金融數(shù)學(xué)課件ch4 隨機(jī)積分概論

金融數(shù)學(xué)第四章隨機(jī)積分概論中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第四章隨機(jī)積分概論中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE50/53第四章隨機(jī)積分概論第四章隨機(jī)積分概論金融數(shù)學(xué)中國(guó)人民大學(xué)出版社本章內(nèi)容本章內(nèi)容1普通積分回顧12隨機(jī)積分的構(gòu)造23伊藤積分的性質(zhì)34伊藤引理伊藤過程伊藤引理4普通積分普通積分普通積分回顧對(duì)于一個(gè)普通確定性積分(deterministicintegral)普通積分回顧R(T)R(T)=g(t)dt000R(T0R(T)=g(t)dt[0T的方式，通過對(duì)求[0T進(jìn)行劃分，可以得到(partition)，即：0=t0<t1<···<tn=T普通積分的黎曼和普通積分的黎曼和普通積分回顧普通積分回顧(Riemannsum)，具體形式如下：、 ?n?、 ?R1= g(ti)(ti+1 ti)i=0我們也可以通過選取[ti,ti+1]時(shí)間段中的任何一點(diǎn)的g(ξi)取值作為矩形的高度，即：、 ? ∈n、 ? ∈R2= g(ξi)(ti+1 ti), ξi [ti,ti+1]i=0黎曼和的圖形展示黎曼和的圖形展示普通積分回顧g普通積分回顧R(T)=

Tr0r、 ?n?、 ?

g(t)dtg(ξi)t0

ti?1tiξiti+1

R1= g(ti)(ti+1 ti)、 ?i=0n?、 ?R2= g(ξi)(ti+1 ti)i=0tntnξi∈[ti,ti+1]黎曼積分黎曼積分普通積分回顧這種基于對(duì)定義域切割所進(jìn)行的積分求解方法，稱為黎曼積分(Riemannintegral)普通積分回顧記對(duì)時(shí)間段[0,T]的劃分當(dāng)中，最長(zhǎng)的時(shí)間段為∥Π∥，即：∥Π∥=max(ti+1ti), i012n1，于是有：R(T)=

Trg(t)dt= limr∥

n?1

g(ξi)(ti+1?ti)n→∞0 Π∥→0in→∞對(duì)于光滑函數(shù)g(t)而言，其二次變差為零，相應(yīng)的每個(gè)小區(qū)間中g(shù)(ξi)取值對(duì)最終的積分結(jié)果沒有影響。黎曼黎曼-斯蒂爾切斯積分普通積分回顧對(duì)于光滑函數(shù)f(t)和g(t)，以下積分稱為黎曼-普通積分回顧(Riemann-Stieltjesintegral)，簡(jiǎn)稱RS積分：RS(T)RS(T)=g(t)df(t)000RS(T0RS(T)=g(t)df(t)與黎曼積分類似，RS積分也有類似的黎曼和形式的表達(dá)方式，也就是黎曼-斯蒂爾切斯和(Riemann-Stieltjessum)。、 ? l、 ? lRS1= g(ti)f(ti+1) f(ti)、 ? l ∈i、 ? l ∈RS2= g(ξi)f(ti+1) f(ti), ξi [ti,ti+1]i=0黎曼黎曼-斯蒂爾切斯積分(cont.)普通積分回顧r同樣，當(dāng)劃分的區(qū)間數(shù)n→∞普通積分回顧rRS(T)=

Tg(t)df(t)= lim∥

n?1

g(ξi)

f(ti+1)?f(ti)ln→∞0 Π∥→0in→∞由于光滑函數(shù)f(t)和g(t)的二次變差均為零，對(duì)應(yīng)的每個(gè)小區(qū)間中g(shù)(ξi)取值對(duì)最終的積分結(jié)果沒有影響。隨機(jī)積分的形式隨機(jī)積分的形式隨機(jī)積分的構(gòu)造隨機(jī)積分的構(gòu)造I(T)=

