立體幾何專題球的“外切”和“內(nèi)切”問(wèn)題-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期題型分類歸納講義（人教A版2019）

立體幾何專題：球的“外切”和“內(nèi)切”問(wèn)題一、正方體的內(nèi)切球正方體的內(nèi)切球球心位于其對(duì)角線中點(diǎn)處，對(duì)于變成為a的正方體，其內(nèi)切球半徑為R=a2二、直棱柱的內(nèi)切球以直三棱柱為例：直三棱柱內(nèi)切球在底面投影為底面三角形的內(nèi)切圓，故直三棱柱內(nèi)切球半徑R等于底面三角形內(nèi)切圓半徑r，又因?yàn)閮?nèi)切球到上下底面距離相等且都為R，故僅有滿足h=2r的直三棱柱有內(nèi)切球，其中h三、棱錐的內(nèi)切球1、方法：一般采用等體積法2、結(jié)論：（1）以三棱錐為例說(shuō)明：若三棱錐ABCD的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為R=3V（2）若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切球的半徑為6123、推導(dǎo)過(guò)程：如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則內(nèi)切球的球心O到每個(gè)面的距離相等且等于R，設(shè)?ABC，?ABD，?ACD，?BCD的面積分別為S1，S2，S則VA-BCD即V=13S所以R=【注意】三棱錐一定有內(nèi)切球，但四棱錐及以上不一定有內(nèi)切球。特別的：軸截面法對(duì)于正四、六、八棱錐，通過(guò)底面對(duì)邊中點(diǎn)的軸截面的內(nèi)切圓為棱錐內(nèi)切球的大圓，該內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切球的半徑。以正四棱錐為例推導(dǎo)：設(shè)E、F分別為棱AB、CD的中點(diǎn)，則?PEF的內(nèi)切圓即為該正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的大圓，該內(nèi)切圓的半徑為內(nèi)切球的半徑：R=r=2四、圓柱的內(nèi)切球不是所有的圓柱獨(dú)有內(nèi)切球，只有當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)與圓柱的底面半徑r滿足h=2r，即圓柱的軸截面為正方形時(shí)，才有內(nèi)切球，此時(shí)內(nèi)切球的半徑為圓柱的底面半徑r.五、圓錐的內(nèi)切球圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓為內(nèi)切球的大圓，內(nèi)切圓的半徑即為內(nèi)切球的半徑，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則S?PAB=1所以R=題型一正方體的內(nèi)切球【例1】已知一個(gè)正方體的體積為8，求此正方體內(nèi)切球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正方體的體積為8，故邊長(zhǎng)為2，內(nèi)切球的半徑為1，則表面積.【變式11】將棱長(zhǎng)為1的正方體木塊切削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為.【答案】π【解析】將棱長(zhǎng)為1的正方體木塊切削成一個(gè)體積最大的球，則該球?yàn)樵襟w的內(nèi)切球，故其半徑為12，故體積為4【變式12】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則該正方體的外接球的體積與其內(nèi)切球表面積之比為（）A18:1B.3:1C.33:1D.【答案】D【解析】由正方體性質(zhì)知，它的外接球的半徑為R=32，內(nèi)切球的半徑為∴V球=4∴V題型二棱柱的內(nèi)切球【例2】一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為eq\f(32π,3)，那么這個(gè)正三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)【答案】D【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則球的半徑R＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，正三棱柱的高為eq\f(\r(3),3)a.又V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(\r(3)3,63)a3＝eq\f(32π,3).∴a＝4eq\r(3).∴V柱＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×eq\f(\r(3),3)×4eq\r(3)＝48eq\r(3).【變式21】(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A．4πB.eq\f(9π,2)C．6πD.eq\f(32π,3)【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.當(dāng)球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切時(shí)，有eq\f(1,2)(6＋8＋10)×R＝eq\f(1,2)×6×8，此時(shí)R＝2；當(dāng)球與直三棱柱兩底面相切時(shí)，有2R＝3，此時(shí)R＝eq\f(3,2).所以在封閉的直三棱柱中，球的最大半徑只能為eq\f(3,2)，故最大體積V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).【變式22】正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】∵正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則正三棱柱的高為cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為cm，設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為cm,則，解得cm，∴正三棱柱的底面面積為cm2，故此正三棱柱的體積V＝cm3．【變式23】在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6πD.【答案】B【解析】由勾股定理可得AC=AB2+設(shè)?ABC的外接圓的半徑為r，則r?AB+BC+AC所以r=4824=2要使得球的體積V最大，此時(shí)球與直棱柱的上、下底面都相切，則球的半徑最大值為32此時(shí)球的體積為43【變式24】已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=6，BC=8，且此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（）A.2:5B.4:25C.2:29【答案】D【解析】有題意可得?ABC的內(nèi)切圓半徑為6+8-102所以要使此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的高AA所以內(nèi)切球的半徑r=2取AC的中點(diǎn)D，A1C1的中點(diǎn)D1，則DD1的中點(diǎn)M為外接球的球心，所以外接球的半徑R=5因此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積的比為4πr題型三棱錐的內(nèi)切球【例3】四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是()A．6B．5C.eq\f(9,2)D.eq\f(9,4)【答案】D【解析】過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABCD于點(diǎn)H.由題意知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上．過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，M為球面與側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)．設(shè)PH＝h，易知Rt△PMO∽R(shí)t△PHF，所以eq\f(OM,FH)＝eq\f(PO,PF)，即eq\f(1,3)＝eq\f(h－1,\r(h2＋32))，解得h＝eq\f(9,4)(h＝0舍去)，故選D.