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文檔簡介

6.4

廣義積分

本章的前幾節(jié)我們討論了有界函數(shù)在有限閉區(qū)間上的定積分，可以稱之為常義積分。這一節(jié)我們將把定積分的定義從有限區(qū)間推廣到無限區(qū)間，從有界函數(shù)推廣到無界函數(shù)，這就是所謂的廣義積分（也有人稱之為反常積分）.

6.4.1無限區(qū)間上的廣義積分定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的廣義積分.否則,稱廣義積分發(fā)散.極限

存在,稱廣義積分收斂;極限

存在,稱廣義積分收斂;為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),

則稱否則,稱廣義積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),稱在區(qū)間上的廣義積分,為函數(shù)否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

都收斂,稱廣義積分收斂;設(shè)是的一個原函數(shù),則例6.21

計算解或?qū)憺榻猱?dāng)

時廣義積分發(fā)散.因此,當(dāng)

時廣義積分收斂,其值為例

6.22

討論廣義積分的收斂性.(1)當(dāng)

p≠1時(2)當(dāng)

p

=1時計算解練習(xí)6.4.2無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),稱為

在區(qū)間(a,b]的廣義積分,否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

存在,則稱廣義積分

收斂;如果函數(shù)在點(diǎn)a的任意鄰域無界,則稱點(diǎn)a是的一個瑕點(diǎn).點(diǎn)a是的一個瑕點(diǎn).如果

存在,稱廣義積分收斂；

為函數(shù)在區(qū)間[a,b)的廣義積分,設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，否則,稱廣義積分發(fā)散.

點(diǎn)

b是的一個瑕點(diǎn).稱否則,稱廣義積分

發(fā)散.設(shè)函數(shù)在

上連續(xù),

為

在區(qū)間[a,b]的廣義積分.如果

都存在,則稱在[a,b]上無界函數(shù)

的廣義積分

收斂;點(diǎn)c是的一個瑕點(diǎn).解例

6.23

討論廣義積分的收斂性.因此,當(dāng)

時廣義積分收斂,其值為當(dāng)

時廣義積分發(fā)散.(1)當(dāng)

p≠1時(2)當(dāng)

p

=1時解例

6.24

計算廣義積分是瑕點(diǎn).解例6.25

計算廣義積分是瑕點(diǎn).

練習(xí)

計

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