《6.2.1向量基本定理》導(dǎo)學(xué)案

《6.2.1向量基本定理》導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、咱得知道向量基本定理是啥玩意兒，就像你知道你家小區(qū)門口有個超市一樣熟悉。能夠清楚地說出這個定理的內(nèi)容，還能把這個定理里涉及到的那些向量關(guān)系搞明白。2、學(xué)會怎么用向量基本定理去表示其他向量，這就好比你學(xué)會用鑰匙開你家的門一樣，要熟練掌握這個技能哦。3、能夠在一些具體的數(shù)學(xué)問題里，比如說給你幾個向量，你能根據(jù)向量基本定理來分析和解決問題，就像你在生活中解決遇到的小麻煩一樣。二、知識回顧咱們先想想以前學(xué)過的向量知識。1、向量是啥呢？它既有大小又有方向。就像你走路，你朝哪個方向走，走了多遠(yuǎn)，這就可以用向量來表示。比如說你從家去學(xué)校，這個過程就可以看作是一個向量，家是起點，學(xué)校是終點，你走的路線就是向量的方向，從家到學(xué)校的距離就是向量的大小。2、那向量的加法和減法大家還記得不？向量加法就像是兩個人一起拉一個東西，力量合起來了。向量減法呢，就好像一個人比另一個人多出來的那部分力量。三、新課學(xué)習(xí)（一）向量基本定理的內(nèi)容1、先給大家講個事兒啊。我有一次在公園里看到一群小朋友在玩一個游戲。他們把很多小木棍擺成不同的形狀，然后規(guī)定了一個方向是正方向。這就有點像向量的概念呢。在數(shù)學(xué)里啊，向量基本定理是這樣的：如果兩個向量e1，e2不共線，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1+λ2e2。這就好比在那個游戲里，每個形狀都可以用特定數(shù)量的某種小木棍（e1和e2就像特定的小木棍）按照一定的規(guī)則（λ1和λ2就是規(guī)則）組合起來。2、這里有幾個重點要注意哦。首先，e1和e2不共線這個條件很重要，就像那兩種小木棍得是不同方向的，要是共線了，那就不能表示平面內(nèi)所有的向量啦。比如說，如果兩根小木棍是平行放著的，那很多其他方向的形狀就沒法用這兩根小木棍組合表示了。其次，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，這個唯一性也很關(guān)鍵。就像每個形狀用那兩種小木棍組合的時候，只能有一種組合方式才能得到這個形狀，不能有兩種不同的組合得到一模一樣的形狀。（二）向量基本定理的理解1、咱們來做個小討論。想象一下，咱們現(xiàn)在是一群小螞蟻，e1和e2是我們找到的兩種特殊的路徑，這兩種路徑方向不一樣，而平面內(nèi)的任何一個地方（用向量a表示）我們小螞蟻都可以通過先走一定倍數(shù)（λ1）的e1路徑，再走一定倍數(shù)（λ2）的e2路徑到達(dá)。大家討論一下，怎么才能更好地理解這個定理呢？可以結(jié)合我們剛剛說的小螞蟻的例子哦。2、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：啟發(fā)性問題：如果有一個向量a特別長，那λ1和λ2可能會是什么樣的情況呢？如果e1和e2之間的夾角特別小，對λ1和λ2又會有什么影響呢？提示：可以從向量的大小和方向的改變?nèi)ニ伎歼@些問題哦。（三）用向量基本定理表示向量1、咱們來看個例子啊。已知向量e1＝（1,0)，e2＝（0,1)，向量a＝（3,4)。那根據(jù)向量基本定理，我們要找到λ1和λ2，使得a＝λ1e1+λ2e2。那其實就是解方程組，因為e1＝（1,0)，e2＝（0,1)，所以a＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)＝（λ1,0)＋（0,λ2)＝（λ1,λ2)。那這樣就得到λ1＝3，λ2＝4啦。2、再給大家一個練習(xí)。已知向量e1＝（2,1)，e2＝（1,3)，向量a＝（5,7)，大家試著用向量基本定理求出λ1和λ2的值。四、難點突破（一）確定基底向量1、在向量基本定理里，e1和e2這兩個向量是很關(guān)鍵的，我們把它們叫做基底向量。那怎么確定合適的基底向量呢？這就像你要蓋房子，得選合適的磚頭一樣。