《數(shù)學(xué)（下冊）（第二版）》 課件 第3、4章　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、積分及應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3章112目錄3.1拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)性的判定3.2

函數(shù)的極值與最值3.3

函數(shù)圖像的凹凸和拐點(diǎn)3.4

曲率3.5

洛必達(dá)法則113教學(xué)要求：1.了解拉格朗日中值定理及其幾何解釋.2.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.3.理解函數(shù)的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法.4.掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用.5.會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn).6.會(huì)求曲線的水平、垂直漸近線，會(huì)比較準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像.*7.理解曲率、曲率半徑的定義，掌握曲率的計(jì)算方法．8.會(huì)用洛必達(dá)法則求

型與

型未定式的極限.1143.１拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)性的判定115拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)y＝f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間

[a，b]上連續(xù)，（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得或f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．拉格朗日中值定理準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．116利用拉格朗日中值定理，還可以得到下面的兩個(gè)推論．推論1如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且恒有f′（x）＝0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)恒為常數(shù)．推論1是“常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零”的逆定理．推論2如果函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)均可導(dǎo)，且恒有f′（x）＝g′（x），則函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)滿足f（x）＝g（x）＋C（C為任意常數(shù)）．117函數(shù)單調(diào)性的判定由下圖可以看出，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增加，那么它的圖像是一條沿x軸正向上升的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，因此，切線的斜率都是正的，即f′（x）＞0；同樣地，由下圖可以看出，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)減少，那么它的圖像是一條沿x軸正向下降的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角都是鈍角，因此切線的斜率都是負(fù)的，即f′（x）＜0．118119120由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)．定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．（1）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)減少．如果將定理中的閉區(qū)間[a，b]改為開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間（在其任一有限子區(qū)間上滿足定理的條件），結(jié)論同樣成立．如果將定理中的條件“f′（x）＞0（＜0）”改為“f′（x）≥0（≤0），且只在有限個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零”，結(jié)論同樣也成立．我們注意到x1＝－1，x2＝1是函數(shù)f（x）＝3x－x3單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，此時(shí)f′（x）＝0．習(xí)慣上，我們把f′（x）＝0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）．由此可見，駐點(diǎn)可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．特別地，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．因此，確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出函數(shù)f（x）的全部駐點(diǎn)及f′（x）不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（4）列表討論f′（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間．1213.２函數(shù)的極值與最值122函數(shù)的極值函數(shù)極值的定義由下圖可以看出，函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)c1，c4處的函數(shù)值f（c1），f（c4）比它們附近各點(diǎn)的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)c2，c5處的函數(shù)值f（c2），f（c5）比它們附近各點(diǎn)的函數(shù)值都?。?23對于具有上述這種性質(zhì)的點(diǎn)和對應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義．124關(guān)于函數(shù)的極值作以下幾點(diǎn)說明：（1）函數(shù)的極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值，兩者不應(yīng)混淆．（2）函數(shù)的極值概念是函數(shù)的局部性質(zhì)，它只是在與極值點(diǎn)附近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較為最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)為最大或最?。虼?，函數(shù)的極大值不一定比極小值大．（3）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)可能在區(qū)間內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點(diǎn)．125函數(shù)極值的判定和求法由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值點(diǎn)處，曲線的切線是水平的，即極值點(diǎn)是駐點(diǎn)．反過來，曲線上有水平切線的地方，即駐點(diǎn)處，函數(shù)不一定取得極值．由此，我們得到函數(shù)取得極值的必要條件．定理1設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′（x0）＝0．定理只說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)．實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是函數(shù)的極值點(diǎn)．126如圖所示，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大值，在點(diǎn)x0左側(cè)單調(diào)增加，有f′（x）＞0；在點(diǎn)x0右側(cè)單調(diào)減少，有f′（x）＜0．如圖所示，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極小值，在點(diǎn)x0左側(cè)單調(diào)減少，有f′（x）＜0，在點(diǎn)x0右側(cè)單調(diào)增加，有f′（x）＞0．