《2.6.2 圓與圓的位置關(guān)系》知識清單

《2.6.2圓與圓的位置關(guān)系》知識清單圓與圓的位置關(guān)系知識清單一、咱們?yōu)樯兑芯繄A與圓的位置關(guān)系呢？就像在生活中，我們會看到很多圓形的東西相互之間有不同的關(guān)系。比如說，游樂場里的摩天輪和旋轉(zhuǎn)木馬，它們就像是兩個圓，有時候離得遠(yuǎn)，有時候離得近，這就是不同的位置關(guān)系呢。在數(shù)學(xué)里研究這個呀，能幫我們解決好多實(shí)際問題，比如建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造之類的。二、圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？1、相離外離：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部。就像兩個不相關(guān)的呼啦圈，各自玩各自的，誰也不碰誰。設(shè)兩圓的圓心距為\（d\），兩圓半徑分別為\（r_1\）和\（r_2\）（＼（r_1\neqr_2\）），當(dāng)\（d＞r_1＋r_2\）時，兩圓外離。內(nèi)含：一個圓在另一個圓的內(nèi)部，并且兩圓沒有公共點(diǎn)。這就好比小的呼啦圈在大的呼啦圈里面，而且它們之間還有空隙。當(dāng)\（d＜＼vertr_1r_2\vert\）時，兩圓內(nèi)含（這里要注意\（r_1\neqr_2\），如果\（r_1＝r_2\）且\（d＝0\），那就是兩個重合的圓啦，這種情況比較特殊哦）。2、相切外切：兩個圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)外，一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部。就像兩個相切的硬幣，只有邊緣的一個點(diǎn)挨在一起。當(dāng)\（d=r_1＋r_2\）時，兩圓外切。內(nèi)切：兩個圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)外，一個圓在另一個圓的內(nèi)部。這就像是一個小盤子放在大盤子里，剛好邊緣有一個點(diǎn)重合。當(dāng)\（d=＼vertr_1r_2\vert\）時，兩圓內(nèi)切。3、相交：兩個圓有兩個公共點(diǎn)。這就像兩個有部分重疊的披薩，中間有一塊是共同的部分。當(dāng)\（＼vertr_1r_2\vert<d<r_1＋r_2\）時，兩圓相交。三、怎么判斷圓與圓的位置關(guān)系呢？1、幾何法首先，我們要知道兩圓的圓心坐標(biāo)\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），然后計(jì)算圓心距\（d=＼sqrt{（x_2x_1)＾2+（y_2y_1)＾2}＼）。然后再根據(jù)前面說的\（d\）與\（r_1\）、＼（r_2\）的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系。比如說，有兩個圓，圓\（C_1\）的圓心坐標(biāo)是\（（1,2)＼），半徑\（r_1＝3\），圓\（C_2\）的圓心坐標(biāo)是\（（4,6)＼），半徑\（r_2＝2\）。那我們先計(jì)算圓心距\（d=＼sqrt{（41)＾2+（62)＾2}＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。因?yàn)閈（r_1+r_2=3＋2=5\），所以這兩個圓是外切的關(guān)系。2、代數(shù)法把兩個圓的方程聯(lián)立起來。設(shè)圓\（C_1\）：＼（（xa_1)＾2+（yb_1)＾2=r_1^2\），圓\（C_2\）：＼（（xa_2)＾2+（yb_2)＾2=r_2^2\）。將兩圓方程相減，得到一個二元一次方程。然后通過這個方程的解的情況來判斷兩圓的位置關(guān)系。如果這個方程有兩組不同的解，那兩圓相交；如果只有一組解，兩圓相切；如果沒有解，兩圓相離或者內(nèi)含。四、兩圓位置關(guān)系中的一些特殊情況1、公切線的條數(shù)當(dāng)兩圓外離時，有四條公切線。就像兩個離得遠(yuǎn)遠(yuǎn)的呼啦圈，從外面可以畫四條線把它們連起來，而且這些線都和兩個圓相切。當(dāng)兩圓外切時，有三條公切線。