查補(bǔ)易混易錯點(diǎn)03不等式

查補(bǔ)易混易錯點(diǎn)03不等式STEP01課標(biāo)解讀STEP01課標(biāo)解讀1．相等關(guān)系與不等關(guān)系（1）等式與不等式的性質(zhì)梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)。（2）基本不等式理解基本不等式。結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題。2．從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式（1）從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。（2）從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義；能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。②借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。STEP02高考直擊STEP02高考直擊等式與不等式在高考中獨(dú)立考查的題目不是很多，大都與其他知識點(diǎn)結(jié)合考查，例如2021年新高考全國卷Ⅰ中便考查了利用基本不等式求積的最大值與平面解析幾何的綜合；當(dāng)然不等式也長會與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及數(shù)列等知識相結(jié)合進(jìn)行考查。STEP03易混易錯歸納STEP03易混易錯歸納易錯點(diǎn)01不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件不等式，在使用這些性質(zhì)解題時，務(wù)必要檢驗(yàn)成立條件，不能想當(dāng)然套用，忽視了就會出錯。易錯點(diǎn)02忽視等號同時成立的條件，擴(kuò)大了范圍在多次運(yùn)用不等式性質(zhì)時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴(kuò)大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式。易錯點(diǎn)03去分母時沒有判斷分母的符號解分式不等式的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)a>b,c>0ac>bc；a>b,c<0ac<bc。解分式不等式基本思想是通過去分母將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在去分母之前必須對分母的符號進(jìn)行判斷，必要時要對分母進(jìn)行討論。易錯點(diǎn)04解含參數(shù)不等式時分類討論不當(dāng)含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點(diǎn)。解此類不等式時一定要注意對字母分類討論，討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進(jìn)行整合。易錯點(diǎn)05忽視均值不等式應(yīng)用條件均值不等式≥2（）取等號的條件是“一正，二定，三相等”。在解題過程中，務(wù)必要先檢驗(yàn)取等號的三個條件是否成立。常規(guī)的解法是①如果積或和不是定值，設(shè)法構(gòu)造“定值”；②若是不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”或利用導(dǎo)數(shù)求解；③若是等號不能成立，可根據(jù)“對勾函數(shù)”圖象，利用單調(diào)性求解。易錯點(diǎn)06平面區(qū)域不明一條直線把平面分成兩個半平面，在每個半平面內(nèi)的點(diǎn)（x，y）使值的符號一致。鑒于此，作不等式對應(yīng)的平面區(qū)域方法是畫線定界，取點(diǎn)定域，若含等號畫實(shí)線，否則畫虛線。易錯點(diǎn)07求目標(biāo)函數(shù)最值時忽視的系數(shù)的符號解線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法。當(dāng)B>0時，動直線在y軸上的截距越大，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越??；反之，當(dāng)B<0時，動直線在y軸上截距越大，目標(biāo)函數(shù)值越小，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越大。其中的系數(shù)的符號是解題的關(guān)鍵，也是同學(xué)們經(jīng)常忽略的地方。STEP04真題好題演練STEP04真題好題演練【真題演練】1．（2021·全國·高考真題（文））若滿足約束條件則的最小值為（

）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【解析】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點(diǎn),轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點(diǎn)時,取最小值，此時.故選：C.2．（2021·全國·高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.4．（2021·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的定義域是.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本題可根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出恒成立，然后通過即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)得出，然后通過計算即可得出結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以恒成立，則，解得，的取值范圍為.（2），即，因?yàn)?，所以，即，解得，故不等式的解集?【模擬演練】