由此，我們得到函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件．127定理2設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則（1）如果當(dāng)x＜x0時(shí)，f′（x）＞0，而當(dāng)x＞x0時(shí)，f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）如果當(dāng)x＜x0時(shí)，f′（x）＜0，而當(dāng)x＞x0時(shí)，f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在x0處取得極小值；（3）如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）符號(hào)相同，那么f（x0）不是f（x）函數(shù)的極值．128根據(jù)上面兩個(gè)定理，我們可以得到求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出函數(shù)f（x）的全部駐點(diǎn)及f′（x）不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（4）列表討論f′（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，并判定其是否為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，由此求出函數(shù)的極值．129定理3設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′（x）＝0，f″（x）≠0，則（1）當(dāng)f″（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）當(dāng)f″（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值．注意：如果函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）≠0，那么該駐點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)，且可以由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定f（x0）是極大值還是極小值．但是如果f″（x）＝0，定理3就失效了．130函數(shù)的最值及應(yīng)用函數(shù)最值的求法函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值是函數(shù)的整體性質(zhì)．在第1章中，我們已經(jīng)知道，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上必有最大值和最小值．函數(shù)的最值可能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得．如果最值在區(qū)間（a，b）內(nèi)部取得，則這個(gè)最值一定是函數(shù)的極值．因此，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)的函數(shù)值；（2）求出閉區(qū)間[a，b]上端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a），f（b）；（3）比較以上函數(shù)值，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值．131函數(shù)最值的應(yīng)用舉例（1）建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式．分析問題的實(shí)際意義，分清并找出已知量和未知量．在實(shí)際問題中常常是這樣提出問題的：當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y取得最大值（最小值）?這時(shí)要以x為自變量y為因變量，建立函數(shù)關(guān)系y＝f（x）．（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)．求出函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＝0，解出函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)．（3）確定最值．結(jié)合所求問題的實(shí)際意義，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)只有一個(gè)，則該點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就是所求問題的最大值（最小值）．如果函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)有多個(gè)，則將它們分別代入函數(shù)y＝f（x）求出對應(yīng)的函數(shù)值．在這些函數(shù)值中最大的數(shù)即為函數(shù)的最大值，最小的數(shù)為函數(shù)的最小值．1323.３函數(shù)圖像的凹凸和拐點(diǎn)133函數(shù)圖像的凹凸和拐點(diǎn)曲線的凹凸及其判定法如圖所示，曲線弧OP在區(qū)間（0，x0）內(nèi)是向下凹的，此時(shí)曲線總在其上任一點(diǎn)處切線的上方；而曲線弧PQ在區(qū)間（x0，＋∞）內(nèi)是向上凸的，此時(shí)曲線總在其上任一點(diǎn)處切線的下方．134一般地，對于曲線的上述特性，我們給出如下定義：135如果曲線是凹的，曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角隨著自變量x的增大而增大，切線的斜率也是單調(diào)增加的．由于切線的斜率就是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），因此，若曲線是凹的，導(dǎo)數(shù)f′（x）必定是單調(diào)增加的．同樣，如果曲線是凸的，曲線上各點(diǎn)處的切線的傾斜角隨著自變量x的增大而減小，切的斜率也是單調(diào)減少的，因此，若曲線是凸的，導(dǎo)數(shù)f′（x）必定是單調(diào)減少的．由此可見，曲線y＝f（x）的凹凸，可以由導(dǎo)數(shù)f′（x）的單調(diào)性來判定，而導(dǎo)數(shù)f′（x）的單調(diào)性又可以用它的導(dǎo)數(shù)，即y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）的符號(hào)來判定．136137定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f″（x）．（1）如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＞0，則曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；（2）如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＜0，則曲線在（a，b）內(nèi)是凸的．一般地，在連續(xù)曲線y＝f（x）的定義域的區(qū)間內(nèi)，除在有限個(gè)點(diǎn)處f″（x）＝0或f″（x）不存在外，若在其余各點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）均為正（或負(fù)）時(shí)，曲線y＝f（x）在這個(gè)區(qū)間上就是凹（或凸）的，這個(gè)區(qū)間就是曲線y＝f（x）的凹（或凸）區(qū)間；否則就以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)劃分函數(shù)y＝f（x）的定義區(qū)間，再在各個(gè)區(qū)間上討論曲線的凹凸性．138曲線的拐點(diǎn)我們可以按下面的步驟來確定曲線y＝f（x）的拐點(diǎn)：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）求出f″（x）；（3）求出使f″（x）＝0和f″（x）不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（4）列表討論f″（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定曲線f（x）的拐點(diǎn)．139函數(shù)圖像的描繪曲線的漸近線先看下列的例子．（1）如圖所示，當(dāng)x→－∞時(shí)，曲線y＝arctanx無限接近于直線y＝－