Trg(t)dW(t)r0其中：W(t)是F(t)可測(cè)的布朗運(yùn)動(dòng)，并且W(t)～N(0,t)；g(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)處處連續(xù)且處處不可微，我們無法像普通積分那樣，將dW(t)寫成W′(t)dt布朗運(yùn)動(dòng)處處連續(xù)且處處不可微，我們無法像普通積分那樣，將dW(t)寫成W′(t)dt。所以普通的積分方法對(duì)這里的隨機(jī)積分是無效的。注意：I(T)= grT0(t)dW(t)隨機(jī)積分的構(gòu)造[0T{t0t1tI(T)= grT0(t)dW(t)隨機(jī)積分的構(gòu)造g(t[titi+1),i12n1內(nèi)均是常數(shù)，分g(ti){g(ti)(simpleprocess)。I(T)= grTI(T)= grT0(t)dW(t)(cont.)W(tt每股股票的價(jià)格；g(ti[titi+1)隨機(jī)積分的構(gòu)造g(t0)[W(t)?W(t0)]=g(0)W(t) t∈[t0,t1]I(t)= g(0)W(t1)+g(t1)[W(t)?W(t1)] t∈[t1,t2]··············· ···g(0)W(t1)+g(t1)[W(t2)?W(··············· ···因此：若t∈[tk,tk+1]，則有：、 ? ?k、 ? ?I(t)= g(ti)[W(ti+1) W(ti)]+g(tk)[W(t) W(tk)]i=0II(t)= g(t)[W(t、k?1i i+1)?W(t)]+g(t)[W(t)?W(t)]ikki=0g(titi+1的左側(cè)端點(diǎn)而確定的。注意：I(T)= grT0(t)dW(t注意：I(T)= grT0(t)dW(t)(cont.)隨機(jī)積分的構(gòu)造隨機(jī)積分的取值，受到函數(shù)g(t)在[ti,ti+1)上取點(diǎn)的影響。I(t)=寸k?1i=0g(t)[I(t)=寸k?1i=0g(t)[W(tii+1)?W(t)]+gi(t)[Wk(t)?W(t)]k隨機(jī)積分的構(gòu)造根據(jù)各區(qū)間的左側(cè)端點(diǎn)進(jìn)行的隨機(jī)積分，在金融中具有重要的意義，意味著我們只能根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的信息決定持有金融資產(chǎn)的數(shù)量。這種形式的隨機(jī)積分稱作伊藤

積分(It?integral)。KiyosiIt?1915–2008伊藤積分的伊藤積分的RS和表達(dá)式隨機(jī)積分的構(gòu)造[0T∥Π∥max|ti+1ti|長(zhǎng)度趨于零時(shí)，伊藤積分可以寫成如下的黎曼-隨機(jī)積分的構(gòu)造I(T)=

Trg(u)dW(u)= limr∥

n?1

g(ti)

W(ti+1)?W(ti)l注意：n→∞0 Π∥→0i注意：n→∞不同于確定性積分，以伊藤積分為代表的隨機(jī)積分，由于是針對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行積分求解，因而求算的結(jié)果仍然是隨機(jī)變量。因此，對(duì)隨機(jī)積分不同于確定性積分，以伊藤積分為代表的隨機(jī)積分，由于是針對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行積分求解，因而求算的結(jié)果仍然是隨機(jī)變量。因此，對(duì)隨機(jī)積分的研究不可避免地要涉及對(duì)積分的期望、方差等數(shù)字特征的求解和計(jì)算。伊藤積分的微分形式伊藤積分的微分形式I(T)=

隨機(jī)積分的構(gòu)造隨機(jī)積分的構(gòu)造rg(t)dW(t)r0上式的伊藤積分還可以寫成如下的微分形式(differentialform)：dI(t)=g(t)dW(t)斯特拉托諾維奇積分斯特拉托諾維奇積分隨機(jī)積分的構(gòu)造如果選取時(shí)間段的中點(diǎn)，則由此構(gòu)成的隨機(jī)積分稱作斯特拉托諾維奇積分(Stratonovichintegral)，為了與伊藤積分加以區(qū)分，記作：隨機(jī)積分的構(gòu)造SI(T)=

