金融數(shù)學(xué)課件ch8 期權(quán)定價的離散模型

金融數(shù)學(xué)第八章期權(quán)定價的離散模型中國人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第八章期權(quán)定價的離散模型中國人民大學(xué)出版社PAGE10/43第八章期權(quán)定價的離散模型金融數(shù)學(xué)中國人民大學(xué)出版社引言引言期權(quán)定價的離散模型中最為著名的就是考克斯、羅斯和魯賓斯坦（Cox，Ros，Rubinstei，1979）提出的二項式模型（binomialmode。約翰?考克斯 斯蒂芬?羅斯 馬克?魯賓斯坦（1943—） （1944—2017）（1944—2019）本章內(nèi)容本章內(nèi)容1單期二項式模型12多期二項式模型歐式期權(quán)的定價美式期權(quán)的定價障礙期權(quán)的定價2其他期權(quán)品種的定價簡介3CRR模型3CRR模型的設(shè)定CRR模型與B-S模型的聯(lián)系單期二項式模型單期二項式模型單期二項式模型單期二項式模型eperiodbinomialmodel單期二項式模型t=0，結(jié)束時刻在t=1，并且在未來時刻1，股票（即標的資產(chǎn)）的價格只有兩種可能狀態(tài)的模型。SV；初始S(0)V(0)S(1)和V(1)。單期二項式模型單期二項式模型(cont.)單期二項式模型（up）（down）分別Su(1)Sd(1)Vu(1)Vd(1)單期二項式模型S(0)

Su(1)Sd(1)

V(0)

Vu(1)Vd(1)t=0 t=1股票的二叉樹

t=0 t=1期權(quán)的二叉樹構(gòu)造一個組合，其在初始時刻的總價值為X(0)，假設(shè)采用自融資策略，購買了?(0)股的股票，并將剩余資金全部用于購買一份期權(quán)。單期二項式模型單期二項式模型(cont.)單期二項式模型單期二項式模型X(0)=?(0)S(0)+V(0)在未來時刻1，該組合的可能價值分別為：Xu(1)=?(0)Su(1)+Vu(1)Xd(1)=?(0)Sd(1)+Vd(1)我們希望得到滿足條件的?(0)和V(0)，使得在未來時刻1，組合的價值保持不變，即滿足Xu(1)=Xd(1)。單期二項式模型單期二項式模型(cont.)單期二項式模型根據(jù)前面的定理可知：對于這種組合價值不變的資產(chǎn)，在無套利條X(0)X(1)單期二項式模型X(1)=X(0)(1+r)綜合上面各式，可以得到：X(0)(1+r)=?(0)Su(1)+Vu(1) (1)X(0)(1+r)=?(0)Sd(1)+Vd(1) (2)取0<q<1，并對式(1)兩端同乘以q，對式(2)兩端同乘以(1?q)，并將兩式相加可得：X(0)(1+r)=?(0)[qSu(1)+(1?q)Sd(1)]+[qVu(1)+(1?q)Vd(1)]單期二項式模型單期二項式模型(cont.)單期二項式模型將X(0)=?(0)S(0)+V(0)單期二項式模型?(0)[qSu(1)+(1?q)Sd(1)?S(0)(1+r)]=V(0)(1+r)?[qVu(1)+(1?q)Vd(1)]若令上式的左右兩側(cè)均等于零，則有：{qSu(1)+(1?q)Sd(1)?S(0)(1+r)=0V(0)(1+r)?[qVu(1)+(1?q)Vd(1)]=0

S(0)=Su(1)+(1?q)Sd(1)1+rV(0)=Vu(1)+(1?q)Vd1+r“概率”“概率”單期二項式模型qS(0)可以看作未單期二項式模型S(0)=Su(1)+(1?q)Sd(1)1+rV(0)=qVu(1)+(1?q)Vd1+rqS(0)

Su(1)

q(1?q(1?q)

Vu(1)(1?q)

Sd(1)

