《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 第五章 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析

1第五章數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析實(shí)驗(yàn)5.1統(tǒng)計(jì)作圖實(shí)驗(yàn)5.2參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)5.3假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2實(shí)驗(yàn)5.1統(tǒng)計(jì)作圖一、頻率直方圖二、統(tǒng)計(jì)量四、應(yīng)用舉例三、常用概率分布的MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3一、頻率直方圖

在這次實(shí)驗(yàn)中，我們用MATLAB軟件來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值的計(jì)算,作出頻數(shù)直方圖.

將數(shù)據(jù)的取值范圍等分為若干個(gè)小區(qū)間，以每一個(gè)小區(qū)間為底，以落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)（頻數(shù)）為高作小矩形，這若干個(gè)小矩形組成的圖形稱為頻數(shù)直方圖.

用MATLAB作頻數(shù)直方圖，首先將數(shù)據(jù)按行或列寫入一個(gè)數(shù)據(jù)文件備用，然后用hist函數(shù)(見表5.1)作出圖形.4表5.1常用函數(shù)函數(shù)功能figure(h)figure(h)有兩種情況，當(dāng)h為已存在圖形的句柄時(shí)，則打開這一圖形作為當(dāng)前圖形，供后續(xù)繪圖命令輸出.當(dāng)h不為句柄且為整數(shù)時(shí)，則figure(h)可建立一圖形窗口，并給它分配句柄hhist(s,k)s表示數(shù)組（行或列），k表示將以數(shù)組s中的最大和最小值為端點(diǎn)的區(qū)間等分為k份.hist(s,k)可以繪制出以每個(gè)小區(qū)間為底，以這個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)為高的小矩形組成的直方圖5例1

某教師為檢查利用多媒體合堂教學(xué)效果，對(duì)所授課程成績(jī)進(jìn)行分析，已知該合堂班共有學(xué)生144名，成績(jī)（用X表示）如下:648387678166606782848082688475384273757812675480936645517667947582684564717885724161317680767056658167746771746173493556747650765652906888796691518186836567806868675059793935617061817458817271807181745881727161675090957454627335748497748278858372918483667092819692799575786139625550856860根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出該門課程成績(jī)的頻數(shù)直方圖和樣本分布函數(shù)圖.6解(1)將以上述數(shù)組中的最大和最小值為端點(diǎn)的區(qū)間等分為10(見圖5.1)、12(見圖5.2)、20(見圖5.3)等份,分別作頻數(shù)直方圖.在命令窗口輸入A=[648387678166606782848082688475384273757812675480936645517667947582684564717885724161317680767056658167746771746173493556747650765652906888796691518186836567806868675059793935617061817458817271807181745881727161675090957454627335748497748278858372918483667092819692799575786139625550856860]7圖5.1figure(1),hist(A,10)↙figure(1),hist(A,12)↙圖5.28figure(1),hist(A,20)↙圖5.3由上面三個(gè)圖形可見，k的大小要根據(jù)數(shù)據(jù)的取值范圍而定為了更清楚地反映.出總體X的特性,通常每個(gè)小區(qū)間至少包含2～4個(gè)數(shù)據(jù).9

另外，把頻數(shù)直方圖的縱坐標(biāo)上的頻數(shù)換為相應(yīng)小區(qū)間上的頻率，頻數(shù)直方圖即為頻率直方圖.(2)樣本分布函數(shù)圖編寫數(shù)據(jù)排序程序:fori=1:143forj=144:-1:i+1ifA(j)>A(j-1)y=A(j);A(j)=A(j-1);A(j-1)=y;endendenddisp(A)↙10作頻數(shù)累積圖(見圖5.4):x=linspace(12,97,51);y=[125689101213171920222326282931373941434756626570747985899498101106114118122126129130131132134136138139140142143144];plot(x,y)↙圖5.411c=[y/144];x=linspace(12,97,51);plot(x,c)↙作樣本分布函數(shù)圖(見圖5.5)