Tr?g(u) dW(u)r?0

RuslanL.Stratonovich1930–1997伊藤積分的性質(zhì)伊藤積分的性質(zhì)伊藤積分的性質(zhì)0假設(shè)g(t),t∈[0,T]是滿足平方可積條件1，并且F(t)可測(cè)的隨機(jī)過程。對(duì)于形如I(t)=rtg(u)dW(u)伊藤積分的性質(zhì)0鞅性：I(t)是鞅期望：E[I(t)]=0, 0≤t≤TI(tI(t)= grt0(udW(u(cont.)伊藤積分的性質(zhì)E[I2(t)]=E相應(yīng)地：

trg2(u)dur0rtVar[I(t)]=E[I2(t)]?[EI(t)]2=E[I2(t)]=E伊藤積分的二次變差

g2(u)du0?I,I?(t)=

trg2(u)dur0伊藤積分的性質(zhì)伊藤積分的性質(zhì)(cont.)伊藤積分的性質(zhì)伊藤積分的性質(zhì)可加性(additive)：對(duì)于兩個(gè)過程X1(t)和X2(t)，下面的等式成立rbrX1(t)dW(t)+a

brX2(t)dW(t)=ra

rbaa

1(t)+2(t)l

dW(t)積分區(qū)間可加性：對(duì)于a<b<c，下面的等式成立rcrX(t)dW(t)=a

brX(t)dW(t)+ra

crX(t)dW(t)rbrr標(biāo)量乘法(scalarmultiplication)成立：對(duì)于任意常數(shù)k，下面的等式成立rrbkX(t)dW(t)=ka

bX(t)dW(t)a確定性函數(shù)伊藤積分之伊藤等距確定性函數(shù)伊藤積分之伊藤等距0假設(shè)W(s)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)；f(s)是關(guān)于時(shí)間s的確定性函數(shù)。則確定性函數(shù)(deterministicfunction)伊藤積分I(t)=rtf(s)dW(s)具有以下0伊藤積分的性質(zhì)r伊藤積分的性質(zhì)r

E[I2(t)]=

tf2(s)ds0確定性函數(shù)伊藤積分的性質(zhì)確定性函數(shù)伊藤積分的性質(zhì)伊藤積分的性質(zhì)r假設(shè)W(s)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)；f(s)是關(guān)于時(shí)間s的確定性函數(shù)伊藤積分的性質(zhì)rI(t)=

tf(s)dW(s)00對(duì)任意t≥0，隨機(jī)變量I(t)服從均值為零，方差為rtf2(s)ds的正態(tài)分0r＼布，即：r＼

I(t)～N

tf2(s)ds0只有在被積函數(shù)只有在被積函數(shù)f(s)是確定性的情況下，該結(jié)論才成立。如果f(s)包含隨機(jī)項(xiàng)，該結(jié)論是不成立的。伊藤過程的概念伊藤過程的概念伊藤過程伊藤引理對(duì)于隨機(jī)過程{X(t)伊藤過程伊藤引理dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)隨機(jī)過程{X(t)}的瞬時(shí)增量受到兩方面因素的影響：一個(gè)是確定性因素的影響，以隨機(jī)過程{F(t)}隨時(shí)間的變化來刻畫；另一個(gè)是隨機(jī)性因素的影響，以隨機(jī)過程{G(隨機(jī)過程{X(t)}的瞬時(shí)增量受到兩方面因素的影響：一個(gè)是確定性因素的影響，以隨機(jī)過程{F(t)}隨時(shí)間的變化來刻畫；另一個(gè)是隨機(jī)性因素的影響，以隨機(jī)過程{G(t)}隨布朗運(yùn)動(dòng)的變化來刻畫。伊藤過程伊藤過程dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)伊藤過程伊藤引理假設(shè)F(t)=μ，G(t)=σ，其中μ和σ均是常數(shù)，則由此得到的隨機(jī)微分方程dX(t)=μdt+σdW(t)就是帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)伊藤過程伊藤引理如果μ=0,σ=1，則dX(t)=dW(t)，此時(shí)X(t)就是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(standardBrownianmotion)。[0T上的伊藤過程，其積分形式如下：rTrdX(t)=0

