、期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者在執(zhí)行期權(quán)時(shí)買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。在期權(quán)合約的有效期內(nèi)，無(wú)論期權(quán)合約標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格漲到什么水平或跌到什么水平，只要期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者要求執(zhí)行期權(quán)，期權(quán)出售者都必須以此價(jià)格履行其承擔(dān)的義務(wù)。看漲期權(quán)與看跌期權(quán)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念看漲期權(quán)（calloption）是指期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者可在約定的未來(lái)某日期或該日期之前，以行權(quán)價(jià)向期權(quán)出售者買(mǎi)進(jìn)一定數(shù)量的某種標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。注意：看跌期權(quán)（putoption）則是指期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者可在約定的未來(lái)某日期或該日期之前，以行權(quán)價(jià)向期權(quán)出售者賣(mài)出一定數(shù)量的某種標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。注意：歐式期權(quán)與美式期權(quán)歐式期權(quán)與美式期權(quán)期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念Europeanoptio對(duì)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者而言，美式期權(quán)比歐式期權(quán)有著更大的選擇余地；對(duì)于期權(quán)出售者而言，美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)比歐式期權(quán)更大。注意：noption對(duì)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者而言，美式期權(quán)比歐式期權(quán)有著更大的選擇余地；對(duì)于期權(quán)出售者而言，美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)比歐式期權(quán)更大。注意：場(chǎng)內(nèi)期權(quán)與場(chǎng)外期權(quán)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)與場(chǎng)外期權(quán)期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念場(chǎng)內(nèi)期權(quán)（exchange-tradedoption）也稱為交易所交易期權(quán)或交易所上市期權(quán)，是指在集中性的期權(quán)市場(chǎng)所交易的標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)合約。場(chǎng)內(nèi)期權(quán)與場(chǎng)外期權(quán)最主要的區(qū)別是期權(quán)合約是否標(biāo)準(zhǔn)化。注意：（over-the-counteroption，OTCoption）也稱為店頭市場(chǎng)期權(quán)或柜臺(tái)式期權(quán)，是指在非集中性的交易場(chǎng)所交易的非標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)合約。場(chǎng)內(nèi)期權(quán)與場(chǎng)外期權(quán)最主要的區(qū)別是期權(quán)合約是否標(biāo)準(zhǔn)化。注意：障礙期權(quán)障礙期權(quán)期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念由于場(chǎng)外期權(quán)的靈活性，金融市場(chǎng)中有一類具有特殊交易規(guī)則和特殊合約條款的期權(quán)，人們通常稱之為奇異期權(quán)或新型期權(quán)（exoticoption期權(quán)的分類金融市場(chǎng)的相關(guān)概念（barrier障礙期權(quán)一般分為兩類，即敲出期權(quán)（knock-outoption）和敲入期權(quán)（knock-inoption。敲出期權(quán)是指當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到一個(gè)特定障礙水平時(shí)，該期權(quán)作廢；敲入期權(quán)是指只有在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到一個(gè)特定障礙水平時(shí)，該期權(quán)才有效。障礙期權(quán)的收益依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在一段特定時(shí)間內(nèi)是否達(dá)到一個(gè)特定障礙水平。與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)不同的是，在期權(quán)有效期內(nèi)，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到某一水平時(shí)，期權(quán)就生效或失效。貨幣的時(shí)間價(jià)值貨幣的時(shí)間價(jià)值貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念timevalueofmone,TV1元錢(qián)比1貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念進(jìn)行投資，到未來(lái)某時(shí)刻得到的本金和利息之和會(huì)大于初始狀態(tài)的1元錢(qián)；另外，通貨膨脹會(huì)造成當(dāng)前的1元錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)力大于未來(lái)的1元錢(qián)。正因?yàn)槿绱?，在相關(guān)的金融研究中，不能把不同時(shí)期的現(xiàn)金數(shù)額進(jìn)行直接加總，因?yàn)楦髌诂F(xiàn)金的比較沒(méi)有基準(zhǔn)，這樣的加總是毫無(wú)意義的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要通過(guò)求現(xiàn)值或終值的方式，使得不同期的現(xiàn)金數(shù)額在經(jīng)過(guò)相關(guān)的調(diào)整和轉(zhuǎn)換后，可以在一個(gè)基準(zhǔn)上進(jìn)行計(jì)算和比較。終值的含義終值的含義貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念將當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)金價(jià)值換算成未來(lái)時(shí)刻的價(jià)值，這個(gè)過(guò)程稱作求終值（futurevalue,FV貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念假設(shè)當(dāng)前有1000元，將這筆錢(qián)存入銀行，年利率為5%，如果存款時(shí)間為1年，則1年后可得到的本利和為：FV=1000×(1+5%)=1050(元)可以稱當(dāng)前的1000元在1年后的終值等于1050元。終值終值(cont.)貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念如果使用單利（simpleinterest）計(jì)息方式，則貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念FV=1000×(1+5%×2)=1100(元)也就是說(shuō)，一年后的本金和利息中，原始本金用于第二年利息的計(jì)算。如果一年后的本利和作為第二年利息計(jì)算的依據(jù)，則稱這種計(jì)算方（compoundinterest）2年末本利和為：FV=1000×(1+5%)2=1102.5(元)注意：在相關(guān)的金融研究中，往往采用復(fù)利計(jì)息方式。依此類推，復(fù)利計(jì)息方式下，n年后的本利和等于1000×(1+5%)n。注意：在相關(guān)的金融研究中，往往采用復(fù)利計(jì)息方式。連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念\如果調(diào)整計(jì)息的頻度，假設(shè)一年計(jì)息兩次，則復(fù)利計(jì)息方式下貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念\FV=1000×