由頻數(shù)累積圖和樣本分布圖可見，它們的形狀是完全相同的,只要把頻數(shù)累積圖縱坐標(biāo)上的頻數(shù)換為相應(yīng)的累積頻率,就得到了樣本分布函數(shù)圖.12二、統(tǒng)計(jì)量1.數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的統(tǒng)計(jì)量（１）樣本均值和中位數(shù)將由小到大排序后位于中間的那個(gè)數(shù)稱為中位數(shù).（２）樣本方差﹑樣本標(biāo)準(zhǔn)差和極差樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差極差13數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的函數(shù)，見下表函數(shù)功能及格式mean(x)求x陣列的均值；調(diào)用格式：M=mean(x)median(x)求x陣列的中值；調(diào)用格式：M=median(x)range(x)求x陣列的極差；調(diào)用格式：R=range(x)var(x),var(x,1)求x陣列的方差；調(diào)用格式：V=var(x)std(x),std(x,1)求x陣列的標(biāo)準(zhǔn)差；調(diào)用格式：S=std(x)14例2

求例1中，A的均值﹑中位數(shù)﹑極差﹑方差﹑標(biāo)準(zhǔn)差.解

在命令窗口輸入:M=[mean(A)median(A)range(A)var(A)std(A)]↙M=69.847272.000085.0000228.787715.1257

由例1的頻率直方圖及統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值可見,均值和中位數(shù)表示數(shù)據(jù)分布的位置;方差﹑標(biāo)準(zhǔn)方差、極差表示數(shù)據(jù)對(duì)均值的離散程度.152．幾個(gè)重要概率分布（１）正態(tài)分布隨機(jī)變量X的概率密度為當(dāng)時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作

它的分布函數(shù)記作（２）分布若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均分從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

16服從自由度為的分布，記作（３）t分布若隨機(jī)變量

且它們相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量為服從

自由度為n的t分布,記作

（４）F分布若隨機(jī)變量，且它們相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從

第一自由度為,第二自由度為

的F分布,記作17三、常用概率分布的MATLAB實(shí)現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)中，正態(tài)分布﹑分布、

t分布、F分布是經(jīng)常用到的四種分布,在MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱，給出它們的概率密度和分布函數(shù)函數(shù)功能normpdf(x,mu,sigma)均值為mu﹑標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布的密度函數(shù)，其中

x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣.當(dāng)mu＝0,sigma＝1可以缺省normcdf(x,mu,sigma)均值為mu﹑標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布的分布函數(shù)，

其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣.當(dāng)mu＝0,sigma＝1可以缺省chi2pdf(x,n)分布的密度函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣chi2cdf(x,n)布的分布函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣tpdf(x,n)分布的密度函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣tcdf(x,n)分布的分布函數(shù)，其中x可以是標(biāo)量﹑數(shù)組或矩陣fpdf(x,n1,n2)分布的概率密度fcdf(x,n1,n2)分布函數(shù)18例3

分別在同一張圖上作出：（1）正態(tài)分布N(0,0.62)﹑N(0,12)﹑N(-1,12)﹑N(1,22)的概率密度圖;分布的概率密度圖;

（2）

（3）分布的概率密度圖;

（4）分布的概率密度圖.解

在命令窗口輸入：x=-4:0.1:4;p1=normpdf(x,0,0.6);p2=normpdf(x,0,1);p3=normpdf(x,-1,1);p4=normpdf(x,1,2);19figure(1),plot(x,p1,x,p2,x,p3,x,p4)↙圖5.620（2）輸入:x=0:0.1:30;p1=chi2pdf(x,5);p2=chi2pdf(x,10);figure(1),plot(x,p1,x,p2)↙分布的數(shù)學(xué)期望，方差當(dāng)自由度增加時(shí)，數(shù)學(xué)期望、方差增大，因此概率密度曲線向右移動(dòng)，且變平，如圖5.7所示.21（3）輸入:x=-4:0.1:4;p1=tpdf(x,1);p2=tpdf(x,10);p3=tpdf(x,20);p4=normpdf(x,0,1);figure(1),plot(x,p1,x,p2,x,p3,x,p4)↙圖5.822此圖從直觀上驗(yàn)證了統(tǒng)計(jì)理論中的結(jié)論：當(dāng)

時(shí)，

實(shí)際上,從在圖5.8可見，當(dāng)