Vd(1)t=0 t=1股票的二叉樹

t=0 t=1期權(quán)的二叉樹風(fēng)險中性概率風(fēng)險中性概率單期二項式模型需要說明的是，這里的概率q并不是真實市場上的概率，而是我們在推導(dǎo)過程中人為構(gòu)造的概率，稱為風(fēng)險中性概率（單期二項式模型probability。將這種由風(fēng)險中性概率所組成的概率測度稱作風(fēng)險中性測度（risk-neutralmeasur，記作Q。p，相應(yīng)的概率測度記作P。這樣的兩個概率測度是等價的equivalen，記作P～Q。等價測度的定義等價測度的定義單期二項式模型在同一個樣本空間S內(nèi)的兩個概率測度P和Q，若對S中的任意子樣本空間A單期二項式模型P(A)=0??Q(A)=0或者P(A)?=0??Q(A)?=0兩個概率測度等價，則意味著事件A在測度P下有可能發(fā)生，相應(yīng)地在測度Q下也有可能發(fā)生；反之亦然。則稱P和Q是等價測度（equivalentmeasur，記作兩個概率測度等價，則意味著事件A在測度P下有可能發(fā)生，相應(yīng)地在測度Q下也有可能發(fā)生；反之亦然。風(fēng)險中性概率的表達式風(fēng)險中性概率的表達式單期二項式模型如果進一步假設(shè)未來時刻股票價格上漲的倍數(shù)為u，下跌的倍數(shù)為d，并且0<d<1<u單期二項式模型Su(1)=u·S(0), Sd(1)=d·S(0)將上式代入S(0)=qSu(1)+(1?q)Sd(1)，最終可得：1+rq=(1+r)?du?d由此可見，風(fēng)險中性概率q只與無風(fēng)險利率r、期限t=1、上漲倍數(shù)u和下跌倍數(shù)d有關(guān)，而與股票的價格S(0)無關(guān)。例題例題1：看漲期權(quán)單期二項式模型一只股票的當(dāng)前價格為20元，3個月后股價有可能漲至22單期二項式模型有可能跌至18元。3個月后到期的該股票看漲期權(quán)的行權(quán)價為21元，假設(shè)無風(fēng)險利率為4%。問：該看漲期權(quán)的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？解答解答單期二項式模型單期二項式模型u=22=1.1, d=18=0.920 20相應(yīng)的股票和期權(quán)的二叉樹如下所示：q22q20(1?q) 18

V(0)

q(1?q)

max(0,22?21)=1max(0,18?21)=0股票的二叉樹 (b)期權(quán)的二叉樹相應(yīng)地：

q=1+r)?d=(1+4%/4)?0.9=0.55u?d 1.1?0.9解答解答(cont.)單期二項式模型q單期二項式模型q(1?q(1?q)0由于期權(quán)剩余到期時間僅有三個月，因此在單利計息下，將年利率1/4作為利息的計算依據(jù)。于是可得：1+4%/41+4%/4V(0)= 1 [q·1+(1?q)·1+4%/41+4%/4例題例題2：看跌期權(quán)單期二項式模型一只股票的當(dāng)前價格為20元，三個月后股價有可能漲至22單期二項式模型有可能跌至18元。該股票三個月后到期的看跌期權(quán)的行權(quán)價為21元，假設(shè)無風(fēng)險利率為4%。問：該看跌期權(quán)的當(dāng)前價格應(yīng)為多少？解答解答單期二項式模型單期二項式模型u=22/20=1.1,d=18/20=0.9,K=21。q22q20(1?q) 18

V(0)

q(1?q)

max(0,21?22)=0max(0,21?18)=3(a)股票的二叉樹 (b)期權(quán)的二叉樹于是可得：1+4%/41+1%V(0)= 1 [q·0+(1?q)·3]=0.451+4%/41+1%多期二項式模型多期二項式模型多期二項式模型二項式模型所得的結(jié)果盡可能地符合或接近實際，只需要將標的資產(chǎn)價格變動的期間（period）增加到兩個或兩個以上，從而使單期二項式模型變?yōu)槎嗥诙検侥Ｐ停╩ulti-periodbinomialmode多期二項式模型Sr，每期的時間跨度1uu>d0<d<uuSuSS udSdSddS當(dāng)前 第1期 第2期多期二項式模型的風(fēng)險中性概率多期二項式模型的風(fēng)險中性概率多期二項式模型由于風(fēng)險中性概率q只與無風(fēng)險利率r、時間跨度t=1、上漲倍數(shù)u和下跌倍數(shù)d有關(guān)，而與股票的價格S多期二項式模型q=1+r)?du?d注意：因此，風(fēng)險中性概率可以應(yīng)用于整個二叉樹的各個分支。注意：金融中通常使用連續(xù)復(fù)利計息法，于是上面的風(fēng)險中性概率計算公式相應(yīng)地改寫為：=q ert?d=u?d其中，r是無風(fēng)險利率，t是各期之間的時間跨度。在后面所述的多期二項式模型定價中，將使用上式計算風(fēng)險中性概率。例題例題3：歐式期權(quán)的定價多期二項式模型假設(shè)標的股票的當(dāng)前價格為100元，每期的時間跨度為歐式期權(quán)的定價多期二項式模型每年結(jié)束時，價格有兩種可能的變化：要么上漲至原來的1.1倍，要么下跌至原來的0.9倍。當(dāng)前距離期權(quán)到期還有兩期，已知每期的無風(fēng)險利率均為5%。求：行權(quán)價為105元的歐式看漲期權(quán)的當(dāng)前價格。行權(quán)價為105元的歐式看跌期權(quán)的當(dāng)前價格。解答解答100

q(1?q)