TrF(t)dt+r0

TrG(t)dW(t)r0積分形式更正式且嚴(yán)謹(jǐn)，而微分形式則相對(duì)容易理解。伊藤引理的重要意義伊藤引理的重要意義伊藤引理伊藤引理伊藤引理伊藤引理仍需強(qiáng)調(diào)的是，由于布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差不為零，因此隨機(jī)微分理論具有全新的特征。Doeblin KiyoshiIt?1915–1940 1915–2008回顧：普通微積分的鏈?zhǔn)椒▌t回顧：普通微積分的鏈?zhǔn)椒▌t伊藤引理伊藤引理對(duì)于一個(gè)光滑的函數(shù)G(t)而言，若有一個(gè)可微的函數(shù)f(x)，根據(jù)普通微積分的鏈?zhǔn)椒▌t伊藤引理伊藤引理dtdfG(t)l=f′G(t)lG′(t)dt上式也可以寫成對(duì)應(yīng)的微分形式：dfG(t)l=f′G(t)lG′(t)dt=f′G(t)ldG(t)回顧：泰勒展開式回顧：泰勒展開式伊藤引理伊藤引理伊藤引理2!fG(t)l=f′(t)l(t)+1f′′G(t)l[d()]22!3!+1f(3)()l[d(t)]3+···3!由于G(t)是光滑函數(shù)，因此其高階變差均等于零，即：[dG(t)]2=[dG(t)]3=···=0 l l l因此，對(duì)于光滑函數(shù)G(t)，dfG(t)=f′G(t)G′(t)dt=f′G(t)dG l l l已經(jīng)足以用來刻畫fG(t)l的微分。dfdfW(t)l的求解W(t的二次變差不為零。考慮到這一因素，我們就伊藤引理伊藤引理2fW()l=f′W()lW()+f′′W(t)l[W(t)]222=f′W(t)ldW(t)+f′′W(t)ldt2更高階的變差均為零，因此泰勒展開式后面的各項(xiàng)均不再體現(xiàn)。伊藤引理伊藤引理(一維)伊藤引理伊藤引理定義過程Z(t)=f(t,X(t))，并且X(t伊藤引理伊藤引理dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t){ }則隨機(jī)過程Z(t)滿足如下形式的隨機(jī)微分方程(stochasticdifferentialequation,SDE){ }(,)(,)=

＿f(t,

Ft?f(t,X)

1G2t

?2f(t,X)ldt()+G(()

?f(t,X)?X

+?t+?X 2()?X2+?t+?X 2()?X2(It?’slemma)(It?’sformula)或伊藤-(It?-Doeblinformula)。伊藤引理伊藤引理(cont.)伊藤引理伊藤引理伊藤引理2f(,)=＿t+(t)fX+2(t)fXXlt+(t)XW()2通過伊藤引理，我們可以將隨機(jī)過程X(t)的隨機(jī)微分方程，通過變量替換的方式轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)過程Z(t)=f[t,X(t)]的隨機(jī)微分方程。伊藤引理伊藤引理伊藤引理布朗運(yùn)動(dòng)變化量的乘法法則布朗運(yùn)動(dòng)變化量的乘法法則(productrule)表dtdW1(t)dW2(t)dt000dW1(t)0dtρdtdW2(t)0ρdtdt其中：W1(t)和W2(t)均是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，并且兩者的相關(guān)系數(shù)為ρ。例1伊藤引理伊藤引理已知F(t)可測(cè)的隨機(jī)過程例1伊藤引理伊藤引理2(t)=exp＿θW(t)?1θ2tl2其中：W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，θ是常數(shù)。求X(t)的隨機(jī)微分方程。例例1：解法一伊藤引理伊藤引理伊藤引理?Y(t)=θW(t) 1θ2t, X[Y(t)]=exp[Y(t)]?2根據(jù)伊藤引理，可得：dX[Y(t)]=Xtdt+XYdY(t)+1XYY[dY(t)]2lll=X(t)

＿θdW(t)?