時(shí)，它與就相差無幾了.（4）輸入：x=0:0.01:4;p1=fpdf(x,5,10);p2=fpdf(x,10,10);P3=fpdf(x,10,5)；figure(1),plot(x,p1,x,p2，x，p3)↙23圖5.924四、應(yīng)用舉例計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣實(shí)驗(yàn)

通過計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣實(shí)驗(yàn).用1代替國徽向上，0代替國徽向下，n表示試驗(yàn)次數(shù).（1）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，觀察國徽向上的一面頻率的變化情況.（2）進(jìn)行n次重復(fù)獨(dú)立的擲硬幣實(shí)驗(yàn)，分別用表示這n次試驗(yàn)的結(jié)果，求它們的均值及方差.（3）設(shè),其中進(jìn)行n次重復(fù)獨(dú)立的擲硬幣試驗(yàn)，對(duì)ξ來說稱為一次試驗(yàn)，得到的結(jié)果稱為25這次試驗(yàn)的結(jié)果.做N次這樣的試驗(yàn)，將所得結(jié)果記為,取足夠大的N和n,觀察隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)的變化情況并與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)相比較.解

(1)n

=100在命令窗口輸入:x=rand(1,100);y=fix(2*x);p=0;fori=1:100;p=p+y(1,i);enddisp(p/100)↙0.4400把上述程序中的n換為1000,10000,100000分別得

p=0.4880,p=0.5059，p=0.5007.26

通過模擬試驗(yàn)可見，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，國徽向上的頻率逐漸逼近它的概率0.5.從直觀上驗(yàn)證了頻率的穩(wěn)定性.(2)

n=10000

x=rand(1,10000);y=fix(2*x);a=[mean(y)var(y)]↙a=0.50590.2500(3)n

=2500當(dāng)N=500時(shí)，取ξ的500個(gè)樣本觀測(cè)值：x=zeros(1,500);y=fix(2*rand(500,2500));fori=1:500;forj=1:2500;x(1,i)=x(1,i)+y(i,j);endx(1,i)=（2＊（(x(1,i)-1250)）/50;Enddisp(x)↙27將ξ的500個(gè)樣本觀測(cè)值排序:fori=1:499;forj=500:-1:i+1;ifx(1,j)>x(1,j-1);t=x(1,j);x(1,j)=x(1,j-1);x(1,j-1)=t;endendenddisp(x)↙

取適當(dāng)?shù)臄?shù)d，對(duì)任意實(shí)數(shù)x（最好不超出樣本觀測(cè)值的最大值和最小值），計(jì)算出落在區(qū)間28的概率密度,作ξ的概率內(nèi)的樣本觀測(cè)值的頻數(shù).用作為隨機(jī)變量ξ密度與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖(見圖5.10).圖5.1029在命令窗口輸入:x=-3:0.3:3;y1=[1613324879117147183211222204199146977235231084]/500;y2=normpdf(x);plot(x,y1,x,y2)↙30當(dāng)n=10000,N=500時(shí),的概率密度圖及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布如圖15.11所示;圖5.1131n=40000,N=500時(shí),的概率密度和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度如圖5.12所示.圖5.12這一事實(shí)從直觀上驗(yàn)證了中心極限定理.而當(dāng)n及N足夠大時(shí)，

的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)逼近程度會(huì)更好.

32第五章數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析實(shí)驗(yàn)5.1統(tǒng)計(jì)作圖實(shí)驗(yàn)5.2參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)5.3假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)33實(shí)驗(yàn)5.2參數(shù)估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)二、參數(shù)估計(jì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)三、應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)34一、參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)問題分為兩類，一類是用某一函數(shù)值作為總體未知參數(shù)的估計(jì)值，即點(diǎn)估計(jì).點(diǎn)估計(jì)又分為矩估計(jì)和最大似然估計(jì)，這里我們主要介紹最大似然估計(jì).1．參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

另一類是區(qū)間估計(jì)，就是對(duì)于未知參數(shù)給出一個(gè)范圍，并且在一定的可靠度下使這個(gè)范圍包含未知參數(shù)的真值.設(shè)是取自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，

是

相應(yīng)的一個(gè)樣本觀測(cè)值.最大似然估計(jì)是利用樣本觀測(cè)值構(gòu)造似然函數(shù).