比如說在一個平行四邊形里，如果我們知道了相鄰兩邊的向量，那這兩個向量就可以作為基底向量來表示這個平行四邊形里的任何向量。2、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：啟發(fā)性問題：如果給你一個三角形，你怎么選擇基底向量呢？如果向量都在一條直線上，還能按照向量基本定理找基底向量嗎？提示：可以從三角形的邊或者角的關(guān)系去思考選擇基底向量的方法，而如果向量都在一條直線上，那就不符合向量基本定理里e1和e2不共線的條件啦，所以不能按照這個定理找基底向量。（二）共線向量與向量基本定理的關(guān)系1、大家要注意啊，當(dāng)向量a與e1或者e2共線的時候，這個情況有點特殊。比如說，如果a與e1共線，那λ2就等于0啦，就好像小螞蟻只沿著e1這一種特殊路徑走，不需要走e2路徑了。2、咱們來做個小測試。已知向量e1＝（3,2)，向量a＝（6,4)，判斷a和e1的關(guān)系，并且根據(jù)向量基本定理分析一下。五、練習(xí)題（一）基礎(chǔ)練習(xí)1、已知向量e1＝（1,2)，e2＝（2,1)，向量a＝（5,3)，求滿足a＝λ1e1+λ2e2的λ1和λ2的值。2、判斷對錯：如果e1和e2共線，那么對于平面內(nèi)任意向量a，也能用a＝λ1e1+λ2e2表示。（）3、若向量e1＝（1,0)，e2＝（0,1)，向量a＝（2,3)，則λ1＝，λ2＝。（二）提升練習(xí)1、在三角形ABC中，向量AB＝（2,3)，向量AC＝（1,1)，設(shè)向量AD是角A的平分線向量，用向量AB和向量AC作為基底向量表示向量AD。2、已知向量e1，e2不共線，且3λ1e1+（10λ2)e2＝4λ1e1+2λ2e2，求λ1和λ2的值。（三）拓展練習(xí)1、設(shè)向量e1，e2是平面內(nèi)一組基底向量，已知向量AB＝e1ke2，向量CB＝2e1+e2，向量CD＝3e1e2，若A，B，D三點共線，求k的值。2、給定一個平面向量場，向量a(x,y)＝（x＋y,xy)，能否找到兩個基底向量e1和e2，使得對于平面內(nèi)任意點(x,y)對應(yīng)的向量a都能用e1和e2表示？如果能，找出這兩個基底向量；如果不能，說明理由。六、答案以及解析（一）基礎(chǔ)練習(xí)1、解：因為a＝λ1e1+λ2e2，即(5,3)＝λ1(1,2)＋λ2(2,1)＝（λ1＋2λ2,2λ1λ2)。則得到方程組：λ1+2λ2＝5，2λ1λ2＝3。由2λ1λ2＝3可得λ2＝2λ13，代入λ1+2λ2＝5中，得到λ1+2(2λ13)＝5，展開得到λ1＋4λ16＝5，5λ1＝11，λ1＝11/5。把λ1＝11/5代入λ2＝2λ13，得到λ2＝2×（11/5)－3＝22/515/5＝7/5。2、答案：錯。解析：因為向量基本定理要求e1和e2不共線，如果e1和e2共線，就不能表示平面內(nèi)所有向量了。3、解：因為a＝λ1e1+λ2e2，即(2,3)＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)＝（λ1,λ2)。所以λ1＝2，λ2＝3。（二）提升練習(xí)1、解：設(shè)向量AD＝λAB+（1λ)AC（因為AD在角A的平分線上，根據(jù)角平分線的向量性質(zhì)可以這樣設(shè)）。則AD＝λ(2,3)＋（1λ)（1,1)＝（2λ+（1λ)，3λ+（1＋λ)）＝（λ＋1,4λ1)。2、解：因為3λ1e1+（10λ2)e2＝4λ1e1+2λ2e2，移項得到3λ1e14λ1e1+（10λ2)e22λ2e2＝0，即λ1e1+（103λ2)e2＝0。因為e1，e2不共線，所以λ1＝0且103λ2＝0。解得λ1＝0，λ2＝10/3。（三）拓展練習(xí)1、解：因為BD＝CDCB＝（3e1e2)（2e1+e2)＝e12e2。又因為A，B，D三點共線，所以AB與BD共線。則存在實數(shù)μ，使得AB＝μBD，即e1ke2＝μ(e12e2)。所以1＝μ，k=－2μ，解得k＝2。2、解：設(shè)e1=（a,b)，e2=（c,d)。對于任意(x,y)，（x＋y,xy)＝λ1(a,b)＋λ2(c,d)＝（λ1a+λ2c,λ1b+λ2d)。則得到方程組：x＋y＝λ1a+λ2c，xy＝λ1b+λ2d。這個方程組對于任意的x,y都要成立。如果我們令a＝1,b