2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的遞增區(qū)間是 ()A.(-∞，2) B.(0，3)C.(1，4) D.(2，+∞)【解析】選D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，令f′(x)>0，即(x-2)ex>0，解得x>2.2.y=xlnx在(0，5)內(nèi)的單調(diào)性是 ()A.增加的B.削減的C.在QUOTE內(nèi)是削減的，在QUOTE內(nèi)是增加的D.在QUOTE內(nèi)是增加的，在QUOTE內(nèi)是削減的【解析】選C.函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞).y′=lnx+1，令y′>0，得x>QUOTE；令y′<0，得0<x<QUOTE.所以函數(shù)y=xlnx在QUOTE內(nèi)是削減的，在QUOTE內(nèi)是增加的.3.函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c為實(shí)數(shù)，當(dāng)a2-3b<0時(shí)，f(x)是()A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.常數(shù) D.既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)【解析】選A.求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f′(x)=0的Δ=4(a2-3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函數(shù).4.已知函數(shù)f(x)=x2-9lnx+3x在其定義域內(nèi)的子區(qū)間(m-1，m+1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閒QUOTE=x2-9lnx+3x在其定義域(0，+∞)的子區(qū)間QUOTE上不單調(diào)，所以函數(shù)fQUOTE=x2-9lnx+3x在區(qū)間QUOTE上有極值，由f′QUOTE=2x-QUOTE+3=QUOTE=0，得x=QUOTE或x=-3(舍去)，所以0≤m-1<QUOTE<m+1，解得1≤m<QUOTE.二、填空題(每小題5分，共10分)5.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+QUOTE的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.

【解析】f′(x)=1-QUOTE=QUOTE=QUOTE.由f′(x)<0且x>0得0<x<QUOTE.答案：(0，QUOTE)6.已知函數(shù)f(x)=kex-1-x+QUOTEx2(k為常數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與x軸平行，則f(x)的遞減區(qū)間為_________.

【解析】f′(x)=kex-1-1+x，因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與x軸平行，所以f′(0)=k·e-1-1=0，解得k=e，故f′(x)=ex+x-1.令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)的遞減區(qū)間為(-∞，0).答案：(-∞，0)三、解答題(每小題10分，共20分)7.求下列各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)=2x3-3x2.(2)f(x)=QUOTE.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f′(x)=6x2-6x.令f′(x)>0，即6x2-6x>0，解得x>1或x<0；令f′(x)<0，即6x2-6x<0，解得0<x<1.所以f(x)的遞增區(qū)間是(-∞，0)和(1，+∞)；遞減區(qū)間是(0，1).(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，且f′(x)=QUOTE.令f′(x)>0，即QUOTE>0，得0<x<e；令f′(x)<0，即QUOTE<0，得x>e，所以f(x)的遞增區(qū)間是(0，e)，遞減區(qū)間是(e，+∞).8.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTEx3+mx2+1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(1)=3.(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)f′(x)=x2+2mx，所以f′(1)=1+2m=3，所以m=1.所以f(x)=QUOTEx3+x2+1，所以f(1)=QUOTE.所以切線方程為y-QUOTE=3(x-1)，即9x-3y-2=0.(2)f′(x)=x2+2x=x(x+2)，令f′(x)>0，得x>0或x<-2，令f′(x)<0，得-2<x<0，所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(0，+∞)，遞減區(qū)間為(-2，0).(15分鐘·30分)1.(5分)函數(shù)f(x)=QUOTEx3-x2+ax-5在區(qū)間[-1，2]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞，-3] B.(-3，1)C.[1，+∞) D.(-∞，-3]∪[1，+∞)【解析】選B.因?yàn)閒(x)=QUOTEx3-x2+ax-5，所以f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1，假如函數(shù)f(x)=QUOTEx3-x2+ax-5在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)，那么a-1≥0或QUOTE解得a≥1或a≤-3，于是滿意條件的a∈(-3，1).2.(5分)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，則y=f′(x)的圖像可能是 ()【解析】選D.由f(x)的圖像知，f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，所以在(0，+∞)上f′(x)<0，在(-∞，0)上f′(x)>0，故選D.3.(5分)已知函數(shù)f(x)=-QUOTEx2+3x-2lnx，則函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為_________.