θ2dt+2

X(t)2

＿θdW(t)?

2θ2dt2=X(t)θdW(t)?1X(t)θ2dt+1X(t)θ2dt2 2=θX(t)dW(t)因此：dX(t)=θX(t)dW(t)例例1：解法二伊藤引理伊藤引理伊藤引理dX(t)=Xtdt+XWdW(t)+1XWW[dW(t)]22=?X(t)θ2dt+θX(t)dW(t)+1X(t)θ2dt2 2說明：=θX(t)dW(t)說明：X[Y(t進(jìn)行求偏導(dǎo)的計(jì)算，相應(yīng)地，Xt[Y(t0；而第二種方法則是針對(duì)X[t,W(t)]進(jìn)行求偏導(dǎo)的計(jì)算，相應(yīng)地，1Xt[t,W(t)]=?θ2X(t)。2例2伊藤引理伊藤引理已知F(t)可測(cè)的隨機(jī)過程例2伊藤引理伊藤引理X(t)=W2(t)使用泰勒展開式，可得：dX=Xtdt+使用泰勒展開式，可得：dX=Xtdt+XWdW(t)+1XWW[dW(t)]2=0+2W(t)dW(t)+ ×2dt212=2W(t)dW(t)+dt例3伊藤引理伊藤引理已知F(t)可測(cè)的隨機(jī)過程f(S(t))=lnS(t)，其中例3伊藤引理伊藤引理dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，μ和σ均是常數(shù)。求f[S(t)]的隨機(jī)微分方程。例例3解答伊藤引理伊藤引理l令μ(t)=μS(t)，σ(t)=σS(t伊藤引理伊藤引理l＿df=＿ft+μ(t)fS+＿

σ2(t)fSS dt+σ(t)fSdW(t)2=0+μS1+S

1σ2S2（?1＼ldt+σS

dW(t)S222S=（μ?σ2＼dt+σdW(tS222S這里也可以使用泰勒展開式進(jìn)行求解，具體如下：df=ftdt+fSdS+1fSS(dS)221 （1＼ 22=0+SμSdt+σSdW(t)+22=（μ?σ2＼dt+σdW(t)2

?S2

(σS

dt)例4伊藤引理伊藤引理f(StSKe?r(T?t)例4伊藤引理伊藤引理dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，μ和σ均是常數(shù)。求f(S,t)的隨機(jī)微分方程。例例4解答伊藤引理伊藤引理伊藤引理df=ftdt+fSdS+1fSS(dS)22=?Ke?r(T?t)·rdt+dS+0=?rKe?r(T?t)dt+μSdt+σSdW(t)=?rKe?r(T?t)+μSldt+σSdW(t)說明：此處的隨機(jī)微分方程常常用于金融遠(yuǎn)期合約的建模。因此：說明：此處的隨機(jī)微分方程常常用于金融遠(yuǎn)期合約的建模。

