2017年鎮(zhèn)海中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷1

5/72017年鎮(zhèn)海中學(xué)數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（1）姓名___＿_(dá)__填空題已知函數(shù)，則____________．A,B兩點(diǎn)分別在拋物線和上，則的取值范圍是__＿_(dá)＿_(dá)___＿＿_(dá).若，則的最大值為＿_(dá)___＿_(dá)_＿_(dá)__.已知△ABC等腰直角三角形,其中∠C為直角，ＡC=ＢC=1，過點(diǎn)B作平面ＡBC的垂線DB,使得ＤB=１,在DA、DC上分別取點(diǎn)Ｅ、F，則△BEF周長的最小值為_＿_(dá)_____＿_(dá)＿＿．已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立,則正實(shí)數(shù)x的取值范圍為_＿_(dá)___＿_(dá)__＿_(dá).已知向量滿足，且，若為的夾角，則的值為_＿＿_(dá)____＿_(dá)__.現(xiàn)有一個(gè)能容納10個(gè)半徑為1的小球的封閉的正四面體容器，則該容器棱長最小值為___＿_(dá)＿_(dá)____＿.將10個(gè)小球（5個(gè)黑球和5個(gè)白球）排場一行,從左邊第一個(gè)小球開始向右數(shù)小球,無論數(shù)幾個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為_＿_(dá)___＿＿_(dá)＿＿_(dá)．解答題(本小題滿分14分)在△ＡBC中，內(nèi)角A，B,Ｃ對(duì)邊的邊長分別是a，b,c,向量，向量，且滿足.(Ⅰ)求△ABC的內(nèi)角C的值；（Ⅱ)若c=2，２ｓin2Ａ+siｎ(2B+Ｃ）=sｉnＣ,求△ＡBC的面積.(本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：．（1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;（２)若,且數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為，求證:.(本小題滿分1４分）設(shè).(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ)若對(duì)一切恒成立,求a的取值范圍；（Ⅱ)求證:．(本小題滿分15分)設(shè)正數(shù)ｘ,y滿足,求使恒成立的實(shí)數(shù)的最大值.（本小題滿分１5分)已知橢圓及點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線ｌ與橢圓Ｃ交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作Ｃ的切線交于點(diǎn)Ｑ.求點(diǎn)Q的軌跡方程;求△ＡBQ的面積的最小值.2０17年高中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（１)答案【解析】.【解析】由于,則只需要考慮的范圍.故的取值范圍為.【解析】【解析】由題意可知，,且∠BDA與∠CDＡ之和為.如圖，將側(cè)面ＢＤA和側(cè)面CＤＢ分別折起至面和，且與側(cè)面ADC位于同一個(gè)平面上.則△BＥF周長的最小值即面上兩點(diǎn)之間的線段長．由前面的分析可知,,由余弦定理可得,所以,△BEF周長的最小值為.【解析】為奇函數(shù)且為增函數(shù)等價(jià)于即即對(duì)任意的成立即,所以，即0<x＜２【解析】由得所以，又,所以，又，所以ｋ=2，所以的值為．【解析】這10個(gè)小球成棱錐形來放,第一層1個(gè),第2層3個(gè),第3層6個(gè),即每一條棱是3個(gè)小球，于是正四面體的一條棱長就應(yīng)該是4倍的小球的半徑加上２倍的球心到四面體頂點(diǎn)的距離到棱長上的射影的長度，又球心到頂點(diǎn)的距離為３,正四面體的高和棱所成角的余弦值為，故容器棱長的最小值為.【解析】法1：如果只有2個(gè)小球(1黑1白),則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為；如果只有4個(gè)小球(2黑2白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為;如果只有6個(gè)小球(3黑3白）,則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為；以此類推，可知將１0個(gè)小球（5個(gè)黑球和5個(gè)白球)排成一行,從左邊第一個(gè)小球開始向右數(shù)小球.無論數(shù)幾個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為;法２:直接從10個(gè)小球入手分類討論.【解析】(Ⅰ)由題意,所以,.由正弦定理，可得.整理得.由余弦定理可得,,又，所以，……6分(Ⅱ)由可得,．整理得，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.所以△ＡBC的面積為當(dāng)時(shí)，上式即為，有正弦定理可得ｂ=2a，又,解之得，，,所以△ＡBC的面積為.綜上所述,△ABC的面積為.?……14分【解析】(1）由已知得,，因?yàn)?所以,兩邊取對(duì)數(shù)得，即，故為以lｇ３為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，即. ……5分法１:由兩邊取倒數(shù)得,所以，即, ……10分故，故.?……14分法2:,則.【解析】（Ⅰ)，令，則，由得x>0．所以h(ｘ）在上單調(diào)遞增，ｈ(x)在(-1,0）單調(diào)遞減.所以，由此得：.又x＝-１時(shí),即為,此時(shí)a取任意值都成立.綜上得:． ……8分(Ⅱ）.由(Ⅰ）知,當(dāng)ａ=1時(shí)對(duì)一切恒成立，即（ｘ=0時(shí)取等號(hào)).取，得.即證得：．?……14分１2【解析】由正數(shù)x，y滿足，知.令.不等式等價(jià)于,等價(jià)于，等價(jià)于等價(jià)于.因?yàn)?等號(hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以,實(shí)數(shù)的最大值為.?……15分【解析】(1)設(shè),則過Q，有;……①，有,……②故直線過點(diǎn)，