(1+

5%1×22

=1050.63(元)\類似地，如果一年計(jì)息n次，則復(fù)利條件下m年后的本利和為：\FV=1000×

(1+

%m×nnn在極端情況下，若復(fù)利計(jì)息每時(shí)每刻都在進(jìn)行，則這種計(jì)息方式稱作continuouscompounA率rt年，則有：nFV=limn→∞

A（1+

rn·t＼n＼

=Alimn→∞

_（1+

r＼n/rl

=Aert現(xiàn)值的含義現(xiàn)值的含義貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念將未來(lái)時(shí)刻的現(xiàn)金價(jià)值換算成當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值，這個(gè)過(guò)程稱作求現(xiàn)值（presentvalue,PV貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念假設(shè)未來(lái)一年后可以得到1000元，投資的年收益率為5%，則當(dāng)前應(yīng)當(dāng)投入的資金數(shù)額應(yīng)當(dāng)為：PV= 10001+5%

=952.38(元)952.3811000元的現(xiàn)值，現(xiàn)值的計(jì)算稱作貼現(xiàn)或折現(xiàn)（discoun；相應(yīng)的利率5%稱作貼現(xiàn)率或折現(xiàn)率（discountrate?，F(xiàn)值現(xiàn)值(cont.)貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念對(duì)于未來(lái)第n期的資金數(shù)額A，假設(shè)每期的貼現(xiàn)率是貨幣的時(shí)間價(jià)值金融市場(chǎng)的相關(guān)概念PV= A(1+r)n求現(xiàn)值可看作求終值的逆運(yùn)算。因此，在連續(xù)復(fù)利條件下，現(xiàn)值的計(jì)算公式如下：PV=Ae?rt其中，未來(lái)的資金數(shù)額為A，年貼現(xiàn)率為r，時(shí)間長(zhǎng)度為t年。金融產(chǎn)品的交易價(jià)格金融產(chǎn)品的交易價(jià)格金融市場(chǎng)上的價(jià)格無(wú)套利原理金融市場(chǎng)上金融產(chǎn)品潛在的買(mǎi)方會(huì)報(bào)出其希望的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格，稱作買(mǎi)價(jià)(bidprice)金融市場(chǎng)上的價(jià)格無(wú)套利原理潛在的賣(mài)方則會(huì)報(bào)出其希望的賣(mài)出價(jià)格，稱作賣(mài)價(jià)(askprice)。假設(shè)如果市場(chǎng)上的買(mǎi)賣(mài)雙方買(mǎi)價(jià)和賣(mài)價(jià)剛好相等，則相應(yīng)的金融產(chǎn)品就會(huì)發(fā)生買(mǎi)賣(mài)交易，這個(gè)價(jià)格就是該金融產(chǎn)品的交易價(jià)格。假設(shè)假設(shè)金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格演化的時(shí)間是假設(shè)金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格演化的時(shí)間是離散的，即資產(chǎn)價(jià)格的交易時(shí)間012N，同時(shí)我們假設(shè)時(shí)間是有限的，并且資產(chǎn)的價(jià)格也只能取有限個(gè)可能的值。離散時(shí)間下的金融市場(chǎng)離散時(shí)間下的金融市場(chǎng)金融市場(chǎng)上的價(jià)格無(wú)套利原理M12MSi(n表示ini12M，n012N。假1(bankaccount)，并且該證券按年獲得數(shù)額為金融市場(chǎng)上的價(jià)格無(wú)套利原理r的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(risk-freeinterestrate)，該利率假設(shè)為常數(shù)。我們將0時(shí)刻銀行賬戶的單位價(jià)值記為S1(0)；n時(shí)刻的價(jià)值記為S1(n)，兩者的關(guān)系如下：S1(0)=1, S1(n)=(1+r)n1(M1)個(gè)證券均是有風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，比如：股票、期權(quán)等，它們的價(jià)格變動(dòng)是隨機(jī)的，因此在當(dāng)前時(shí)刻，我們無(wú)法預(yù)知其未來(lái)任意時(shí)刻的價(jià)格。價(jià)格向量?jī)r(jià)格向量金融市場(chǎng)上的價(jià)格無(wú)套利原理n時(shí)刻該組合中各資產(chǎn)價(jià)格所組成的M維列向量S(n金融市場(chǎng)上的價(jià)格無(wú)套利原理1×MS(n)=S1(n)S2(n)··· SM(n)1×M假定所有證券可以無(wú)限細(xì)分，即可以交易任意數(shù)量的證券；市場(chǎng)可以進(jìn)行賣(mài)空交易，即持有的證券頭寸可以為負(fù)；市場(chǎng)不存在傭金(commission)等交易成本。