歐式期權(quán)的定價歐式期權(quán)的定價90

121q(1?qq(1?q)q多期二項式模型(1?(1?q)當(dāng)前 第1期 第2期??已知u=1.1,d=0.9,K=105,r=5%,t=1，可以計算得到風(fēng)險中性概率q：??ert dq=u?d=

e5% 0.9=0.7561.1?0.9解答：看漲期權(quán)的二叉樹解答：看漲期權(quán)的二叉樹q歐式期權(quán)的定價q歐式期權(quán)的定價多期二項式模型(1?q)q(1?q)qC0 0(1?q)(1?q(1?q)0當(dāng)前 第1期 第2期由此可得：最終：

C11=e?rt[q·16+(1?q)·0]=e?5%(0.756×16)=11.51C12=e?rt[q·0+(1?q)·0]=0C0=e?rt[q·C11+(1?q)·C12]=e?5%(0.756×11.43)=8.27解答：看跌期權(quán)的二叉樹解答：看跌期權(quán)的二叉樹q歐式期權(quán)的定價q歐式期權(quán)的定價多期二項式模型(1?q)q(1?q)qP0 6(1?q)(1?q(1?q)24當(dāng)前 第1期 第2期由此可得：P11=e?rt[q·0+(1?q)·6]=e?5%(0.244×11)=1.39P12=e?rt[q·6+(1?q)·24]=e?5%(0.756×11+0.25×29)=9.89最終：P0=e?rt[q·P11+(1?q)·P12]=e?5%(0.756×1.39+0.244×9.89)=3.3歸納歸納歐式期權(quán)的定價多期二項式模型假設(shè)期權(quán)的剩余期限為T，將期權(quán)的期間數(shù)分為歐式期權(quán)的定價多期二項式模型?t，因此?t=T/n。由于在n次二項步驟后，i次上漲和(n?i)次下跌的風(fēng)險中性概率為：P(u=,#d=n?i)=()qi(1?)?i= n! i(1?q)n?ii i!(n?i)!其中，#u和#d分別表示期權(quán)的剩余期限內(nèi)，資產(chǎn)價格上漲和下跌的總次數(shù)。對應(yīng)的看漲期權(quán)回報數(shù)額為：max(S0uidn?i?K,0)歸納歸納(cont.)歐式期權(quán)的定價多期二項式模型C歐式期權(quán)的定價多期二項式模型C0=e?rn?tP(#u=i,#d=n?i)·max(S0uidn?i?K,0)其中：

n=e?rTn

=0

()ii

qi(1?q)n?i·max

(S0uidn?i?K,0)=q er?t?du?d=P0P0=e?rn?tP(#u=i,#d=n?i)·max(K?S0uidn?i,0)n=e?rTn

i=0

()ii

qi(1?q)n?i·max

(K?S0uidn?i,0)美式期權(quán)的定價美式期權(quán)的定價美式期權(quán)的定價美式期權(quán)的定價多期二項式模型權(quán)的收益與期權(quán)價值之間的差異，然后取兩者中的較大者作為下一期計算的節(jié)點數(shù)值。例題例題4：美式期權(quán)的定價多期二項式模型100，未來每期結(jié)束時，價格有兩種可1.50.75倍。當(dāng)前美式期權(quán)的定價多期二項式模型求行權(quán)價為110的美式看漲期權(quán)的當(dāng)前價格。解答解答美式期權(quán)的定價多期二項式模型??已知：u=1.5，d=0.75，K=110，r=5%。可以計算得到風(fēng)險中性概率美式期權(quán)的定價多期二項式模型??ert dq=u?d=

e5% 0.75=0.4021.5?0.75首先構(gòu)造股票價格的二叉樹，同時計算出各期看漲期權(quán)的可能價值，計算結(jié)果反映在括號內(nèi)。100(0)

q 150(40)(1?q(1?q)

