《數(shù)學(xué)（下冊）（第二版）》 課件 第３章　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3章112目錄3.1拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)性的判定3.2

函數(shù)的極值與最值3.3

函數(shù)圖像的凹凸和拐點(diǎn)3.4

曲率3.5

洛必達(dá)法則113教學(xué)要求：1.了解拉格朗日中值定理及其幾何解釋.2.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.3.理解函數(shù)的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法.4.掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用.5.會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn).6.會(huì)求曲線的水平、垂直漸近線，會(huì)比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像.*7.理解曲率、曲率半徑的定義，掌握曲率的計(jì)算方法．8.會(huì)用洛必達(dá)法則求

型與

型未定式的極限.1143.１拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)性的判定115拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)y＝f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間

[a，b]上連續(xù)，（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得或f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．拉格朗日中值定理準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．116利用拉格朗日中值定理，還可以得到下面的兩個(gè)推論．推論1如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且恒有f′（x）＝0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)恒為常數(shù)．推論1是“常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零”的逆定理．推論2如果函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)均可導(dǎo)，且恒有f′（x）＝g′（x），則函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)滿足f（x）＝g（x）＋C（C為任意常數(shù)）．117函數(shù)單調(diào)性的判定由下圖可以看出，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增加，那么它的圖像是一條沿x軸正向上升的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，因此，切線的斜率都是正的，即f′（x）＞0；同樣地，由下圖可以看出，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)減少，那么它的圖像是一條沿x軸正向下降的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角都是鈍角，因此切線的斜率都是負(fù)的，即f′（x）＜0．118119120由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有關(guān)．定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．（1）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)減少．如果將定理中的閉區(qū)間[a，b]改為開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間（在其任一有限子區(qū)間上滿足定理的條件），結(jié)論同樣成立．如果將定理中的條件“f′（x）＞0（＜0）”改為“f′（x）≥0（≤0），且只在有限個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零”，結(jié)論同樣也成立．我們注意到x1＝－1，x2＝1是函數(shù)f（x）＝3x－x3單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，此時(shí)f′（x）＝0．習(xí)慣上，我們把f′（x）＝0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）．由此可見，駐點(diǎn)可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．特別地，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．因此，確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出函數(shù)f（x）的全部駐點(diǎn)及f′（x）不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（4）列表討論f′（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間．1213.２函數(shù)的極值與最值122函數(shù)的極值函數(shù)極值的定義由下圖可以看出，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)c1，c4處的函數(shù)值f（c1），f（c4）比它們附近各點(diǎn)的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)c2，c5處的函數(shù)值f（c2），f（c5）比它們附近各點(diǎn)的函數(shù)值都?。?23對于具有上述這種性質(zhì)的點(diǎn)和對應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義．124關(guān)于函數(shù)的極值作以下幾點(diǎn)說明：（1）函數(shù)的極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值，兩者不應(yīng)混淆．（2）函數(shù)的極值概念是函數(shù)的局部性質(zhì)，它只是在與極值點(diǎn)附近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較為最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)為最大或最?。虼耍瘮?shù)的極大值不一定比極小值大．（3）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)可能在區(qū)間內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點(diǎn)．125函數(shù)極值的判定和求法由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值點(diǎn)處，曲線的切線是水平的，即極值點(diǎn)是駐點(diǎn)．反過來，曲線上有水平切線的地方，即駐點(diǎn)處，函數(shù)不一定取得極值．由此，我們得到函數(shù)取得極值的必要條件．定理1設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′（x0）＝0．定理只說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)．實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是函數(shù)的極值點(diǎn)．126如圖所示，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大值，在點(diǎn)x0左側(cè)單調(diào)增加，有f′（x）＞0；在點(diǎn)x0右側(cè)單調(diào)減少，有f′（x）＜0．如圖所示，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極小值，在點(diǎn)x0左側(cè)單調(diào)減少，有f′（x）＜0，在點(diǎn)x0右側(cè)單調(diào)增加，有f′（x）＞0．