一、單選題1．（2021·河北唐山·三模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入解析式翻譯出來化簡即可轉(zhuǎn)化為常規(guī)的一元二次不等式問題.【解析】由得即整理得：.所以，，解得故選D.2．（2021·福建泉州·二模）設(shè)集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式得集合，根據(jù)集合之間的關(guān)系可得結(jié)果.【解析】根據(jù)題意得，，∵，∴.故選：D.3．（2021·山東泰安·三模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，化簡集合，然后求并集即可.【解析】易得，又∴，故選：A4．（2021·湖北·一模）已知正數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【解析】由題意，正數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)時，方程有兩個正實(shí)數(shù)解.所以的最小值為.故選：C.5．（2021·湖南·長沙一中一模）已知向量，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】將坐標(biāo)代入計算可得，然后討論的大小并結(jié)合基本不等式計算可得結(jié)果.【解析】由題意可得，當(dāng)時，上式小于等于0，當(dāng)時，原式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故最大值為1.故選：D6．（2021·廣東佛山·一模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足：，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．無最小值【答案】B【分析】對去分母得，代換中的，再結(jié)合“1”的妙用即可求解【解析】由，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故的最小值為.故選：B7．（2021·廣東珠?！ざ＃┮阎?，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由給定條件分析出a>0，b<0及a與b間的關(guān)系，針對各選項(xiàng)逐一討論即可得解.【解析】因，，則a>0，b<0，，A不正確；，則，B不正確；又，即，則，，C正確；由得，D不正確.故選：C8．（2021·江蘇南京·三模）在正方形中，為兩條對角線的交點(diǎn)，為邊上的動點(diǎn).若，則的最小值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，求出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知關(guān)系式，即可求出，的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式即可求解．【解析】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則，，，，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最小值為，故選：C二、多選題9．（2021·江蘇南通·一模）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式及其性質(zhì)，結(jié)合“1”的妙用以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可得解.【解析】對于A，因?yàn)椋?，從而，正確.對于B，因?yàn)?，所以，解得，所以，正確.對于C，令()，，在為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，錯誤.對于D，因?yàn)椋?，正確.故選：ABD10．（2021·廣東梅州·二模）若，下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題中條件，先得到；由特殊值，，可排除BD；利用作差法比較與，可判斷A正確；作差比較與，可判斷C正確.【解析】因?yàn)椋?；A選項(xiàng)，，即A正確；B選項(xiàng)，若，，則，故B錯；C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以，即C正確；D選，若，，則，故D錯.故選：AC.11．（2021·湖南湘潭·一模）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】對于A，有，所以A正確；對于B，分析得，所以B不正確；對于C，分析得到，所以C正確；對于D，作差法得到，所以D正確.【解析】由已知，有，．對于A，有，所以A正確；對于B，因?yàn)?，且，，，所以，得，所以B不正確；對于C，因?yàn)?，且，，，所以，所以C正確；對于D，因?yàn)?，而，因?yàn)椋?，故，所以D正確.故選：ACD．12．（2021·山東聊城·三模）已知實(shí)數(shù)a、b，下列說法一定正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，，則的最小值為8D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析即可.【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，若，則，兩邊取對數(shù)得，故B正確；對于C，若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故C正確；對于D，取，，故D錯誤；故選：BC三、填空題13．（2021·江蘇南通·三模）已知，則的最小值為_____________．【答案】【分析】直接利用1的代換，結(jié)合基本不等式，即可得答案；【解析】，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即.故答案為：.14．（2021·廣東汕頭·三模）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，利用均值不等式即可求解.【解析】解：函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，，點(diǎn)A在直線上，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以mn的最大值為，故答案為：.15．（2021·湖南懷化·一模）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為________________．【答案】【分析】由一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理把用表示，化待求式為一元函數(shù)，再利用基本不等式得結(jié)論．【解析】由不等式解集知，由根與系數(shù)的關(guān)系知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故答案為：．16．（2021·山東·泰安一中模擬預(yù)測），若2是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為___________.【答案】3【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)列方程，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【解析】由題可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：四、解答題17．（2021·福建漳州·一模）?ABC的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）若，求?ABC面積的最大值；（2）若為邊上一點(diǎn)，，，且，求.【答案】（1）最大值為；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出角，再根據(jù)余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可確定三角形的面積的最大值；（2）首先求出，再求出，再在?ABC中利用正弦定理即可求出的長.【解析】（1）根據(jù)及正弦定理，可得，即，可得.，.，.根據(jù)余弦定理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，?ABC的面積為，?ABC的面積的最大值為.（2）由可得，，，.在?ABC中，利用正弦定理可得，即，解得.18．（2021·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)個互異的正偶數(shù)與個互異的正奇數(shù)的和為99．（1）求證：；（2）求的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）13．【分析】（1）記個互異的正偶數(shù)為，，，，個互異的正奇數(shù)為，，，，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證；（2）由均值不等式可得，化簡整理，結(jié)合，為正整數(shù)，可得所求最大值．【解析】解：（1）記個互異的正偶數(shù)為，，……，；個互異的正奇數(shù)為，，…，，易知，①，②由①②及已知條件，得．（2）由（1）知，，即．由平均值不等式，得，化簡得，即．注意到為正整數(shù)，且，得．取，，易知，且可取6個互異的正偶數(shù)2，4，6，8，10，20和7個互異的正奇數(shù)1，3，5，7，9，11，13，滿足．可知完全符合題目條件要求，故中等號取得到．所以的最大值為13．19．（2021·廣東·普寧市普師高級中學(xué)二模）已知函數(shù)．（