q(1?q)q(1?q(1?q)q

225(115)112.5(2.5)56.25(0)當(dāng)前 第1期 第2期解答解答(cont.)美式期權(quán)的定價多期二項式模型接下來，使用風(fēng)險中性概率，結(jié)合第美式期權(quán)的定價多期二項式模型算出第1期期權(quán)的價值分別為：c1=e?5%[0.402×115+(1?0.402)×2.5]=45.4c2=e?5%[0.402×2.5+(1?0.402)×0]=0.96由于美式期權(quán)可在到期日之前的任意時刻行權(quán)，因此需要將求得的結(jié)果1期美式期權(quán)的價值進行比較，并取較大者，所以：c11=max(45.4,40)=45.4c12=max(0.96,0)=0.96解答解答(cont.)美式期權(quán)的定價多期二項式模型最后，使用求得的第1期期權(quán)的價值c11和c美式期權(quán)的定價多期二項式模型c0=max{0,e?5%[0.402×45.4+(1?0.402)×0.96]}=17.91q115q17.91

q(1?q)

2.5(1?q)(1?q)q(1?q)當(dāng)前 第1期 第2期障礙期權(quán)的定價舉例障礙期權(quán)的定價舉例障礙期權(quán)的定價多期二項式模型100，未來每期結(jié)束時，價格有兩種可1.10.9倍。當(dāng)前障礙期權(quán)的定價多期二項式模型由于障礙期權(quán)可以提前中止，所以使用二項式模型進行定價時，需要關(guān)注標的資產(chǎn)二叉樹的各節(jié)點與障礙價格之間的關(guān)系。思路：求行權(quán)價為105、障礙敲出價格為95由于障礙期權(quán)可以提前中止，所以使用二項式模型進行定價時，需要關(guān)注標的資產(chǎn)二叉樹的各節(jié)點與障礙價格之間的關(guān)系。思路：解答解答障礙期權(quán)的定價多期二項式模型首先繪制出該期權(quán)的對應(yīng)標的股票價格的二叉樹，圖中的虛線位置障礙期權(quán)的定價多期二項式模型110

121

133.1108.9010 99 090 89.18172.9當(dāng)前 第1期 第2期 第3期解答解答(cont.)障礙期權(quán)的定價障礙期權(quán)的定價多期二項式模型?ert d?q=u?d=

e5% 0.9?=0.756?1.1?0.928.1C11

C21

3.9C0 C22 0 000當(dāng)前 第1期 第2期 第3期解答解答(cont.)障礙期權(quán)的定價C11障礙期權(quán)的定價

多期二項式模型C多期二項式模型

28.13.9C0 C22 0 000當(dāng)前 第1期 第2期 第3期接下來使用后向推導(dǎo)法，依次計算出各期的期權(quán)價值，結(jié)果如下：C21=e?5%[0.756×28.1+(1?0.756)×3.9]=21.12C22=e?5%[0.756×3.9+(1?0.756)×0]=2.806C11=e?5%[0.756×21.12+(1?0.756)×2.806]=15.85C0=e?5%[0.756×15.85+(1?0.756)×0]=11.4障礙期權(quán)定價的說明障礙期權(quán)定價的說明障礙期權(quán)的定價多期二項式模型這個例題中并未涉及向上障礙期權(quán)的定價多期二項式模型在計算的二叉樹期數(shù)和路徑較少的情況下，該方法是簡單易行的，N2N條可能路徑下期權(quán)生效和失效的情形，這將是非常費力的。連續(xù)分紅的股票期權(quán)定價連續(xù)分紅的股票期權(quán)定價其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型q?。在風(fēng)險中性測度其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型S0e?q?t=[quS0+(1?q)dS0]e?rt對上式進行整理可得：q=exp[(r?q?)t]?du?d股票指數(shù)期權(quán)的定價股票指數(shù)期權(quán)的定價其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型q=exp[(r?q?)t]?du?d外匯期權(quán)的定價外匯期權(quán)的定價其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型外匯期權(quán)的標的物是外國貨幣（即外匯，外匯可以看作獲得外幣rf其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型q=exp[(r?rf)t]?du?d其中，r表示本幣的無風(fēng)險利率；rf表示外幣的無風(fēng)險利率，并且此處的外匯匯率采用直接報價法（即一單位外幣等于若干單位本幣。期貨期權(quán)的定價期貨期權(quán)的定價其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型對于期貨期權(quán)而言，其標的資產(chǎn)已不再是現(xiàn)貨，而是現(xiàn)貨所對應(yīng)的SF其他期權(quán)品種的定價簡介多期二項式模型F=Ser