由此，我們得到函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件．127定理2設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則（1）如果當(dāng)x＜x0時(shí)，f′（x）＞0，而當(dāng)x＞x0時(shí)，f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）如果當(dāng)x＜x0時(shí)，f′（x）＜0，而當(dāng)x＞x0時(shí)，f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在x0處取得極小值；（3）如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）符號相同，那么f（x0）不是f（x）函數(shù)的極值．128根據(jù)上面兩個(gè)定理，我們可以得到求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出函數(shù)f（x）的全部駐點(diǎn)及f′（x）不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（4）列表討論f′（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，并判定其是否為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，由此求出函數(shù)的極值．129定理3設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′（x）＝0，f″（x）≠0，則（1）當(dāng)f″（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）當(dāng)f″（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值．注意：如果函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）≠0，那么該駐點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)，且可以由二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定f（x0）是極大值還是極小值．但是如果f″（x）＝0，定理3就失效了．130函數(shù)的最值及應(yīng)用函數(shù)最值的求法函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值是函數(shù)的整體性質(zhì)．在第1章中，我們已經(jīng)知道，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上必有最大值和最小值．函數(shù)的最值可能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得．如果最值在區(qū)間（a，b）內(nèi)部取得，則這個(gè)最值一定是函數(shù)的極值．因此，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)的函數(shù)值；（2）求出閉區(qū)間[a，b]上端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a），f（b）；（3）比較以上函數(shù)值，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值．131函數(shù)最值的應(yīng)用舉例（1）建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式．分析問題的實(shí)際意義，分清并找出已知量和未知量．在實(shí)際問題中常常是這樣提出問題的：當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y取得最大值（最小值）?這時(shí)要以x為自變量y為因變量，建立函數(shù)關(guān)系y＝f（x）．（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)．求出函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＝0，解出函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)．（3）確定最值．結(jié)合所求問題的實(shí)際意義，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)只有一個(gè)，則該點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就是所求問題的最大值（最小值）．如果函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)有多個(gè)，則將它們分別代入函數(shù)y＝f（x）求出對應(yīng)的函數(shù)值．在這些函數(shù)值中最大的數(shù)即為函數(shù)的最大值，最小的數(shù)為函數(shù)的最小值．1323.３函數(shù)圖像的凹凸和拐點(diǎn)133函數(shù)圖像的凹凸和拐點(diǎn)曲線的凹凸及其判定法如圖所示，曲線弧OP在區(qū)間（0，x0）內(nèi)是向下凹的，此時(shí)曲線總在其上任一點(diǎn)處切線的上方；而曲線弧PQ在區(qū)間（x0，＋∞）內(nèi)是向上凸的，此時(shí)曲線總在其上任一點(diǎn)處切線的下方．134一般地，對于曲線的上述特性，我們給出如下定義：135如果曲線是凹的，曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角隨著自變量x的增大而增大，切線的斜率也是單調(diào)增加的．由于切線的斜率就是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），因此，若曲線是凹的，導(dǎo)數(shù)f′（x）必定是單調(diào)增加的．同樣，如果曲線是凸的，曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角隨著自變量x的增大而減小，切的斜率也是單調(diào)減少的，因此，若曲線是凸的，導(dǎo)數(shù)f′（x）必定是單調(diào)減少的．由此可見，曲線y＝f（x）的凹凸，可以由導(dǎo)數(shù)f′（x）的單調(diào)性來判定，而導(dǎo)數(shù)f′（x）的單調(diào)性又可以用它的導(dǎo)數(shù)，即y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）的符號來判定．136137定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f″（x）．（1）如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＞0，則曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；（2）如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＜0，則曲線在（a，b）內(nèi)是凸的．一般地，在連續(xù)曲線y＝f（x）的定義域的區(qū)間內(nèi)，除在有限個(gè)點(diǎn)處f″（x）＝0或f″（x）不存在外，若在其余各點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）均為正（或負(fù)）時(shí)，曲線y＝f（x）在這個(gè)區(qū)間上就是凹（或凸）的，這個(gè)區(qū)間就是曲線y＝f（x）的凹（或凸）區(qū)間；否則就以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)劃分函數(shù)y＝f（x）的定義區(qū)間，再在各個(gè)區(qū)間上討論曲線的凹凸性．138曲線的拐點(diǎn)我們可以按下面的步驟來確定曲線y＝f（x）的拐點(diǎn)：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）求出f″（x）；（3）求出使f″（x）＝0和f″（x）不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（4）列表討論f″（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定曲線f（x）的拐點(diǎn)．139函數(shù)圖像的描繪曲線的漸近線先看下列的例子．（1）如圖所示，當(dāng)x→－∞時(shí)，曲線y＝arctanx無限接近于直線y＝－