并且由于銀行賬戶的存在，投資者可以r進(jìn)行自由的借貸。所有的證券在整個(gè)期限的中間任意時(shí)刻均不發(fā)生分紅或利息的收付。因此在該假設(shè)下，只有在資產(chǎn)出售或到期時(shí)，才會(huì)有資金的流入或流出。交易策略交易策略套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理(tradingstrategy是指金融市場(chǎng)的參與者，基于事先確定套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理AB證A10元的時(shí)刻，AB證券AA證券和B證券分別進(jìn)行了賣(mài)出和買(mǎi)入操作就是交易策略。A10元的時(shí)刻，B證券賣(mài)出并買(mǎi)入A證券，這樣的操作方式與之前的交易策略買(mǎi)賣(mài)方向剛好相反，稱作反(reversestrategy)。交易策略交易策略(cont.)套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理資產(chǎn)組合包含了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，(M1)個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假設(shè)該組合當(dāng)中各資產(chǎn)相應(yīng)的份額（holdingposition）h1h2hM，由nMh(n套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理1×Mh(n)=h1(n)h2(n)··· hM(n)1×M其中：h1(n)就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在n時(shí)刻的份額數(shù)。此處的h(n)就是交易策略。資產(chǎn)組合的價(jià)值資產(chǎn)組合的價(jià)值套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理n時(shí)刻資產(chǎn)組合的價(jià)值V(n套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理、 ·、 ·V(n)= hi(n)Si(n)=h(n)S(n)i=1即V(n)是一個(gè)標(biāo)量值(scalar)，通過(guò)對(duì)資產(chǎn)份額向量h(n)和資產(chǎn)價(jià)格向量S(n)進(jìn)行內(nèi)積(innerproduct)運(yùn)算得到。自融資策略自融資策略套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理如果對(duì)于所有n∈{1,2,...,N套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理h(n?1)·S(n)=h(n)·S(n)含義則稱交易策略h是自融資策略(self-financingstrategy)。含義投資者為了增加在組合中某種證券的持有份額，就必須通過(guò)出售該組合中的另一部分其他證券的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，并且交易過(guò)程中沒(méi)有多余資金的流入和流出。因此自融資策略在交易策略調(diào)整的前后時(shí)刻，資產(chǎn)組合價(jià)值保持不變。自融資策略自融資策略(cont.)套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理h(n?1)·S(n)=h(n)·S(套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理hh必然是自融資策略，因?yàn)榇藭r(shí)投資者持有資產(chǎn)組合并不做任何調(diào)整，也就是通常所說(shuō)(buy-and-holdstrategy)。套利的概念套利的概念套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理若在一個(gè)自融資策略下，期初資產(chǎn)組合的價(jià)值V(0)和期末資產(chǎn)組合的價(jià)值V(N套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理V(0)=0, V(N)≥0, P[V(N)>0]>0含義則稱金融市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)(arbitrageopportunity)。含義套利機(jī)會(huì)意味著我們?cè)谄诔鯚o(wú)任何投資額的情況下，有機(jī)會(huì)從市場(chǎng)中獲利?？梢韵胂蟪色@得了一張免費(fèi)的彩票，有一定的概率會(huì)中獎(jiǎng)(雖然概率極低)，但即使未中獎(jiǎng)也沒(méi)有任何的損失。套利的概念套利的概念(cont.)套利的相關(guān)概念套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理V(0)=0, V(N)≥0, P[V(N)>0]>0替換成：

