統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章8.2空間幾何體的表面積和體積課時作業(yè)理含解析

PAGE課時作業(yè)41空間幾何體的表面積和體積[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．若圓錐的側(cè)面綻開圖是圓心角為120°，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積比是()A．3:2B．2:1C．4:3D．5:32．[2024·重慶一中調(diào)考]一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋43．[2024·福州市中學(xué)畢業(yè)班質(zhì)量檢測]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某三棱錐的正視圖、俯視圖，則該三棱錐的體積為()A．81B．27C．18D．94．[2024·天津卷，5]若棱長為2eq\r(3)的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12πB．24πC．36πD．144π5．[2024·廣州市高三年級階段訓(xùn)練題]陀螺是中國民間最早的消遣工具之一，也稱陀羅．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為()A．(7＋2eq\r(2))πB．(10＋2eq\r(2))πC．(10＋4eq\r(2))πD．(11＋4eq\r(2))π6．[2024·大同市高三學(xué)情調(diào)研測試試題]體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為()A．4eq\r(3)πB．8eq\r(3)πC．12eq\r(3)πD．6eq\r(3)π7．[2024·河北省九校高三聯(lián)考試題]下圖網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．7π＋8＋4eq\r(2)B．7π＋4＋4eq\r(2)C．5π＋8＋4eq\r(2)D．5π＋4＋4eq\r(2)8．[2024·廣東省七校聯(lián)合體高三聯(lián)考試題]已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的全部母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,9)C.eq\f(2\r(6),9)D.eq\f(8,27)9．[2024·北京昌平區(qū)檢測]《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：在屋內(nèi)墻角處堆放米，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積及堆放的米各為多少？已知米堆所形成的幾何體的三視圖如圖所示，一斛米的體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有()A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛

10.[2024·全國卷Ⅱ，10]已知△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(\r(3),2)二、填空題11．[2024·南昌市高三年級摸底測試卷]已知一個圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為________．12．[2024·廣州市一般中學(xué)畢業(yè)班綜合測試]如圖，假如一個空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，則這個幾何體的體積為________，表面積為________．13．[2024·廣州市高三年級調(diào)研檢測]已知某正三棱錐的側(cè)棱長大于底邊長，其外接球體積為eq\f(125π,6)，三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為________．14．[2024·石家莊市重點中學(xué)高三畢業(yè)班摸底考試]已知正三棱錐S－ABC的全部頂點都在球O的球面上，棱錐的底面是邊長為2eq\r(3)的正三角形，側(cè)棱長為2eq\r(5)，則球O的表面積為________．[實力挑戰(zhàn)]15．[2024·廣州市一般中學(xué)畢業(yè)班綜合測試]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，若P，Q分別在AA1，CC1上，且AP＝eq\f(1,3)AA1，CQ＝eq\f(1,3)CC1，則四棱錐B－APQC的體積為()A.eq\f(1,6)VB.eq\f(2,9)VC.eq\f(1,3)VD.eq\f(7,9)V16．[2024·福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測]某學(xué)生到工廠實踐，欲將一個底面半徑為2，高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi)．若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A.eq\f(16π,9)B.eq\f(8π,9)C.eq\f(16π,27)D.eq\f(8π,27)17．[2024·河南省豫北名校高三質(zhì)量考評]如圖為一個正方體ABCD－A1B1C1D1與一個半球O1構(gòu)成的組合體，半球O1的底面圓與該正方體的上底面A1B1C1D1的四邊相切，O1與正方形A1B1C1D1的中心重合．將此組合體重新置于一個球O中(球O未畫出)，使該正方體的下底面ABCD的頂點均落在球O的表面上，半球O1與球O內(nèi)切，設(shè)切點為P，若四棱錐P－ABCD的表面積為4＋4eq\r(10)，則球O的表面積為()A.eq\f(121π,6)B.eq\f(121π,9)C．12πD．9π課時作業(yè)411．解析：底面半徑r＝eq\f(\f(2,3)π,2π)l＝eq\f(1,3)l，故圓錐中S側(cè)＝eq\f(1,3)πl(wèi)2，S表＝eq\f(1,3)πl(wèi)2＋πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)l))2＝eq\f(4,9)πl(wèi)2，所以表面積與側(cè)面積的比為4:3.故選C.答案：C2.解析：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示，表面積為2×2＋2×eq\f(1,2)×π×12＋π×1×2＝4＋3π，故選D.答案：D3．解析：由已知條件可以確定該幾何體為三棱錐，其高為6，底面積為俯視圖中三角形的面積，故底面積S＝36－eq\f(1,2)×3×3－2×eq\f(1,2)×3×6＝eq\f(27,2)，所以該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(27,2)×6＝27.故選B.答案：B4．解析：設(shè)外接球的半徑為R，易知2R＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6，所以R＝3，于是表面積S＝4πR2＝36π，故選C.答案：C5．