35其中是離散型隨機(jī)變量X在處的概率，θ是概率函數(shù)中的未知參數(shù).或其中是連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，θ是概率密度中的未知參數(shù).通過求解使似然函數(shù)取得最大值的

，而便是θ的最大似然估計(jì)值.362．參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)雖然給出了待估計(jì)參數(shù)的一個(gè)數(shù)值，但是我們并不知道用這個(gè)數(shù)值代替未知參數(shù)的精確性與可靠性.既然不能從樣本觀測(cè)值確定未知參數(shù)的真值，一般地，在給定樣本容量的條件下，給出真值所在的一個(gè)取值范圍.其中，稱隨機(jī)區(qū)間

為θ的置信區(qū)間，分別稱為置信下限稱為置信概率或置信水平，記總體的待估計(jì)參數(shù)為θ，由樣本算出的估計(jì)量，通常使θ滿足α稱為顯著性水平.置信區(qū)間的大小給出了估計(jì)的精度，置信水平給出了可靠性.和置信上限，37二、參數(shù)估計(jì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中，給出了計(jì)算總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差和區(qū)間估計(jì)函數(shù)，見表5.4.表5.4常用函數(shù)函數(shù)功能[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)著性水平為alpha時(shí)，正態(tài)分布的均值﹑標(biāo)準(zhǔn)差的的最大似然估計(jì)值為mu和sigma,它們的置信區(qū)間為muci和sigmaci.

其中x是樣本（數(shù)組或矩陣）.當(dāng)alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05[mu,muci]=expfit(x,alpha)顯著性水平為alpha時(shí)，指數(shù)分布均值的最大似然估計(jì)值為mu,置信區(qū)間為muci.其中x是樣本（數(shù)組或矩陣）.當(dāng)alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05[a,b,aci,bci]=unifit(x,alpha)顯著性水平alpha時(shí)，均勻分布區(qū)間端點(diǎn)的最大似然估計(jì)值為a,b，它們的置信區(qū)間為aci,bci.其中

x是樣本（數(shù)組或矩陣）.當(dāng)alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05[p,pci]=binofit(x,n,alpha)顯著性水平alpha時(shí)，二項(xiàng)分布的最大似然估計(jì)值為p,置信區(qū)間為pci.其中

x是樣本（數(shù)組或矩陣）.當(dāng)alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05[lambda,lambdaci]=poissfit(x,alpha)顯著性水平alpha時(shí)，泊松分布的最大似然估計(jì)值λ,置信區(qū)間為lambdaci.其中x是樣本（數(shù)組或矩陣）.當(dāng)alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.0538例4

從一批零件中，抽取9個(gè)零件，測(cè)得其直徑（mm）為19.720.119.819.920.220.019.920.220.3.設(shè)零件直徑服從正態(tài)分布

，

求這批零件的直徑的均值μ，方差σ的最大似然估計(jì)值，及置信水平為0.95解當(dāng)置信水平為0.95時(shí)，在命令窗口輸入：x=[19.720.119.819.920.220.019.920.220.3]；[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x)↙和0.99

的置信區(qū)間.39mu=20.0111sigma=0.2028muci=19.855320.1670sigmaci=0.13700.3884置信水平為0.95時(shí)，均值及標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)值分別是均值及標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間分別為（19.8553，20.1670），（0.1370，0.3884）.40當(dāng)置信水平為0.99時(shí)，在命令窗口輸入：x=[19.720.119.819.920.220.019.920.220.3][mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.99)↙mu=20.0111sigma=0.2028muci=19.784320.2379sigmaci=0.12240.4946置信水平為0.99時(shí)，均值及標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)值分別是均值及標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間分別為（19.7843，20.2379），（0.1224，0.4946）.41三、應(yīng)用舉例1．產(chǎn)品質(zhì)量問題

某廠一流水線生產(chǎn)大批220V，25W的白熾燈泡，其光通量（單位：流明）用X表示，X即是總體.現(xiàn)在從總體X中抽取容量為n=120的樣本（由于個(gè)體數(shù)量很大，可用不放回抽樣），進(jìn)行一次觀測(cè)得光通量的120個(gè)數(shù)據(jù)，它們就是容量為n=120的樣本觀測(cè)值，數(shù)據(jù)如下:

21620319720820620920620820220320621321820720820219420321321119321320820820420620420620820921320320620719620120820721320821020821121121422021120321622421120921821421921120822121121842218190219211208199214207207214206217214201212213211212216206210216204221208209214214199204211201216211209208209202211207202205206216206213206207200198200202203208216206222213209219根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析這批燈泡的質(zhì)量.（1）燈泡的質(zhì)量，可以從燈泡的光通量所服從的分布、均值、方差進(jìn)行分析.根據(jù)直方圖初步假設(shè)出光通量所服從的分布.在命令窗口輸入：A=[216203197208206209206208202203206213…….213209219]此處省略部分?jǐn)?shù)據(jù)43figure(1),hist(A,10)↙X的頻數(shù)直方圖,如圖圖5.1344(2)樣本分布函數(shù)圖編寫數(shù)據(jù)排序程序:fori=1:119forj=120:-1:i+1ifA(j)>A(j-1)y=A(j);A(j)=A(j-1);A(j-1)=y;endendenddisp(A)↙作頻數(shù)累積圖(見圖5.14):x=linspace(189.5,224.5,30)；y=[123…….118119120];plot(x,y)↙圖5.1445作樣本分布函數(shù)圖（見圖5.15）:c=[y/120];z=linspace(189.5,224.5,30);plot(z,c)↙圖5.1546根據(jù)頻率直方圖及樣本分布函數(shù)圖，假設(shè)燈泡的光通量服從.

求均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ的最大似然估計(jì)，及置信水平為mu=0.99的置信區(qū)間.在命令窗口輸入:[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(A,0.99)↙mu=208.8167sigma=6.3232muci=207.3056210.3277sigmaci=5.41147.570547置信水平為0.99時(shí)，均值及標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)值分別是均值及標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間分別為（207.3056,210.3277），（5.4114，7.5705）.為驗(yàn)證根據(jù)頻率直方圖及樣本分布函數(shù)圖作出的假設(shè)以上述估計(jì)值為均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布圖，及樣本分布函數(shù)圖作在同一坐標(biāo)系中，進(jìn)行比較.在命令行窗口輸入：p=normcdf(X,208.8167,6.3232);figure(2),plot(X,c,'b-',X,p,'g-')48圖5.16比較圖5.16兩條概率函數(shù)曲線，可知選取及

作為作為總體的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，精確度和可靠性都是很高的.

通過上述分析，就燈泡的光通量而言，根據(jù)燈泡光通量的分布、均值及方差燈泡的質(zhì)量還是穩(wěn)定的，機(jī)器工作正常.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，如果再進(jìn)一步改進(jìn)技術(shù)，使標(biāo)準(zhǔn)差變小產(chǎn)品的質(zhì)量會(huì)更好.492．學(xué)生身體素質(zhì)問題

青少年的身高是評(píng)價(jià)身體素質(zhì)的重要指標(biāo)之一.某地為了解當(dāng)?shù)馗咭粚W(xué)生的身高情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生測(cè)量其身高，所得數(shù)據(jù)如下（單位cm）：154.0173.3177.4157.9171.2156.8150.9157.6172.0174.1170.5172.4158.3174.7165.8148.8152.9163.8165.2168.7167.2167.6154.1170.6183.2166.9145.8151.6176.1167.6184.2175.1172.2168.4155.4164.3171.5178.0175.1172.3151.8161.7161.9176.2180.1166.0169.0156.9165.2171.6167.3164.8167.0171.0164.9161.2173.7159.0165.5156.8174.2176.1150.9166.7156.2162.9180.0168.2178.3175.2166.4181.0161.4171.6186.0183.0165.3167.7170.0168.5168.1167.4160.9159.5173.2159.0165.5161.7170.3163.2181.3174.2158.5181.0172.5171.0180.1171.5181.4174.4158.9181.0172.4171.2161.9167.0150.8180.1175.0174.2154.3162.7173.4155.8174.7184.2167.9174.1182.0178.6根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計(jì)當(dāng)?shù)馗咭粚W(xué)生的平均身高，并給出估計(jì)的誤差范圍.50解由以上數(shù)據(jù)作出學(xué)生身高X的頻率直方圖，圖5.17根據(jù)學(xué)生身高X的頻率直方圖，假設(shè)，記由學(xué)生身高數(shù)據(jù)組成的數(shù)