【變式31】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在封閉的鱉臑P-ABC內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，則V的最大值是()A.eq\f(5\r(2)＋3,6)πB.eq\f(5π,3)C.eq\f(5\r(2)－7,6)πD.eq\f(32π,3)【答案】C【解析】球與三棱錐的四個(gè)面均相切時(shí)球的體積最大，設(shè)此時(shí)球的半徑為R，則V三棱錐P-ABC＝eq\f(1,3)·R·(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋SPBC)，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)×R×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×\r(2)＋\f(1,2)×1×\r(2)))，解得R＝eq\f(\r(2)－1,2).所以球的體積V的最大值為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)－1,2)))3＝eq\f(5\r(2)－7,6)π.故選C.【變式32】如圖，在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由平面，且，，，得，，所以為等邊三角形，為等腰三角形，，三棱錐的表面積為.設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，即，所以，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為【變式33】已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為23，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為【答案】2-1【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．因?yàn)锳B=23，所以S△ABC=33，DE=1所以S表因?yàn)镻D=1，所以三棱錐的體積V=1設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，則r=3【變式34】在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬．如圖，若四棱錐P-ABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=3，BC=AB=4，設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則R=；內(nèi)切球的體積V=【答案】412；4【解析】在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面將該“陽(yáng)馬”補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，則2R2=AB依題意得Rt?PAB?Rt?PAD，則內(nèi)切球O在側(cè)面PAD的正視圖是?PAD的內(nèi)切圓，故內(nèi)切球的半徑r=1其體積V=題型四圓柱的內(nèi)切球【例4】阿基米德是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他在不知道球體積公式的情況下得出了圓柱容球定理，即圓柱內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于圓柱體積的三分之二．那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，則圓柱的表面積為，球的表面積為．∴圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為．【變式41】圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個(gè)玻璃球（玻璃球的半徑與圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則玻璃球的半徑為（）A.203cmB.15cmC.10【答案】B【解析】由題意得玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來(lái)的體積，設(shè)玻璃球的半徑為r，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為r，則玻璃球的體積為4πr33若放入一個(gè)玻璃球后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則此時(shí)水面高度為2r，所以4πr33【變式42】如圖，圓柱內(nèi)有一內(nèi)切球（圓柱各面與球面均相切），若圓柱的側(cè)面積為4π，則球的體積為（）A.323πB.43π【答案】B【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，則內(nèi)切球的半徑也是r，圓柱的高為2r，所以圓柱的側(cè)面積為2πr×2r=4π，所以r=1，所以球的體積為43【變式43】如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球（圓柱各面與球面均相切），若內(nèi)切球的體積為43π，則圓柱的側(cè)面積為（A.πB.2πC.4πD.8π【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為r，則43πr所以圓柱的底面半徑r=1，母線長(zhǎng)為l=2r=2，所以圓柱的側(cè)面積為S=2πrl=2π×1×1=4π.題型五圓錐的內(nèi)切球【例5】已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．【答案】2π【解析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則利用軸截面，根據(jù)等面積可得，，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，【變式51】已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖：由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為則：，，解得故，則，故故選【變式52】一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的母線與底面的夾角為，則圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，作出圓錐截面圖，如圖所示，因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2，圓錐的母線與底面的夾角為，所以圓錐底面半徑與高均為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則利用圓錐的軸截面，根據(jù)等面積法，可得，解得，所以該圓錐內(nèi)切球的表面積為，故選B.【變式53】將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，設(shè)圓錐的底面圓半徑為R，則有，所以，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，結(jié)合圓錐和球的特征，可知：內(nèi)切球球心必在圓錐的高線上，設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)閳A錐母線長(zhǎng)為3，所以，所以有，解得，因此內(nèi)切球的表面積為.【變式54】求底面半徑為10，母線長(zhǎng)為26的圓錐的內(nèi)切球的表面積及體積．【答案】表面積16009π【解析】如圖是圓錐的軸截面SAB，設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為R．由題意得：圓錐的高為h=26S△SAB=1所以S表面積=4π題型六球與球的相切問(wèn)題【例6】底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切。現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒(méi)所有鐵球，則需要注水_____.【答案】cm3【解析】設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為，其中為下層兩球的球心，四個(gè)球心連線組成棱長(zhǎng)為1的正四面體，分別為四個(gè)球心在底面的射影，則是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，所以注水高為正四面體相對(duì)棱的距離與球半徑的二倍的和，即為，故應(yīng)注水的體積等于以注入水的高度為高的圓柱的體積減去四個(gè)球的體積，＝，故答案為.【變式61】在半徑為的球內(nèi)放入5個(gè)球，其中有4個(gè)球大小相等，兩兩相外切且均與大球相內(nèi)切，另一個(gè)小球與這四個(gè)球均相外切，則這個(gè)小球半徑為A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知中四個(gè)半徑都是r的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，連