；當(dāng)x→＋∞時(shí)，曲線y＝arctanx無限接近于直線y＝

．140141（2）如圖所示，當(dāng)x→∞時(shí)，曲線y＝

無限接近于x軸（y＝0）；當(dāng)x→0時(shí)，曲線y＝

無限接近于y軸（x＝0）．一般地，對于曲線的上述特性，我們給出如下定義：142函數(shù)圖像的描繪描繪函數(shù)圖像的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域，考察函數(shù)的奇偶性和周期性，判斷曲線的對稱性；（2）求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′（x）和二階導(dǎo)數(shù)f″（x），并解出方程f′（x）＝0和f″（x）＝0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根以及f′（x）和f″（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；（3）列表討論f′（x）和f″（x）在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值、曲線f（x）的凹凸性和拐點(diǎn)；（4）確定曲線的水平漸近線和垂直漸近線；（5）需要時(shí)，取一些輔助點(diǎn)（例如曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）；（6）結(jié)合上述討論結(jié)果，描繪出函數(shù)y＝f（x）的圖像．1433.４曲率144曲率的概念如圖所示，相切于M點(diǎn)的兩條曲線弧MN1和MN2，長度相等且彎曲程度均勻．它們兩端的切線的夾角（簡稱切線轉(zhuǎn)角）分別為Δα1和Δα2．從直觀判斷，Δα2大于Δα1，曲線弧MN2比曲線弧MN1更彎曲．實(shí)際上，對于長度一定且彎曲程度均勻的曲線弧，切線轉(zhuǎn)角越大，其彎曲程度就越大．由此可以衡量曲線弧的平均彎曲程度．145我們將曲線弧的切線轉(zhuǎn)過的角度Δα與其弧長Δs之比的絕對值稱為該曲線弧的平均曲率，記為

，即曲線在其上各點(diǎn)附近的彎曲程度往往不同．因此，曲線弧越短，其平均曲率就能越真實(shí)地反映曲線上某一點(diǎn)附近的彎曲程度．于是，我們給出如下定義：146上式表明，曲線的曲率是曲線切線傾斜角關(guān)于弧長的變化率的絕對值，它是一個(gè)非負(fù)數(shù)．利用定義計(jì)算曲線的曲率是很不方便的，但可以引入坐標(biāo)系和導(dǎo)數(shù)來處理．下面給出平面直角坐標(biāo)系中曲線y＝f（x）上任意點(diǎn)處的曲率計(jì)算公式（推導(dǎo)略）：147曲率圓在研究一般曲線某點(diǎn)的曲率時(shí)，往往可以用一個(gè)圓弧代替該點(diǎn)附近的曲線．對于這樣的圓弧所在的圓，我們給出如下的定義：148如圖所示，曲率圓的中心C稱為曲線在點(diǎn)M的曲率中心；曲率圓的半徑R稱為曲線在點(diǎn)M的曲率半徑．149如果曲線在點(diǎn)M的曲率是K，則該點(diǎn)曲率圓的曲率同樣也是K，則曲線在點(diǎn)M的曲率半徑R的計(jì)算公式為與之相對應(yīng)的曲率圓的中心C（a，b）坐標(biāo)為1503.５洛必達(dá)法則151函數(shù)連續(xù)性的概念當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）和g（x）都趨于零（或都趨于無窮大），則極限可能存在，也可能不存在通常把這種形式的極限稱為未定式，并簡稱為對于未定式，不能直接用極限運(yùn)算法則求極限．下面介紹求這類未定式極限的一種有效簡便的方法———洛必達(dá)法則．152