據(jù)組為S,求均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ的最大似然估計(jì)，及置信水平為0.99的置信區(qū)間.51[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(S，0.01)↙mu=168.0800sigma=8.9359muci=165.9446170.2154sigmaci=7.647310.6986置信水平為0.99時(shí)，均值及標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)值分別是均值及標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間分別為（165.9446,170.2154），（7.6473，10.6986）.52第五章數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析實(shí)驗(yàn)5.1統(tǒng)計(jì)作圖實(shí)驗(yàn)5.2參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)5.3假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)53實(shí)驗(yàn)5.3假設(shè)檢驗(yàn)一、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)二、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的MATLAB實(shí)現(xiàn)三、應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)54一、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)提出的假設(shè)作出接收還是拒絕的判斷.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是檢驗(yàn)所作出的假設(shè)是否正確.在假定正確的條件下，利用樣本的統(tǒng)計(jì)

量構(gòu)造一個(gè)小概率事件，根據(jù)樣本觀測(cè)值驗(yàn)證，這個(gè)小概率事件是否發(fā)生.

如果一次抽樣使得小概率事件發(fā)生了，則認(rèn)為不合理的現(xiàn)象發(fā)生了，拒絕假設(shè),否則接受假設(shè).雙側(cè)U檢驗(yàn)法左側(cè)U檢驗(yàn)法右側(cè)U檢驗(yàn)法在假設(shè)檢驗(yàn)中，把要檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)，把假設(shè)的對(duì)立面稱為備擇假設(shè).55常見的假設(shè)有以幾種情況：（1）單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)（2）單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)56

對(duì)于兩個(gè)正態(tài)總體的情況，假設(shè)兩個(gè)總體的均值、方差相等或不等關(guān)系情況與上類似.

二、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的MATLAB實(shí)現(xiàn)1．單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

總體方差

已知時(shí)，均值的檢驗(yàn)用U檢驗(yàn)法，在MATLAB中由函數(shù)ztest來實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為：[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)其中，輸入樣本x（數(shù)組或矩陣），mu是原假設(shè)中的，sigma是總體的標(biāo)準(zhǔn)差,alpha是顯著性水平α，tail是對(duì)的選擇.備擇假設(shè)57原假設(shè)當(dāng)tail=0時(shí)，備擇假設(shè)當(dāng)tail=-1時(shí)，備擇假設(shè)當(dāng)tail=1時(shí)，備擇假設(shè)p為當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，樣本均值出現(xiàn)的概率，p越小越值得懷疑.ci是的置信區(qū)間.輸出參數(shù)表示“在顯著性水平alpha的情況下，接受

”

輸出參數(shù)表示“在顯著性水平alpha的情況下，拒絕”

總體方差

未知時(shí)，均值的檢驗(yàn)用t檢驗(yàn)法，在MATLAB中,由函數(shù)ttest來實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為:[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)與上面的函數(shù)ztest比較，除了不需要輸入總體的標(biāo)準(zhǔn)差外，其余完全一樣.58例5

某工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝葡萄糖，規(guī)定每袋500g.現(xiàn)在隨機(jī)抽取10袋，測(cè)得每袋葡萄糖的質(zhì)量（g）為485510505488503482502505487506設(shè)每袋葡萄糖的質(zhì)量服從正態(tài)分布.如果已知解原假設(shè)用雙側(cè)U檢驗(yàn)法，已知.輸入：x=[485510505488503482502505487506][h,p,ci]=ztest(x,500,5,0.05,0)↙59h=0p=0.0877ci=494.2010500.3990從輸出結(jié)果來看，h=0接受,p=0.0877說明在原假設(shè)幾乎不可能出現(xiàn)，不可信。如果取時(shí)，其結(jié)果如下：[h,p,ci]=ztest(x,500,5,0.1,0)↙下，均值60h=1p=0.0877ci=494.6993499.9007輸出結(jié)果，h=1拒絕下，均值幾乎不可能出現(xiàn)，所以拒絕思考：以上輸出的兩個(gè)不同結(jié)果說明什么問題？612．單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體，是取自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是相應(yīng)的一個(gè)樣本觀測(cè)值.