V(0)=0, V(N)≤0, P[V(N)<0]>0則可以通過(guò)反向策略進(jìn)行套利。定理定理1套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理對(duì)于一個(gè)無(wú)套利的金融市場(chǎng)，若有一個(gè)自融資策略，使得期初的資V(0)tV(t套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理V(t)=V(0)(1+r)t在無(wú)套利的假設(shè)下，如果找到了某個(gè)自融資策略可以完全防范市場(chǎng)的風(fēng)r的增長(zhǎng)速度累積。含義其中：在無(wú)套利的假設(shè)下，如果找到了某個(gè)自融資策略可以完全防范市場(chǎng)的風(fēng)r的增長(zhǎng)速度累積。含義定理定理2套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理假設(shè)股票資產(chǎn)未來(lái)時(shí)刻1的價(jià)格可能會(huì)上漲到原來(lái)的u倍，或下跌到原來(lái)的d倍(u>d套利的相關(guān)概念無(wú)套利原理d<(1+r)<uuu·SS(1+r)SSd·S(a)股票資產(chǎn)價(jià)值S(1+r)(b)銀行存款價(jià)值回顧相關(guān)符號(hào)標(biāo)記回顧相關(guān)符號(hào)標(biāo)記市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格記列向量h(0)反映了期初資產(chǎn)組合當(dāng)中各證券的頭寸數(shù)量；記列向量S市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格h1(0)h2(0).h(0)=h2(0).

S1(0)S2(0).S(0)=S2(0).hM(0)M×1 SM(0)M×1對(duì)h與S取內(nèi)積，可得到期初資產(chǎn)組合的價(jià)值，即：、M、V(0)=h(0)S(0)= hi(0)Si(0)i=1回報(bào)矩陣回報(bào)矩陣X市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格 M個(gè)證券均(payoff)K市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格 x(1,1) x(1,2) ··· x(1,K) X= x(2,1) x(2,2) ··· x(2,K .

. ...