df(S,t)=?rKe?r(T?t)+μS(t)ldt+σS(t)dW(t)例5伊藤引理伊藤引理假設(shè)f(S,t)=Ser(T?t)，并且其中的隨機(jī)過程例5伊藤引理伊藤引理下：dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，μ和σ均是常數(shù)。求f(S,t)的隨機(jī)微分方程。例例5解答伊藤引理伊藤引理伊藤引理df=ftdt+fSdS+1fSS(dS)22=?Ser(T?t)·rdt+er(T?t)dS+0=?rSer(T?t)dt+er(T?t)[μSdt+σSdW(t)]（ )=er(T?t)?rS+μSdt+σSdW(t)（ )=Ser(T?t)[(μ?r)dt+σdW(t)]說明：此處的隨機(jī)微分方程常常用于金融期貨合約的建模。=f(S,t)[(μ?r)dt+σdW(t)]說明：此處的隨機(jī)微分方程常常用于金融期貨合約的建模。二維伊藤引理二維伊藤引理伊藤引理伊藤引理令函數(shù)f(t,x,y)的各一階和二階偏導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù)。假設(shè)X(t伊藤引理伊藤引理Y(t)均是伊藤過程，則相應(yīng)的二維伊藤公式如下：df=ftdt+fxdX(t)+fydY(t)+fxy[dX(t)dY(t)]+1fxx[dX(t)]2+1fyy[dY(t)]22 2伊藤乘法法則伊藤乘法法則伊藤引理伊藤引理假設(shè)X(t)和Y(t伊藤引理伊藤引理dX(t)Y(t)l=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY(t)注意：對(duì)于普通的函數(shù)F(t)和G(t)，其微分的乘法法則如下：注意：dF(t)G(t)l=F(t)dG(t)+G(t)dF(t)相比之下，在伊藤過程中，其微分的乘法卻多出一項(xiàng)dX(tdY(t)，稱為(crossvariationterm)，出現(xiàn)這項(xiàng)的原因在于：布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差不為零。伊藤乘法法則伊藤乘法法則(cont.)伊藤引理伊藤引理 l對(duì)dX(t)Y(t)=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY伊藤引理伊藤引理 lrltrldX(u)Y(u)=0

trX(u)dY(u)+r0rt0

trY(u)dX(u)+r0rt0

trd?X,Y?(u)r00X(t)Y(t)=X(0)Y(0)++rt+00

X(u)dY(u)+0

Y(u)dX(u)0+0d+0d?X,Y?(u)其中：d?X,Y?(u)=dX(u)dY(u)，也就是交叉變差項(xiàng)。伊藤乘法法則的推論伊藤乘法法則的推論伊藤引理伊藤引理假設(shè)X(t)是伊藤過程，G(t伊藤引理伊藤引理注意：dX(t)G(t)l=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)注意：此處沒有了交叉變差項(xiàng)此處沒有了交叉變差項(xiàng)dG(t)dX(t)，這是因?yàn)榇_定性函數(shù)G(t當(dāng)中不X(tdG(tdX(t0，自然可以將之忽略。伊藤乘法法則的推論伊藤乘法法則的推論(cont.)伊藤引理伊藤引理對(duì)dX(t)G(t)l=X(t)dG(t)+G(t)dX(t伊藤引理伊藤引理rrrltrrrldX(u)G(u)=0

tX(u)dG(u)+0rt0

tG(u)dX(u)0rt0X(t)G(t)=X(0)G(0)+進(jìn)一步可以得到：

X(u)dG(u)+0

G(u)dX(u)0tt0rrttX(u)dG(u)=X(u)G(u)0?0rrttttG(u)dX(u)=X(u)G(u)0?

trG(u)dX(u)r00rtrX(u)dG(u)00此處的結(jié)果，與普通積分中的分部積分非常相似。0例6伊藤引理伊藤引理假設(shè)隨機(jī)過程例6伊藤引理伊藤引理?dX(t)= bX(t)dt2?

1σ22求Y(t)=X(t)exp（1bt＼的隨機(jī)微分方程。2例例6解答伊藤引理伊藤引理2注意到Y(jié)(t)是由確定性函數(shù)G(t)=exp（1bt＼與隨機(jī)函數(shù)X(t伊藤引理伊藤引理2構(gòu)成的。因此：dY(t)=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)=(t)·1bexp（bt＼t+exp（1b＼＿?b(t)t

1σW(t)l（＼2（＼=1σexp2

bt2

2 2 2 2dW(t)例7伊藤引理伊藤引理已知關(guān)于例7伊藤引理伊藤引理S()=μS()dt+/V(t)(t)W1(t)其中：dV(t)=[a+bV(t)]dt+ξV(t)αdW2(t)并且W1(t)和W2(t)均是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，兩者的相關(guān)系數(shù)為ρ。求f(t,S,V)的隨機(jī)微分方程。例例7解答伊藤引理伊藤引理伊藤引理[dW1(t)]2=[dW2(t)]2=dt, [dW1(t)dW2(t)]=ρdt由泰勒展開式可得：2df(t,S,V)=ftdt+fSdS+fVdV+fSVdSd