型未定式定理如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足條件：（1）（2）f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）存在（或?yàn)闊o窮大）．則153這個(gè)定理告訴我們，當(dāng)也存在，且等于也為無窮大．定理中把x→x0換為x→∞（或其他情形）時(shí)，結(jié)論同樣成立．這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則．需要特別說明的是，如果使用一次洛必達(dá)法則后，仍未求出極限值，而函數(shù)f′（x）和g′（x）仍滿足定理的條件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，即但要注意，如果所求的極限已不是未定式，則不能再應(yīng)用這個(gè)法則，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果．154

型未定式對于x→x0時(shí)的

型未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則．定理如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足條件：（1）（2）f（x）和g（x）在點(diǎn)

x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）

存在（或?yàn)闊o窮大）．則上述定理中，把x→x0換為x→∞（或其他情形）時(shí)，結(jié)論同樣成立．155除了上述

和

型未定式外，還有0·∞，∞－∞，1∞，∞0，00等類型的未定式．這里所謂0·∞型未定式，是指形如[f（x）·g（x）]的極限中，（x）＝∞，并此可理解其他幾種類型的未定式．一般地，這些類型的未定式通過變形總可以化為型或型，然后利用洛必達(dá)法則求其極限．156積分及應(yīng)用第4章157目錄4.1積分的基本概念4.2積分法4.3定積分的應(yīng)用4.4廣義積分158教學(xué)要求：1.理解定積分的概念及性質(zhì)，能正確使用有關(guān)術(shù)語及符號(hào).2.了解導(dǎo)數(shù)（或微分）與積分的聯(lián)系，理解原函數(shù)的概念，知道積分上限函數(shù)

f（t）dt可導(dǎo)時(shí)，就是f（x）在［a，b］上的一個(gè)原函數(shù).3.掌握微積分學(xué)基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）.4.理解不定積分的概念及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式.5.熟練掌握第一換元積分法.6.掌握第二換元積分法（僅限于簡單的根式代換和三角代換）.7.熟練掌握不定積分的分部積分法.1598.會(huì)查簡易積分表.9.掌握用微元法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.10.掌握用定積分求平面圖形的面積，能用定積分求繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積.11.了解定積分在其他方面的一些應(yīng)用.12.了解廣義積分的概念和計(jì)算方法.1604.１積分的基本概念161定積分的概念及性質(zhì)定積分的定義要計(jì)算的量（曲邊梯形的面積A及變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s）的實(shí)際意義不同（前者是幾何量，后者是物理量），但解決的方法是相同的，都?xì)w結(jié)為求一個(gè)和式的極限．在科學(xué)技術(shù)上有許多實(shí)際問題都可以歸結(jié)為某種特定的和式極限．為此，我們給出如下定積分的定義：162163利用定積分的定義，實(shí)例考察中的兩個(gè)問題可以表述如下．若f（x）≥0，由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A等于曲邊函數(shù)f（x）在其底所在的區(qū)間[a，b]上的定積分，即變速直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻T1到時(shí)刻T2這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程s等于其速度函數(shù)v＝v（t）在時(shí)間區(qū)間[T1，T2]上的定積分，即164165關(guān)于定積分的定義，做以下幾點(diǎn)說明：（1）當(dāng)和式的極限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，而與區(qū)間[a，b]的分法及點(diǎn)ξi的取法無關(guān)．（2）定積分的值與表示積分變量的字母無關(guān)，即有（3）在定積分的定義中，要求滿足a＜b，為了以后計(jì)算方便起見，對于a＞b及a＝b的情形，我們給出如下的補(bǔ)充約定定積分的幾何意義我們已經(jīng)知道，如果函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≥0，則定積分

f（x）dx在幾何上表示由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A，即如果函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≤0，此時(shí)由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則定積分f（x）dx在幾何上表示曲邊梯形面積A的相反數(shù)，即166167如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（x）有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)，則定積分