. MM×Kx(M,x(M,1)x(M,2)··· x(M,K)M×K其中：x(i,j)表示證券i在未來(lái)一年后第j個(gè)狀態(tài)下的回報(bào)數(shù)額。矩陣X的每一行分別代表一個(gè)證券在各狀態(tài)下的回報(bào)數(shù)額；矩陣X的各列則代表所有證券在某個(gè)狀態(tài)下各自的回報(bào)數(shù)額。未來(lái)各狀態(tài)下資產(chǎn)組合的回報(bào)總額未來(lái)各狀態(tài)下資產(chǎn)組合的回報(bào)總額q(1)市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格將h(0)與X的每一列分別做內(nèi)積運(yùn)算，得到的就是未來(lái)各狀態(tài)下資產(chǎn)組合的回報(bào)總額q市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格h′(0)X=h1(0)h2(0)··· hM

x(2,1) x(2,2) ···x(1,1) x(1,2) ·x(1,1) x(1,2) ··· x(1,K).x(0)l .(M,1).x(M,2).···x(2,K).x(M,K)=q1(1)q2(1)··· qK(1)l=q(1)i=1其中：qj(1)=寸Mx(i,j)hi(0), j=1,2,...,i=1例；兩狀態(tài)市場(chǎng)例；兩狀態(tài)市場(chǎng)市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格「 lX=1.11.10 1假設(shè)兩個(gè)證券當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格分別為1.09和1。問(wèn)：該市場(chǎng)是否存在套利機(jī)會(huì)？解答解答市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格建立一個(gè)資產(chǎn)組合，其中包含的兩個(gè)證券的份額分別為h1和h市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格(0)=「1l, (0)=「.0lh2 1從而：「X′h(0)= 1.1h11.1h1+h2「

l, V(0)=S(0)·h(0)=h′(0)·S(0)=1.09h1

+h2因此，當(dāng)前時(shí)刻資產(chǎn)組合的價(jià)值為(1.09h1+h2)；未來(lái)時(shí)刻資產(chǎn)組合的價(jià)值可能為1.1h1或(1.1h1+h2)。解答解答(cont.)市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格注意到，h1>0并且h2<市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格1.09h1

+h2

<0, 1.1h1>01.1h1+h2≥0此時(shí)資產(chǎn)組合存在套利機(jī)會(huì)，且套利的條件是：?1.1h1<h2<?1.09h1, h1>0回報(bào)矩陣回報(bào)矩陣X的秩市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，回報(bào)矩陣X的秩市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格rank(X)≤min(M,K)M>K(回報(bào)向量(redundantsecurities)，rank(XK。所謂的冗余證券意味著它們可以通過(guò)市場(chǎng)上的其他證券復(fù)制出來(lái)。此時(shí)的市場(chǎng)是完備的(completemarket)。特別地：如果rank(X)=K，則意味著矩陣X是列滿秩的，此時(shí)市場(chǎng)上有(M?K)個(gè)證券是冗余證券。阿羅阿羅-德布魯證券市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格在此基礎(chǔ)上有一個(gè)典型的向量空間基底，稱之為阿羅-德布魯證券(Arrow-Debreusecurities)(statecontingent市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格1IK=

...

含義1含義1

K×K阿羅阿羅-德布魯證券的回報(bào)矩陣是一個(gè)K階單位陣。這意味著該證券僅在未來(lái)的某一個(gè)特定狀態(tài)下回報(bào)為1，其余狀態(tài)下回報(bào)均為零。并且阿羅-德布魯證券之間是線性無(wú)關(guān)的?；貓?bào)矩陣回報(bào)矩陣X的秩(cont.)市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格當(dāng)市場(chǎng)的完備性市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格rank(XMX(KM個(gè)狀態(tài)無(wú)法被現(xiàn)(spanned)(KM個(gè)線性無(wú)關(guān)的衍生產(chǎn)品，這樣才能滿足市場(chǎng)的完備性。特別地，當(dāng)矩陣X是方陣(M特別地，當(dāng)矩陣X是方陣(M=K)且滿秩(fullrank)時(shí)，此時(shí)市場(chǎng)完備且無(wú)套利機(jī)會(huì)。狀態(tài)價(jià)格狀態(tài)價(jià)格狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格列向量s中的所有取值s1,s2,...,sK狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格S(0)=Xs則稱s是狀態(tài)價(jià)格向量(statepricevector)。將上式展開(kāi)，可得：S1(0)S2(0).S2(0).

x(1,1) x(1,2) ··· x(1,K) .=x(2,1) x(2,2) ··· x(2, .

