2017年鎮(zhèn)海中學(xué)高中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷1

5/72017年鎮(zhèn)海中學(xué)數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（1）姓名___＿_(dá)__填空題已知函數(shù)，則____________．A,B兩點分別在拋物線和上，則的取值范圍是__＿_(dá)＿_(dá)___＿＿_(dá).若，則的最大值為＿_(dá)___＿_(dá)_＿_(dá)__.已知△ABC等腰直角三角形,其中∠C為直角，ＡC=ＢC=1，過點B作平面ＡBC的垂線DB,使得ＤB=１,在DA、DC上分別取點Ｅ、F，則△BEF周長的最小值為_＿_(dá)_____＿_(dá)＿＿．已知函數(shù)，對任意的，恒成立,則正實數(shù)x的取值范圍為_＿_(dá)___＿_(dá)__＿_(dá).已知向量滿足，且，若為的夾角，則的值為_＿＿_(dá)____＿_(dá)__.現(xiàn)有一個能容納10個半徑為1的小球的封閉的正四面體容器，則該容器棱長最小值為___＿_(dá)＿_(dá)____＿.將10個小球（5個黑球和5個白球）排場一行,從左邊第一個小球開始向右數(shù)小球,無論數(shù)幾個小球，黑球的個數(shù)總不少于白球個數(shù)的概率為_＿_(dá)___＿＿_(dá)＿＿_(dá)．解答題(本小題滿分14分)在△ＡBC中，內(nèi)角A，B,Ｃ對邊的邊長分別是a，b,c,向量，向量，且滿足.(Ⅰ)求△ABC的內(nèi)角C的值；（Ⅱ)若c=2，２ｓin2Ａ+siｎ(2B+Ｃ）=sｉnＣ,求△ＡBC的面積.(本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：．（1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;（２)若,且數(shù)列的前ｎ項和為，求證:.(本小題滿分1４分）設(shè).(e是自然對數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ)若對一切恒成立,求a的取值范圍；（Ⅱ)求證:．(本小題滿分15分)設(shè)正數(shù)ｘ,y滿足,求使恒成立的實數(shù)的最大值.（本小題滿分１5分)已知橢圓及點，過點P作直線ｌ與橢圓Ｃ交于A、B兩點，過A、B兩點分別作Ｃ的切線交于點Ｑ.求點Q的軌跡方程;求△ＡBQ的面積的最小值.2０17年高中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（１)答案【解析】.【解析】由于,則只需要考慮的范圍.故的取值范圍為.【解析】【解析】由題意可知，,且∠BDA與∠CDＡ之和為.如圖，將側(cè)面ＢＤA和側(cè)面CＤＢ分別折起至面和，且與側(cè)面ADC位于同一個平面上.則△BＥF周長的最小值即面上兩點之間的線段長．由前面的分析可知,,由余弦定理可得,所以,△BEF周長的最小值為.【解析】為奇函數(shù)且為增函數(shù)等價于即即對任意的成立即,所以，即0<x＜２【解析】由得所以，又,所以，又，所以ｋ=2，所以的值為．【解析】這10個小球成棱錐形來放,第一層1個,第2層3個,第3層6個,即每一條棱是3個小球，于是正四面體的一條棱長就應(yīng)該是4倍的小球的半徑加上２倍的球心到四面體頂點的距離到棱長上的射影的長度，又球心到頂點的距離為３,正四面體的高和棱所成角的余弦值為，故容器棱長的最小值為.【解析】法1：如果只有2個小球(1黑1白),則黑球的個數(shù)總不少于白球個數(shù)的概率為；如果只有4個小球(2黑2白），則黑球的個數(shù)總不少于白球個數(shù)的概率為;如果只有6個小球(3黑3白）,則黑球的個數(shù)總不少于白球個數(shù)的概率為；以此類推，可知將１0個小球（5個黑球和5個白球)排成一行,從左邊第一個小球開始向右數(shù)小球.無論數(shù)幾個小球，黑球的個數(shù)總不少于白球個數(shù)的概率為;法２:直接從10個小球入手分類討論.【解析】(Ⅰ)由題意,所以,.由正弦定理，可得.整理得.由余弦定理可得,,又，所以，……6分(Ⅱ)由可得,．整理得，.當(dāng)時，，此時，.所以△ＡBC的面積為當(dāng)時，上式即為，有正弦定理可得ｂ=2a，又,解之得，，,所以△ＡBC的面積為.綜上所述,△ABC的面積為.?……14分【解析】(1）由已知得,，因為,所以,兩邊取對數(shù)得，即，故為以lｇ３為首項，2為公比的等比數(shù)列，即，即. ……5分法１:由兩邊取倒數(shù)得,所以，即, ……10分故，故.?……14分法2:,則.【解析】（Ⅰ)，令，則，由得x>0．所以h(ｘ）在上單調(diào)遞增，ｈ(x)在(-1,0）單調(diào)遞減.所以，由此得：.又x＝-１時,即為,此時a取任意值都成立.綜上得:． ……8分(Ⅱ）.由(Ⅰ）知,當(dāng)ａ=1時對一切恒成立，即（ｘ=0時取等號).取，得.即證得：．?……14分１2【解析】由正數(shù)x，y滿足，知.令.不等式等價于,等價于，等價于等價于.因為,等號僅當(dāng)，即時成立，所以,實數(shù)的最大值為.?……15分【解析】(1)設(shè),則過Q，有;……①，有,……②故直線過點，