f（x）dx在幾何上表示曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的幾塊曲邊梯形中，在x軸上方的各曲邊梯形面積之和，減去在x軸下方的各曲邊梯形面積之和．總之，定積分f（x）dx在各種實(shí)際問題中所代表的實(shí)際意義雖然不同，但它的數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示，這就是定積分的幾何意義．168定積分的幾何意義直觀地告訴我們，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么，由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和是一定存在的，即f（x）在區(qū)間[a，b]上一定是可積的．另一種情形，當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，f（x）在區(qū)間[a，b]上也一定是可積的．為此，我們有下面兩個(gè)定積分存在定理：定理1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上可積．定理2設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上可積．169定積分的性質(zhì)在下面的討論中，各性質(zhì)中積分上下限的大小，如無特別說明，均不加限制，并假設(shè)各函數(shù)在積分區(qū)間上都是可積的．性質(zhì)1如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）恒等于1，則性質(zhì)1的幾何解釋如圖所示．性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即其中k為常數(shù)．170性質(zhì)3兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即這是因?yàn)樾再|(zhì)3對于有限個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的定積分也是成立的．171性質(zhì)4如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)a＜c＜b，則如圖所示，性質(zhì)4說明定積分對積分區(qū)間具有可加性．這個(gè)性質(zhì)可以用來求分段函數(shù)的定積分．另外需要說明的是，如果a，b，c是任意三個(gè)實(shí)數(shù)，性質(zhì)4同樣成立．172利用性質(zhì)4和定積分的幾何意義，可以看出奇函數(shù)和偶函數(shù)在對稱于原點(diǎn)的區(qū)間（簡稱對稱區(qū)間）上的定積分有以下計(jì)算公式：（1）如果f（x）在[－a，a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則（2）如果f（x）在[－a，a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則性質(zhì)5如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）≤g（x），則性質(zhì)5可以用來比較兩個(gè)定積分的大小．173性質(zhì)6（定積分估值定理）設(shè)M與m分別是f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值，則如圖所示，性質(zhì)6可用來估計(jì)定積分值的大致范圍．174性質(zhì)7（定積分中值定理）如果f（x）在[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使下式成立：如圖所示，定積分中值定理的幾何意義是：在區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得以區(qū)間[a，b]為底邊，以曲線y＝f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f（ξ）的矩形的面積．175因此，我們把f（ξ）＝（x）dx稱為連續(xù)曲線f（x）在[a，b]上的平均高度，或稱為連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的平均值．這是有限個(gè)數(shù)的算數(shù)平均值概念的推廣，只有應(yīng)用定積分才有可能求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值．176微積分學(xué)基本定理積分上限函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，x為區(qū)間[a，b]上任意一點(diǎn)．由于y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，因而在[a，x]上也連續(xù)，因此，定積分（t）dt存在．這個(gè)定積分是一個(gè)變上限的定積分，對每一個(gè)x（x∈[a，b]），都有一個(gè)確定的積分值與之相對應(yīng)，因此，它是上限x的函數(shù)．為此，我們給出如下定義：177積分上限函數(shù)Φ（x）＝

（t）dt，x∈[a，b]的幾何意義如圖所示．它具有下面重要性質(zhì)．178定理1

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ（x）＝

（t）dt在[a，b]上可導(dǎo)，且有證明如圖所示．179180因?yàn)閒（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，又Δx→0時(shí)，ξ→x，所以有即定理1體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)（或微分）與積分的內(nèi)在聯(lián)系．181原函數(shù)的概念若把積分上限函數(shù)

（t）dt記為F（x），當(dāng)F（x）可導(dǎo)時(shí)，則有F′（x）＝f（x），我們稱F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，由此給出原函數(shù)的定義．182定理2如果函數(shù)F（x）是f（x）在某一區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則可用F（x）＋C（C為任意常數(shù)）表示f（x）在該區(qū)間內(nèi)的全體原函數(shù)．定理2包含兩層意思：第一，F(xiàn)（x）＋C中的任一個(gè)都是f（x）的原函數(shù)；第二，f（x）的任一原函數(shù)都可以表示成F（x）＋C的形式．183微積分基本定理定理1的重要意義在于，一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，另一方面揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系．因此，我們就能通過原函數(shù)來計(jì)算定積分．事實(shí)上，如果F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，而Φ（x）＝