【解析】由題可得f′(x)=-x+3-QUOTE=-QUOTE，令f′(x)>0，解得1<x<2，故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(1，2).答案：(1，2)4.(5分)已知函數(shù)f(x)=alnx+QUOTEx2(a>0)，若對(duì)隨意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，QUOTE≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

【解析】因?yàn)閷?duì)隨意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，QUOTE≥2恒成立，所以f′(x)≥2恒成立，因?yàn)閒′(x)=QUOTE+x≥2QUOTE，所以2QUOTE≥2，即a≥1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞).答案：[1，+∞)5.(10分)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)M(-1，f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式.(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)由y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，f′(x)=3x2+2bx+c.由在點(diǎn)M(-1，f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.所以QUOTE即QUOTE解得b=c=-3.所以所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f′(x)=3x2-6x-3.令f′(x)>0，得x<1-QUOTE或x>1+QUOTE；令f′(x)<0，得1-QUOTE<x<1+QUOTE.所以f(x)=x3-3x2-3x+2的遞增區(qū)間為(-∞，1-QUOTE)和(1+QUOTE，+∞)，遞減區(qū)間為(1-QUOTE，1+QUOTE).1.(2024·宜昌高二檢測(cè))已知函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex，且g(0)g′(1)=e，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若存在x∈[0，+∞)，使得不等式QUOTEg(x)<x-m+3成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________.

【解析】由題意設(shè)g(x)=ex+c，則g′(x)=ex，g(0)=1+c，g′(1)=e，所以g(0)g′(1)=(1+c)e=e，解得c=0，即g(x)=ex，則QUOTEg(x)<x-m+3可化為QUOTEex-x<-m+3，令F(x)=QUOTEex-x，原問題可轉(zhuǎn)化為-m+3>F(x)min.因?yàn)镕′(x)=QUOTEex+QUOTEex-1=QUOTEex-1，當(dāng)x>0時(shí)，2x+1>x+1≥2QUOTE，ex>1，即F′(x)=QUOTEex-1>0，即函數(shù)F(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，所以F(x)≥F(0)=0，所以-m+3>0，即m<3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，3).答案：(-∞，3)2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1，a∈R.(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE內(nèi)是削減的，求a的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax+1，Δ=4(a2-3).當(dāng)Δ>0，即a>QUOTE或a<-QUOTE時(shí)，令f′(x)>0，即3x2+2ax+1>0，解得x>QUOTE或x<QUOTE；令f′(x)<0，即3x2+2ax+1<0，解得QUOTE<x<QUOTE.故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是QUOTE，QUOTE；遞減區(qū)間是QUOTE.當(dāng)Δ<0，即-QUOTE<a<QUOTE時(shí)，對(duì)全部的x∈R都有f′(x)>0，故f(x)在R上單調(diào)遞增.當(dāng)Δ=0，即a=±QUOTE時(shí)，f′QUOTE=0，且對(duì)全部的x≠-QUOTE都有f′(x)>0，故f(x)在R上是增函數(shù).(2)由(1)知只有當(dāng)a>QUOTE或a<-QUOTE時(shí)，f(x)在QUOTE內(nèi)是削減的，所以QUOTE解得a≥2.故a的取值范圍是[2，+∞).【加練·固】已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.(1)試探討函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)g(x)=QUOTE+f(x)在[1，2]上是削減的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=2x+QUOTE=QUOTE，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，f(x)的遞增區(qū)間為(0，+∞)；②當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)=QUOTE，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如表：x(0，QUOTE)(QUOTE，+∞)f′(x)-0+f(x)↘↗由上表可知，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(0，QUOTE)，遞增區(qū)間是(QUOTE，+∞).(2)由g(x)=QUOTE+x2+2alnx，得g′(x)=-QUOTE+2x+QUOTE，由已知