2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章統(tǒng)計(jì)9.1.2分層隨機(jī)抽樣9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑教學(xué)用書(shū)教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE9.1.2分層隨機(jī)抽樣9.1.3獲得數(shù)據(jù)的途徑素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍.(數(shù)學(xué)抽象)2．了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，駕馭各層樣本量比例安排的方法.(數(shù)據(jù)分析)3．結(jié)合詳細(xì)實(shí)例，駕馭分層隨機(jī)抽樣的樣本均值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．知道獲得數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.(數(shù)據(jù)分析)1．對(duì)比簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，感受分層隨機(jī)抽樣中“層”的含義.2．通過(guò)詳細(xì)的案例，體會(huì)層次的差異性，并感受“層”與“層”之間的異同以及比例安排的必要性.3．在簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)上，深化對(duì)分層隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)的理解.必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)1分層隨機(jī)抽樣一般地，按__一個(gè)或多個(gè)__變量把總體劃分成若干個(gè)__子總體__，每個(gè)個(gè)體__屬于且僅屬于__一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行__簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣__，再把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為_(kāi)_總樣本__，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣.(1)每一個(gè)子總體稱為層，在分層隨機(jī)抽樣中，假如每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的安排方式為_(kāi)_比例安排_(tái)_.(2)假如總體分為2層，兩層包含的個(gè)體數(shù)分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，兩層的總體平均數(shù)分別為eq\o(X,\s\up6(－))，eq\o(Y,\s\up6(－))，總體平均數(shù)為eq\o(W,\s\up6(－))，樣本平均數(shù)為eq\o(w,\s\up6(－)).則eq\o(w,\s\up6(－))＝__eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))__.eq\o(W,\s\up6(－))＝__eq\f(M,M＋N)eq\o(X,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(Y,\s\up6(－))__.(3)在比例安排的分層隨機(jī)抽樣中，可以干脆用__樣本平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))__估計(jì)__總體平均數(shù)eq\o(W,\s\up6(－))__.學(xué)問(wèn)點(diǎn)2獲得數(shù)據(jù)的途徑獲得數(shù)據(jù)的基本途徑有__通過(guò)調(diào)查獲得數(shù)據(jù)__、__通過(guò)試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)__、__通過(guò)視察獲得數(shù)據(jù)__、__通過(guò)查詢獲得數(shù)據(jù)__等.[學(xué)問(wèn)解讀]1．分層隨機(jī)抽樣的實(shí)施步驟第一步，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體；其次步，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；第三步，把全部子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本.2．分層隨機(jī)抽樣適用于總體中個(gè)體之間差異較大的情形3．在比例安排的分層抽樣中需留意兩點(diǎn)(1)抽樣比＝eq\f(樣本量,總樣本量).(2)可以干脆用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).4．分層隨機(jī)抽樣下總體平均數(shù)的估計(jì)在分層隨機(jī)抽樣中，假如層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為eq\o(X,\s\up6(－))＝eq\f(X1＋X2＋…＋XM,M)＝eq\f(1,M)eq\i\su(i＝1,M,X)i，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i.第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為eq\o(Y,\s\up6(－))＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為eq\o(W,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,M,X)i＋\i\su(i＝1,N,Y)i,M＋N)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,m,x)i＋\i\su(i＝1,n,y)i,m＋n).在比例安排的分層隨機(jī)抽樣中，eq\f(m,M)＝eq\f(n,N)＝eq\f(m＋n,M＋N)，eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\o(w,\s\up6(－)).因此，在比例安排的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以干脆用樣本平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))估計(jì)總體平均數(shù)eq\o(W,\s\up6(－)).關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一對(duì)分層隨機(jī)抽樣概念的理解典例1(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的看法，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適(D)A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)C．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣 D．分層隨機(jī)抽樣(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體被等可能抽取，必需進(jìn)行(C)A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．全部層按同一抽樣比等可能抽樣D．全部層抽取的個(gè)體數(shù)量相同[分析]是否適合用分層隨機(jī)抽樣，首先推斷總體是否可以“分層”.[解析](1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣.(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能的被抽取，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必需在全部層都按同一抽樣比等可能抽取.[歸納提升]1．運(yùn)用分層抽樣的前提分層隨機(jī)抽樣的總體按一個(gè)或多個(gè)變量劃分成若干個(gè)子總體，并且每一個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小.2．