（t）dt也是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則有F（x）－Φ（x）＝C，即184將x＝a，x＝b分別代入上式，得兩式相減，整理得把積分變量t換成x，得由此，我們得到微積分基本定理．185微積分基本定理設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則有上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式．微積分基本定理揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系．它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于它的一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的增量．這就給定積分提供了一個(gè)簡便的計(jì)算方法，大大簡化了定積分的計(jì)算．為了簡便，公式常采用下面的格式：186不定積分的概念及性質(zhì)不定積分的定義我們知道，如果函數(shù)F（x）是f（x）在某一區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）＋C（C為任意常數(shù)）可以表示f（x）的全體原函數(shù)．由此給出不定積分的定義．187求不定積分∫f（x）dx就是求被積函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)，為此，只需求得f（x）的一個(gè)原函數(shù)，然后再加上積分常數(shù)C即可．今后在不致引起混淆的情況下，不定積分簡稱為積分，求不定積分的運(yùn)算和方法分別稱為積分運(yùn)算和積分法．由不定積分的定義可以看出，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算或微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，它們的關(guān)系為：此式表明，若先求積分后求導(dǎo)數(shù)（或微分），則兩者的作用互相抵消．188此式表明，若先求導(dǎo)數(shù)（或微分）后求積分，則兩者的作用互相抵消后還相差一個(gè)常數(shù)．特別地，有∫dx＝x＋C．189不定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）的不定積分是函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)．其中C每取一個(gè)值C0，就確定f（x）的一個(gè)原函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中確定一條曲線y＝F（x）＋C0，這條曲線稱為函數(shù)f（x）的一條積分曲線．所有這些積分曲線y＝F（x）＋C構(gòu)成一個(gè)曲線族，稱為函數(shù)f（x）的積分曲線族，如圖所示．這就是不定積分的幾何意義．190191如上圖所示，積分曲線族y＝F（x）＋C的特點(diǎn)如下：（1）積分曲線中任意一條曲線，可由其中任一條沿y軸平移若干個(gè)單位得到，即積分曲線族中任意兩條曲線上，具有相同的橫坐標(biāo)x的點(diǎn)，它們對應(yīng)的縱坐標(biāo)y的差是一個(gè)常數(shù)．（2）由于[F（x）＋C]′＝F′（x）＝f（x），即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)x處，每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)處的切線斜率相等，都等于f（x），從而使相應(yīng)點(diǎn)處的切線互相平行．192積分的基本公式由于積分運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，從基本導(dǎo)數(shù)公式，可以直接得到相應(yīng)的基本積分公式．類似地，可以得到其他積分公式，常用的基本積分公式有：193194積分的基本運(yùn)算法則法則1兩個(gè)函數(shù)加或減的不定積分等于各個(gè)函數(shù)不定積分的加或減，即法則1對于有限多個(gè)函數(shù)加或減的不定積分也是成立的，即法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面，即1954.2積分法196第一換元積分法定理若∫f（x）dx＝F（x）＋C，則∫f（u）du＝F（u）＋C，其中u＝φ（x）是可導(dǎo)函數(shù)．這個(gè)定理表明，在基本積分公式中，把自變量x換成任何一可導(dǎo)函數(shù)u＝φ（x）后公式仍成立．應(yīng)用定理我們可以得到以下的積分方法．通常把這樣的積分方法稱為第一換元積分法，也稱湊微分法．197把不定積分中的哪一部分湊成dφ（x）是湊微分法的關(guān)鍵，這是一種技巧，需要熟記以下結(jié)論，例如：方法熟悉后，換元的中間步驟可以省略．用湊微分法可計(jì)算一些定積分．在計(jì)算時(shí)，一般不引入中間變量，只需將不定積分的結(jié)果（只取一個(gè)原函數(shù)）代入積分上、下限作差即可．198第二換元積分法不定積分的問題是分母含有根式，我們可以先做變換，將根式去掉．為此，令t＝，則x＝t2，dx＝2tdt，于是199由此可見，如果不定積分∫f（x）dx不易求出，但在做變換x＝φ（t）后，∫f（φ（t））φ′（t）dt可求，則可以按以下的方法計(jì)算不定積分．設(shè)x＝φ（t）單調(diào)且可導(dǎo)（φ′（t）≠0），則x＝φ（t）的反函數(shù)為t＝φ－1（x），若F（t）是f（φ（t））φ′（t）的一個(gè)原函數(shù)，即∫f（φ（t））φ′（t）dt＝F（t）＋C，則∫f（x）dx＝F（φ－1（x））＋C．通常把這樣的積分法稱為第二換元積分法．200一般地說，應(yīng)用三角換元法計(jì)算積分時(shí)，一般有如下三種情形：（1）含