s1s2s2SM(0)M×1 x(M,1)x(M,2)··· x(M,K)M×KsKK×1狀態(tài)價(jià)格si相當(dāng)于一個(gè)權(quán)重，使得當(dāng)前資產(chǎn)的價(jià)格等于未來(lái)所有可能回報(bào)的加權(quán)之和。定理狀態(tài)價(jià)格定理狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格狀態(tài)價(jià)格狀態(tài)價(jià)格(cont.)對(duì)于對(duì)于Arrow-Debreu證券而言，其價(jià)格就是狀態(tài)價(jià)格。狀態(tài)價(jià)格可以看作是組成市場(chǎng)中任何證券的基本工具。根據(jù)證券各Arrow-Debreu證券的線性組合，由此可相應(yīng)得到該證券的當(dāng)前價(jià)格。銀行賬戶：證券銀行賬戶：證券1狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格由于證券狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格(1+r)，因此：x(1,i)=1+r, i=1,2,...,K代入S(0)=Xs，可得：1=(1+r)s1+s2+···+sKl因此：

s1+s2

+···+sK

K、= si、i=1

1=1+r“概率”“概率”狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格記πi狀態(tài)價(jià)格市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格si πii Kπi K寸i=1si寸

=(1+r)si ? si=1+r, i=1,2,...,K由于si>并且 iπi≡因此πi所扮演的角色類似于一個(gè)概率于是我們記πi組成的列向量為π，其滿足：S(0)=Xs= 11+r即：

Xπ=X?πS1(0)S2(0) S2(0)

1+r1+r

1+r1+r

··· x(1,K)π11+r1+r··· 1+r1+r . .

. ... .

SM(0)

1+r

1+r

··· x(M,K)πK市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格狀態(tài)價(jià)格概率測(cè)度Q狀態(tài)價(jià)格S(0)=Xs=X?π當(dāng)前時(shí)刻資產(chǎn)的價(jià)格，等于未來(lái)時(shí)刻可能回報(bào)數(shù)額貼現(xiàn)值的期望，其中πi，即：Si(0)=

KKπij=1

(i,1+r

K( \( \1+rj=1

πix(i,j)=1E?[x(i)]1+r其中：E?[·]表示以π為概率分布的期望值。r此處的π(riskneutralprobability)，Q。市場(chǎng)的完備性和狀態(tài)價(jià)格狀態(tài)價(jià)格概率測(cè)度Q和P狀態(tài)價(jià)格Q，以與實(shí)際市場(chǎng)上資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的概率測(cè)P相區(qū)分。之所以稱之為“風(fēng)險(xiǎn)中性”概率，是因?yàn)樵谶@個(gè)概率測(cè)度之下，有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的未來(lái)價(jià)格期望值的貼現(xiàn)均等于其當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格，不受資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)大小的影響。等價(jià)測(cè)度等價(jià)測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換QP(equivalent)的，記PQK{ω1ω2ωK風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換立：P(ωi)>0 Q(ωi)>0P(ωi)=0 Q(ωi)=0

, i=1,2,...,K我們?nèi)?duì)應(yīng)狀態(tài)下的兩個(gè)概率之比，并記作L(ω)，因此：L(ω)=Q(ω)P(ω)LL(ω)的期望值風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換將測(cè)度Q和P下的期望值分別記作EQ和EP風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換P(P(ωi)EP[L(ω)]=、P(ωi)L(ωi)=、P(ωi)Q(ωi)=、Q(ωi)≡1i=1i=1i=1由此可見(jiàn)：隨機(jī)變量L(ω)在測(cè)度P下i=1i=1i=1由離散狀態(tài)空間過(guò)渡到連續(xù)狀態(tài)空間由離散狀態(tài)空間過(guò)渡到連續(xù)狀態(tài)空間拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換在連續(xù)情形中，P(ω)和Q拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換采用微分方式重新表述如下：L(ω)=Q(ω)P(ω)