解析：由三視圖知，該陀螺是一個圓錐與一個圓柱的組合體，其中圓錐的底面半徑為2、高為2，圓柱的底面半徑為1、高為3，所以該陀螺的表面積為π×2×eq\r(22＋22)＋π×22＋2π×1×3＝(10＋4eq\r(2))π，故選C.答案：C6．解析：由正方體的體積為8，可知其棱長為2，且正方體的體對角線為其外接球的直徑，所以其外接球的半徑R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，則外接球的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.故選A.答案：A7．解析：由三視圖可知，該幾何體是上方為一個八分之一球，下方是一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，故所求表面積S＝eq\f(1,8)×4π×22＋eq\f(1,4)×π×22×3＋2×2×2＋2eq\r(2)×2＝5π＋8＋4eq\r(2)，故選C.答案：C8．解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該等邊三角形的內(nèi)切圓，如圖所示，所以r＝eq\f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)R))2＝eq\f(4π,3)R2，S圓錐＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球與圓錐的表面積之比eq\f(S球,S圓錐)＝eq\f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq\f(4,9)，故選B.答案：B9．解析：設(shè)圓錐的底面eq\f(1,4)圓的半徑為r，則eq\f(π,2)r＝8，解得r＝eq\f(16,π)，故米堆的體積為eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5＝eq\f(320,3π)(立方尺)．∵1斛米的體積約為1.62立方尺，∴eq\f(320,3π)÷1.62≈21(斛)，故選A.答案：A10．解析：設(shè)等邊△ABC的邊長為a，外接圓半徑為r，球心O到平面ABC的距離為h，球的半徑為R，依題意得eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3(負(fù)值舍去)，則△ABC的外接球半徑為r＝eq\f(\r(3),3)a＝eq\r(3)，因為球O的表面積為16π，即4πR2＝16π，所以R＝2.由R2＝h2＋r2得h＝eq\r(22－\r(3)2)＝1.故選C.答案：C11．解析：因為圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑r＝1，母線l＝eq\r(2)，所以圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝eq\r(2)π.答案：eq\r(2)π12．解析：依據(jù)三視圖可知，該幾何體為圓錐，其底面半徑r＝1，母線長l＝2，所以該圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，所以這個幾何體的體積為eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3)，表面積為π·r2＋π·r·l＝π×12＋π×1×2＝3π.答案：eq\f(\r(3)π,3)3π13．解析：畫出正三棱錐的直觀圖如圖所示，其中F是等邊三角形ABC的中心，E是正三棱錐外接球的球心，G是BC的中點．依據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)有DF⊥平面ABC.由俯視圖可知，等邊三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，所以△ABC的高為2eq\r(3)×sin60°＝3.依據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)可知，等邊三角形ABC的外接圓半徑FA＝eq\f(2,3)×3＝2.設(shè)正三棱錐的外接球半徑為R，則eq\f(4π,3)R3＝eq\f(125π,6)，解得R＝eq\f(5,2)，故DE＝EA＝R＝eq\f(5,2)，所以EF＝eq\r(EA2－FA2)＝eq\r(\f(25,4)－4)＝eq\f(3,2).所以正三棱錐的高DF＝ED＋EF＝eq\f(5,2)＋eq\f(3,2)＝4，即側(cè)視圖的高為4.所以側(cè)視圖的面積為eq\f(1,2)×3×4＝6.答案：614．解析：如圖，延長SO交球O于點D，設(shè)△ABC的外心為點E，連接AE，AD，由正弦定理得2AE＝eq\f(2\r(3),sin60°)＝4，∴AE＝2，易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱錐S－ABC的高SE＝eq\r(SA2－AE2)＝eq\r(2\r(5)2－22)＝4，由于點A是以SD為直徑的球O上一點，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直徑2R＝SD＝eq\f(SA2,SE)＝5，因此，球O的表面積為4πR2＝π×(2R)2＝25π.答案：25π15．解析：如圖，設(shè)D是BB1上一點，且BD＝eq\f(1,3)BB1，連接DP，DQ，由于AP＝eq\f(1,3)AA1，CQ＝eq\f(1,3)CC1，所以平面DPQ∥平面ABC.所以V四棱錐B－APQC＝V三棱柱ABC－PDQ×eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×V三棱柱ABC－A1B1C1))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)V.故選B.答案：B16．解析：解法一如圖，OC＝2，OA＝3，由△AED∽△AOC可得eq\f(ED,OC)＝eq\f(AE,AO).設(shè)圓柱體的底面半徑r＝ED＝2x(0<x<1)，可得AE＝3x，則圓柱體的高h(yuǎn)＝OE＝3－3x，圓柱體的體積V＝π(2x)2(3－3x)＝12π(x2－x3)，令V(x)＝12π(x2－x3)，則V′(x)＝12π(2x－3x2)，令V′(x)＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝0(舍去)，可得V(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝eq\f(2,3)時，V(x)取得最大值，V(x)max＝eq\f(16π,9)，即圓柱體的最大體積是eq\f(16π,9).解法二同解法一，則圓柱體的體積V＝12πx2(1－x)＝6π·x·x(2－2x)≤6π·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋2－2x,3)))3＝eq\f(16π,9)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－2x，即x＝eq\f(2,3)時等號成立，故圓柱體的最大體積是eq\f(16π,9).故選A.答案：A17．解析：如圖，設(shè)球O，半球O1的半徑分別為R，r，由題意知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2r，四棱錐P－ABCD為正四棱錐．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心為G，連接A