那兩個相切的硬幣，除了切點(diǎn)那條公切線，外面還可以畫兩條公切線。當(dāng)兩圓相交時，有兩條公切線。就像兩個有部分重疊的披薩，從它們相交的部分外面可以畫兩條公切線。當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有一條公切線。小盤子放在大盤子里，只有邊緣相切的那一條公切線。當(dāng)兩圓內(nèi)含時，沒有公切線。因?yàn)橐粋€圓在另一個圓里面，根本找不到同時和兩個圓相切的線。2、圓心距與公切線的關(guān)系公切線的長度也和圓心距有關(guān)系哦。比如對于外切的兩個圓，公切線的長度可以通過直角三角形的關(guān)系來計(jì)算。設(shè)兩圓半徑為\（r_1\）和\（r_2\），圓心距為\（d\），外切時公切線長\（l=＼sqrt{d^2-（r_1r_2)＾2}＼）（這里是外切情況的公式哦）。五、圓與圓位置關(guān)系在實(shí)際中的應(yīng)用1、工程制圖在工程制圖里，經(jīng)常會遇到一些零件是圓形或者有圓形的部分。比如說機(jī)械零件里的齒輪，有時候會有多個齒輪相互配合。這些齒輪就可以看作是一個個的圓，它們之間的位置關(guān)系必須精確設(shè)計(jì)，不然齒輪就不能很好地運(yùn)轉(zhuǎn)。如果兩個齒輪的圓心距計(jì)算錯誤，可能會導(dǎo)致齒輪無法咬合或者磨損嚴(yán)重。就像我有一次看到一個小的機(jī)械模型，里面的齒輪裝配得不好，轉(zhuǎn)起來磕磕巴巴的，后來發(fā)現(xiàn)就是因?yàn)樵O(shè)計(jì)的時候沒有準(zhǔn)確考慮齒輪（圓）之間的位置關(guān)系。2、城市規(guī)劃在城市規(guī)劃中，圓形的建筑或者區(qū)域之間也存在位置關(guān)系。比如公園里的圓形花壇和圓形的噴泉池。如果要在它們之間修建小路或者布置景觀燈，就需要考慮它們的位置關(guān)系。要是兩個圓形區(qū)域相交，那在相交的部分布置景觀可能會有獨(dú)特的效果；如果是相離，那就要考慮怎樣讓連接它們的小路設(shè)計(jì)得更美觀合理。六、習(xí)題1、已知圓\（C_1\）：＼（（x2)＾2+（y＋3)＾2＝4\），圓\（C_2\）：＼（（x＋1)＾2+（y1)＾2＝9\），判斷兩圓的位置關(guān)系。2、兩圓\（x^2+y^22x+4y20＝0\）和\（x^2+y^2+4x8y16＝0\），求它們的圓心距以及公切線的條數(shù)。3、一個圓的圓心在\（（3,2)＼），半徑為\（5\），另一個圓的圓心在\（（1,4)＼），半徑為\（3\），求兩圓的位置關(guān)系以及公切線的長度（如果有公切線的話）。七、習(xí)題答案1、對于圓\（C_1\），圓心坐標(biāo)\（（2,－3)＼），半徑\（r_1＝2\）；圓\（C_2\），圓心坐標(biāo)\（（1,1)＼），半徑\（r_2＝3\）。計(jì)算圓心距\（d=＼sqrt{（12)＾2+（1＋3)＾2}＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。因?yàn)閈（r_1+r_2=2＋3=5\），所以兩圓外切。2、先把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。圓\（x^2+y^22x+4y20＝0\）可化為\（（x1)＾2+（y＋2)＾2＝25\），圓心坐標(biāo)\（（1,－2)＼），半徑\（r_1＝5\）。圓\（x^2+y^2+4x8y16＝0\）可化為\（（x＋2)＾2+（y4)＾2＝36\），圓心坐標(biāo)\（（2,4)＼），半徑\（r_2＝6\）。計(jì)算圓心距\（d=＼sqrt{（21)＾2+（4＋2)＾2}＝＼sqrt{9＋36}＝＼sqrt{45}＝3\sqrt{5}＼）。因?yàn)閈（＼vertr_1r_2\vert=＼vert56\vert＝1\），＼（r_1+r_2=5＋6＝11\），＼（1<3\sqrt{5}＜11\），所以兩圓相交，公切線有兩條。3、已知圓\（C_1\）圓心\（（3,－2)＼），半徑\（r_1＝5\）；圓\（C_2\）圓心\（（1,4)＼），半徑\（r_2＝3\）。計(jì)算圓心距\（d=＼sqrt{（13)＾2+（4＋2)＾2}＝＼sqrt{16＋36}＝＼sqrt{52}＝2\sqrt{13}＼）。因?yàn)閈（r_1+r_2=5＋3＝8\），＼（＼vert