時(shí)，作三角代換x＝asint或x＝acost；（2）含

時(shí)，作三角代換x＝atant或x＝acott；（3）含

時(shí)，作三角代換x＝asect或x＝acsct．用第二換元法計(jì)算定積分時(shí)，由于引入了新變量，應(yīng)相應(yīng)地變換積分上、下限，即“換元必?fù)Q限”．設(shè)函數(shù)f（x）在積分區(qū)間[a，b]上連續(xù)，函數(shù)x＝φ（t）在區(qū)間[α，β]上是單調(diào)的，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ′（t）．當(dāng)t在α和β之間變化時(shí)，x＝φ（t）的值在[a，b]上變化，并且φ（α）＝a，φ（β）＝b，則定積分201分部積分法設(shè)函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)u′＝u′（x），v′＝v′（x）．根據(jù)函數(shù)乘積的微分法則（uv）′＝u′v＋uv′或

d（uv）＝vdu＋udv，移項(xiàng)后，得uv′＝（uv）′－u′v或udv＝d（uv）－vdu．對上式兩邊求不定積分，得202上式稱為分部積分公式，利用分部積分公式計(jì)算不定積分的方法稱為分部積分法．應(yīng)用分部積分公式的作用在于把不容易求出的積分∫uv′dx或∫udv轉(zhuǎn)化為容易求出的積分∫u′vdx或∫vdu．運(yùn)用分部積分法的關(guān)鍵是如何選擇u和v′（或dv），一般原則是：（1）使v容易求出；（2）新積分∫u′vdx（或∫vdu）要比原積分∫uv′dx（或∫udv）容易求出．203一般情況下，u與v′可按以下規(guī)律選擇．（1）形如∫xnsinkxdx，∫xncoskxdx，∫xnekxdx（其中n為正整數(shù)）的不定積分，在被積函數(shù)中，選取u＝xn，v′＝sinkx（或v′＝coskx或v′＝ekx）．（2）形如∫xnlnxdx，∫xnarctanxdx，∫xnarcsinxdx（其中n為自然數(shù)）的不定積分，在被積函數(shù)中，選取u＝lnx（或u＝arctanx或u＝arcsinx），令v′＝xn．（3）形如∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx的不定積分，可以任意選擇u和v′，但因?yàn)橐褂脙纱畏植糠e分公式，兩次選擇的u和v′應(yīng)分別保持一致，即如果第一次令u＝eax，則第二次也須令u＝eax，這樣才能出現(xiàn)循環(huán)公式，然后用解方程的方法求出原積分．204用分部積分法計(jì)算定積分時(shí)，可以由不定積分的分部積分法直接得來，但要先把積出來的那一部分代入上、下限求值，余下的部分繼續(xù)積分．設(shè)函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）在區(qū)間[a，b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)u′，v′，則即若同時(shí)使用了換元積分法，則要根據(jù)引入的變量相應(yīng)地變換積分上、下限．205簡易積分表的應(yīng)用通過前面的討論可以看出，積分計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)計(jì)算靈活、復(fù)雜．為了使用方便，人們已將一些函數(shù)的不定積分匯編成表，這種表稱為簡易積分表．本書附錄列出的簡易積分表是按照被積函數(shù)的類型編排的，其中包括一些常用的積分公式．一般地，查積分表可節(jié)省計(jì)算積分的時(shí)間，但是只有在掌握了前面學(xué)過的基本積分方法后才能靈活地使用積分表，而且對一些比較簡單的積分，應(yīng)用基本積分方法來計(jì)算比查表更快．2064.3定積分的應(yīng)用207定積分的微元法在用定積分方法計(jì)算某個(gè)量時(shí)，關(guān)鍵是如何把所求的量用定積分表示出來，常用的方法就是“微元法”．為了分析這種方法，我們先回顧一下引入定積分概念時(shí)討論的曲邊梯形的面積問題．若f（x）≥0，我們把由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A表示成定積分，即208其基本步驟是：（1）分割用任意一組分點(diǎn)把區(qū)間[a，b]分成長度為Δxi（i＝１，２，···，n）的n個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，第i個(gè)小曲邊梯形的面積為ΔAi．（2）取近似得到第i個(gè)小曲邊梯形的面積ΔAi的近似值ΔAi≈f（ξi）Δxi（xi－1≤ξi≤xi）．（3）求和得到曲邊梯形面積A的近似值209（4）取極限得到曲邊梯形面積A的精確值其中λ＝不難發(fā)現(xiàn)，在表示定積分