檢驗(yàn)假設(shè)，需要編寫一個(gè)簡(jiǎn)單的程序如下：x=[x1,x2,…,xn]chi2=(n-1)*var(x)/sigma^2u1=chi2inv(alpha/2,n-1)u2=chi2inv(1-alpha/2,n-1)ifchi2<u1h=1elseifchi2>u2h=1elseh=0end↙其中,函數(shù)x=chi2inv(p,n)是求時(shí)，P(X<x)=p中的x即卡方分布的逆概率函數(shù).62例6

在例5中能否認(rèn)為每袋葡萄糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差？解

檢驗(yàn)假設(shè)，輸入：x=[485510505488503482502505487506]chi2=9*var(x)/5^2u1=chi2inv(0.05/2,9)u2=chi2inv(1-0.05/2,9)ifchi2<u1h=1elseifchi2>u2h=1elseh=0end↙63chi2=39.5240u1=2.7004u2=19.0228h=1由輸出結(jié)果拒絕接受H0,接受即每袋葡萄糖的標(biāo)準(zhǔn)差不等于5(g）.再由置信區(qū)間知x的方差大于25.643．兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體，通常需要檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等或不等關(guān)系.以檢驗(yàn)假設(shè)

為例，其余情況與一個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)類似.

調(diào)用格式為：檢驗(yàn)由函數(shù)ttest2來實(shí)現(xiàn)，[h,p,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)65例7

某種物品在處理前與處理后分別抽樣分析其含脂率如下：處理前：0.190.180.210.300.410.120.27處理后：0.150.130.070.240.190.060.080.12

假定處理前后的含脂率都服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差不變，問處理后含脂率的均值是否顯著降低？（取顯著性水平）解

已知檢驗(yàn)假設(shè)輸入:x=[0.190.180.210.300.410.120.27]y=[0.150.130.070.240.190.060.080.12][h,p,ci]=ttest2(x,y,0.05,1)↙66h=1p=0.0095ci=0.0372Inf由輸出結(jié)果可知，拒絕接受H0，接受，即處理后含脂率的均值顯著降低了.

兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)與單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)類似，由同學(xué)們自己完成.67三、應(yīng)用舉例質(zhì)量控制圖在假設(shè)檢驗(yàn)中，如果已知總體未知,要檢驗(yàn)是否成立，就是根據(jù)樣本觀測(cè)值來判別小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生.一般在控制圖上進(jìn)行.在生產(chǎn)過程中作這種檢驗(yàn)，通常取的控制上限的控制下限，樣本均值的控制圖上的中心線681.均值的控制圖在實(shí)際問題中，從X中抽取k個(gè)樣本容量為n

的樣本第i個(gè)樣本為樣本均值和極差分別為:k個(gè)樣本均值的均值為極差的均值為69用μ和σ的無偏估計(jì)來近似代替μ和σ，其中(見表5.6)是與在均值的控制圖上取中心線的控制上限的控制下限作出樣本均值的控制圖后，還需要進(jìn)行修正，檢查是否都落在n有關(guān)的常數(shù).控制限內(nèi).70

控制限內(nèi)時(shí)為止.

例8

某廠一流水線生產(chǎn)大批220V，25W的白熾燈泡，其光通量（單位：流明）用X表示，現(xiàn)在要制訂燈泡的光通量的質(zhì)量控制圖，從20批燈泡中各抽取6個(gè)燈泡測(cè)得光通量的數(shù)見表5.5:如果有個(gè)別的在控制限外，將該樣本剔除去，再重新計(jì)算和

，并根據(jù)它們計(jì)算出新的的控制限.重復(fù)上述步驟，直至剩下的每一個(gè)

都落在71批號(hào)12345678910光通量2162031972082062092062082022032062132182072082021942032132111932132082082042062042062082092132032062071962012082072132082102082112112142202112032162242112092182142192112082212112182082082102092072082052082112122310217151917181421批號(hào)11121314151617181920光通量218190219211208199214207207214206217214201212213211212216206210216204221208209214214199204211201216211209208209202211207202205206216206213206207200198200202203208216206222213209219208205210211210208212209207208182716201014812162172解

均值的控制圖繪制方法:（1）計(jì)算和在命令窗口輸入：x=[2082082102092072082052082112122082052102112102