；當(dāng)x→＋∞時(shí)，曲線y＝arctanx無限接近于直線y＝

．140141（2）如圖所示，當(dāng)x→∞時(shí)，曲線y＝

無限接近于x軸（y＝0）；當(dāng)x→0時(shí)，曲線y＝

無限接近于y軸（x＝0）．一般地，對于曲線的上述特性，我們給出如下定義：142函數(shù)圖像的描繪描繪函數(shù)圖像的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域，考察函數(shù)的奇偶性和周期性，判斷曲線的對稱性；（2）求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′（x）和二階導(dǎo)數(shù)f″（x），并解出方程f′（x）＝0和f″（x）＝0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根以及f′（x）和f″（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（3）列表討論f′（x）和f″（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值、曲線f（x）的凹凸性和拐點(diǎn)；（4）確定曲線的水平漸近線和垂直漸近線；（5）需要時(shí)，取一些輔助點(diǎn)（例如曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）；（6）結(jié)合上述討論結(jié)果，描繪出函數(shù)y＝f（x）的圖像．1433.４曲率144曲率的概念如圖所示，相切于M點(diǎn)的兩條曲線弧MN1和MN2，長度相等且彎曲程度均勻．它們兩端的切線的夾角（簡稱切線轉(zhuǎn)角）分別為Δα1和Δα2．從直觀判斷，Δα2大于Δα1，曲線弧MN2比曲線弧MN1更彎曲．實(shí)際上，對于長度一定且彎曲程度均勻的曲線弧，切線轉(zhuǎn)角越大，其彎曲程度就越大．由此可以衡量曲線弧的平均彎曲程度．145我們將曲線弧的切線轉(zhuǎn)過的角度Δα與其弧長Δs之比的絕對值稱為該曲線弧的平均曲率，記為

，即曲線在其上各點(diǎn)附近的彎曲程度往往不同．因此，曲線弧越短，其平均曲率就能越真實(shí)地反映曲線上某一點(diǎn)附近的彎曲程度．于是，我們給出如下定義：146上式表明，曲線的曲率是曲線切線傾斜角關(guān)于弧長的變化率的絕對值，它是一個(gè)非負(fù)數(shù)．利用定義計(jì)算曲線的曲率是很不方便的，但可以引入坐標(biāo)系和導(dǎo)數(shù)來處理．下面給出平面直角坐標(biāo)系中曲線y＝f（x）上任意點(diǎn)處的曲率計(jì)算公式（推導(dǎo)略）：147曲率圓在研究一般曲線某點(diǎn)的曲率時(shí)，往往可以用一個(gè)圓弧代替該點(diǎn)附近的曲線．對于這樣的圓弧所在的圓，我們給出如下的定義：148如圖所示，曲率圓的中心C稱為曲線在點(diǎn)M的曲率中心；曲率圓的半徑R稱為曲線在點(diǎn)M的曲率半徑．149如果曲線在點(diǎn)M的曲率是K，則該點(diǎn)曲率圓的曲率同樣也是K，則曲線在點(diǎn)M的曲率半徑R的計(jì)算公式為與之相對應(yīng)的曲率圓的中心C（a，b）坐標(biāo)為1503.５洛必達(dá)法則151函數(shù)連續(xù)性的概念當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）和g（x）都趨于零（或都趨于無窮大），則極限可能存在，也可能不存在通常把這種形式的極限稱為未定式，并簡稱為對于未定式，不能直接用極限運(yùn)算法則求極限．下面介紹求這類未定式極限的一種有效簡便的方法———洛必達(dá)法則．152

型未定式定理如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足條件：（1）（2）f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）存在（或?yàn)闊o窮大）．則153這個(gè)定理告訴我們，當(dāng)