f（x）dx的和式極限中，f（ξi）Δxi為曲邊梯形的面積A在代表性小區(qū)間[xi－1，xi]上的部分（即第i個(gè)小曲邊梯形）面積ΔAi的近似值．因此，我們只要把ξi換成x，把Δxi換成dx，就可以把f（ξi）Δxi寫成f（x）dx的形式．這就是說，f（x）dx是曲邊梯形的面積A在代表性小區(qū)間[x，x＋dx]上的部分面積ΔA（代替ΔAi）的近似值，而f（x）dx正是將曲邊梯形的面積A表示成定積分f（x）dx的被積式．210因此，今后我們可以把實(shí)際問題中的“待求量”A通過如下步驟表示成定積分：第一步根據(jù)問題的實(shí)際情況，選取積分變量x及變化區(qū)間（即積分區(qū)間）[a，b]．第二步在積分區(qū)間[a，b]上任取一個(gè)小區(qū)間[x，x＋dx]，然后求出這個(gè)小區(qū)間上所對應(yīng)的待求量A的部分量ΔA的近似值，記為dA＝f（x）dx，把它稱為待求量A的微元．第三步將待求量A的微元dA＝f（x）dx在積分區(qū)間[a，b]上積分（也就是無限累加），即得上述這種解決問題的方法稱為定積分的微元法．211關(guān)于微元dA＝f（x）dx，要注意以下兩點(diǎn)：（1）f（x）dx作為ΔA的近似表達(dá)式，應(yīng)該足夠準(zhǔn)確．確切地說，就是要求它們的差ΔA－f（x）dx是比Δx高階的無窮小，且所有小區(qū)間上差的總和還是無窮小．（2）利用微元法解決問題的關(guān)鍵是如何求出微元．要分析問題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系，一般可在某一小區(qū)間[x，x＋dx]上，采用“以常代變”“以勻代變”“以直代曲”等思路，寫出小區(qū)間上所求量的近似值，即為微元dA＝f（x）dx．212求平面圖形的面積若f（x）≥0，曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝f（x）dx，則面積213一般地，曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝丨f（x）丨dx，則面積214若g（x）≤

f（x），由上下兩條曲線y＝f（x），y＝g（x）與直線x＝a，x＝b（a＜b）所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝[f（x）－g（x）]dx，則面積215若ψ（y）≤φ（y），由左右兩條曲線x＝φ（y），x＝ψ（y）與直線y＝c，y＝d（c＜d）所圍成的平面圖形的面積微元為dA＝[φ（y）－ψ（y）]d