dQ? L(t)=dP這里的L(t)稱作拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)(Radon-Nikodymderivative)，它是一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程。通過(guò)它可以進(jìn)行概率測(cè)度之間的轉(zhuǎn)換。拉東拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換相關(guān)學(xué)者相關(guān)學(xué)者約翰?拉東 奧頓?尼柯迪姆 伊戈?duì)?哥薩諾夫舉例：布朗運(yùn)動(dòng)的測(cè)度轉(zhuǎn)換舉例：布朗運(yùn)動(dòng)的測(cè)度轉(zhuǎn)換拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換對(duì)于測(cè)度P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)W拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換2EP（eθW(t)＼=exp_1θ2tl2假設(shè)拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)如下：dP2Q=exp(?γW(t)?1γ2\>dP2以此為基礎(chǔ)，計(jì)算在測(cè)度Q下的W(t)對(duì)應(yīng)的矩母函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)測(cè)度Q下的W(t)拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)計(jì)算過(guò)程EQ（EQ（eθ()＼=EP(QeθW(t)\=EP_exp(?γW(t)?1γ2t+θW()\l2=exp(?1γ2t\EP（e(θ?γ)()＼2=exp(?1γ2t\exp(1(θ?γ)2t\=exp(θ2t?γθ\2 2 2由此可得：EQ[W(t)]=?γt, VarQ[W(t)]=t因此在測(cè)度Q下，W(t)～N(?γt,t)兩個(gè)測(cè)度的比較兩個(gè)測(cè)度的比較拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換在測(cè)度P下，W(t)～N拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換在測(cè)度Q下，W(t)～N(?γt,t)-令W(t)=γt+W(t)，則在測(cè)度Q下：--W(t)～N(0,t)--PW(tQW(t成P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)過(guò)測(cè)度變換(?γt)t未發(fā)生改變。-由此引入測(cè)度變換的重要定理——哥薩諾夫定理(Girsanovtheorem)哥薩諾夫定理哥薩諾夫定理哥薩諾夫定理風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換對(duì)于測(cè)度P下的布朗運(yùn)動(dòng)W(t)，假如有一個(gè)過(guò)程γ(t哥薩諾夫定理風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換(Novikov條件(r則存在一個(gè)與Pr則存在一個(gè)與P等價(jià)的測(cè)度Q-(t)是測(cè)度Q

exp

T20

γ2(t)t\l<∞-(t)=W(t)+

trγ(s)dsr0(?聯(lián)系兩個(gè)測(cè)度的拉東-(?L(t)=

dQ=expdP

t 1 trr00γ(s)dW(s)?2rr00

γ2()s\拉東拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)L(t)的性質(zhì)哥薩諾夫定理風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換020記X(t)=?rtγ(s)dW(s)?1rtγ2(s)d哥薩諾夫定理風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換0202dX(t)=?γ(t)dW(t)?1γ2(t)dt2根據(jù)伊藤引理，我們可得：2dL(t)=LXdX+1LXX(dX)22=L(t)_?γ(t)W()?1γ2()dl+L()γ2(t)t2 2=?L(t)γ(t)dW(t)由此可見(jiàn)，拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)L(t)的微分表達(dá)式中沒(méi)有漂移項(xiàng)，因此L(t)是測(cè)度P下的鞅。L(t)-(t)的性質(zhì)哥薩諾夫定理風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-- - - -由于dW(t)=dW(t)+γ(t)dt，利用伊藤乘法法則可得：d（L(t)W(t)＼=L(t)dW(t)+W(t)L(t)-(t)的性質(zhì)哥薩諾夫定理風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-- - - --=L(t)（dW(t)+γ(t)dt＼+W(t)（?L(t)γ(t)dW(t)＼-+（?L(t)γ(t)dW(t)＼（dW(t)+γ(t)dt＼-=L(t)dW(t)+L(t)γ(t)dt?L(t)W(t)γ(t)dW(t)?L(t)γ(t)dt-=1?-(t)γ(t)lL(t)W()由此可見(jiàn)，(t)-(t)在測(cè)度P下是鞅。哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性 無(wú)套利核心思想哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換P風(fēng)險(xiǎn)中性 無(wú)套利核心思想哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換舉例：幾何布朗運(yùn)動(dòng)舉例：幾何布朗運(yùn)動(dòng)哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換幾何布朗運(yùn)動(dòng)dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)在初值為S哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換2(t)=S(0)exp_(μ?1σ2\t+σW()l2考慮S(t)的貼現(xiàn)過(guò)程Z(t)，即：Z()=(t)=(t)=Z(0)exp_(μ?r?1σ2\t+σW(t)lB(t)根據(jù)伊藤引理可得：