運(yùn)用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)遵循的原則(1)將相像的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽取，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，每層樣本量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?下列問(wèn)題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是(B)A．從10名同學(xué)中抽取3人參與座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量[解析]A中總體所含個(gè)體無(wú)差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無(wú)差異但個(gè)數(shù)較多，不適合用分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣.題型二分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用典例2一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人.為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)當(dāng)怎樣抽取？[解析]用分層隨機(jī)抽樣來(lái)抽取樣本，步驟如下：(1)分層.按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工.(2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù).抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人).(3)在各層分別按簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽取樣本.(4)匯總每層抽樣，組成樣本.[歸納提升]分層隨機(jī)抽樣的步驟【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?某市的3個(gè)區(qū)共有中學(xué)學(xué)生20000人，且3個(gè)區(qū)的中學(xué)學(xué)生人數(shù)之比為2︰3︰5，現(xiàn)要從全部學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，調(diào)查該市中學(xué)學(xué)生的視力狀況，試寫(xiě)出抽樣過(guò)程.[解析]①由于該市中學(xué)學(xué)生的視力有差異，按3個(gè)區(qū)分成三層，用分層隨機(jī)抽樣來(lái)抽取樣本.②確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)，在3個(gè)區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是2︰3︰5，所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200×eq\f(2,2＋3＋5)＝40；200×eq\f(3,2＋3＋5)＝60；200×eq\f(5,2＋3＋5)＝100．③在各層分別按隨機(jī)數(shù)法抽取樣本.④綜合每層抽樣，組成容量為200的樣本.題型三分類抽樣的相關(guān)計(jì)算典例3(1)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉狀況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為(B)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5︰3︰2，若用分層隨機(jī)抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取__20__個(gè)個(gè)體.(3)分層隨機(jī)抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為_(kāi)_6__.[解析](1)因?yàn)榧咨鐓^(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，所以四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人).(2)∵A，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5︰3︰2，又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴分層隨機(jī)抽樣應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,10)＝20(個(gè))個(gè)體.(3)eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6．[歸納提升](1)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的兩個(gè)關(guān)系①eq\f(樣本量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))；②總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.(2)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別是1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取__6__輛、__30__輛、__10__輛.(2)在本例(2)中，若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20，則樣本的平均數(shù)為_(kāi)_20.5__.[解析](1)三種型號(hào)的轎車共9200輛，抽取樣本量為46輛，則按eq\f(46,9200)＝eq\f(1,200)的比例抽樣，所以依次應(yīng)抽取1200×eq\f(1,200)＝6(輛)，6000×eq\f(1,200)＝30(輛)，2000×eq\f(1,200)＝10(輛).(2)由題意可知樣本的平均數(shù)為eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5．易錯(cuò)警示忽視抽樣的公允性致錯(cuò)典例4某單位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，需從中抽取一個(gè)樣本量為36的樣本，則下列抽樣方法適合的是__②__.①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；②干脆運(yùn)用分層隨機(jī)抽樣；③先從老年人中剔除1人，再用分層隨機(jī)抽樣.[錯(cuò)解]③[錯(cuò)因分析]由于按eq\f(36,163)抽樣，無(wú)法得到整數(shù)解，因此先剔除1人，將抽樣比變?yōu)閑q\f(36,162)＝eq\f(2,9).若從老年人中隨機(jī)地剔除1人，則老年人應(yīng)抽取27×eq\f(2,9)＝6(人)，中年人應(yīng)抽取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人應(yīng)抽取81×eq\f(2,9)＝18(人)，從而組成樣本量為36的樣本.事實(shí)上，若用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法先從老年人中剔除1人，則老年人中每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)明顯比中年人、青年人中每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)小了，這不符合隨機(jī)抽樣的特征——每個(gè)個(gè)體入樣的機(jī)會(huì)都相等.[正解]因?yàn)榭傮w由差異明顯的三部分組成，所以考慮用分層隨機(jī)抽樣.因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為28＋54＋81＝163，樣本量為36，所以抽樣比為eq\f(36,163).因此，從老年人、中年人和青年人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為eq\f(36,163)×28≈6，eq\f(36,163)×54≈12，eq\f(36,163)×81≈18．[誤區(qū)警示]分層隨機(jī)抽樣的一個(gè)很重要的特點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是相等的.當(dāng)依據(jù)比例計(jì)算出的值不是整數(shù)時(shí)，一般采納四舍五入的方法取值.若四舍五入后得到的樣本量與要求的不盡相同