ert 2dZ(t)=(μ?r)Z(t)dt+σZ(t)dW(t)此處的W(t)是測(cè)度P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。舉例：幾何布朗運(yùn)動(dòng)舉例：幾何布朗運(yùn)動(dòng)(cont.)哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-令γ(t)=(μ?r)/σ，于是就有W(t)在測(cè)度哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-并且-dW(t)=dW(t)+γ(t)dt=dW(t)+μ?rdt-σ將上式代入dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)中，可得：S()=μt+σ(d-(t)?μ?rd\S(t) σ=rdt+σd-(t)由此可見(jiàn)：在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，股票價(jià)格的變動(dòng)服從漂移率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。舉例：幾何布朗運(yùn)動(dòng)舉例：幾何布朗運(yùn)動(dòng)(cont.)哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換（ ）進(jìn)一步考慮資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)過(guò)程e?rtS(哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換（ ）（ - ＼de?rtS(t)=e?rtdS(t)?e?rtS(t)r（ - ＼=e?rtrS(t)dt+σS(t)dW(t)?S(t)rdt-=e?rtσS(t)dW(t)-風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)過(guò)程是鞅，此時(shí)無(wú)套利。這意味著可以在該測(cè)度下進(jìn)行金融產(chǎn)品的定價(jià)。意義由此可見(jiàn)：風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)過(guò)程是鞅，此時(shí)無(wú)套利。這意味著可以在該測(cè)度下進(jìn)行金融產(chǎn)品的定價(jià)。意義測(cè)度變換舉例：布萊克測(cè)度變換舉例：布萊克-斯科爾斯模型哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換在布萊克哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換即：dS(t)S(t)=μdt+σdW(t)根據(jù)伊藤引理可得：2dlnS()=(μ?1σ2\t+σW()2因此：

(t)=S(0)exp_(μ?1σ2\t+σW()l2考慮S(t)的貼現(xiàn)過(guò)程Z(t)，即：2B(t)ert2Z()=(t)=(t)=Z(0)exp_(μ?r?1σ2\t+σWB(t)ert2金融數(shù)學(xué)第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE61/69測(cè)度變換舉例測(cè)度變換舉例(cont.)哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換dZ(t)=(μ?r)Z(t)dt+σZ(t)dW(t)dZ(t)Z(t)=(μ?r)dt+σdW(t)?此處的W(t)是測(cè)度P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。令γ(t)=(μ r)/σ，于是就有W(t?在測(cè)度Q下是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，并且從而可得：

-(t)=γ(t)t+W()=(

?r dt+dW(t)\σ\(t(t)=μdt+σ_-(t)?μ?rdtl

σ=rdt+σ-(t)測(cè)度變換舉例測(cè)度變換舉例(cont.)哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-dS(哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-S(t)=rdt+σdW(t)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，股票價(jià)格的變動(dòng)服從漂移率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。γ(t)=μ?r反映的是單位風(fēng)險(xiǎn)的超額收益率，也稱作風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)σ價(jià)格（marketpriceofrisk。 l考慮資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)過(guò)程Z(t)=e?rtS(t ldZ(t)=de?rtS(t)=e?rtdS(t)?e?rtS(t)rdt=e?tS(t)t+σS()d-(t)?S(t)rtl=e?tσ(t)-(t)金融數(shù)學(xué)第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第六章金融市場(chǎng)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE62/69測(cè)度變換舉例測(cè)度變換舉例(cont.)哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性和測(cè)度變換-dZ(t)=e?rtσS(t)dW(哥薩諾夫定理在金融中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中