浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期寧波三鋒教研聯(lián)盟期中聯(lián)考科高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B.1 C.1或3 D.3【答案】D【解析】【分析】利用集合相等求解.【詳解】解：因集合，，且，所以，解得，故選：D2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由偶函數(shù)定義知，僅A,C為偶函數(shù)，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，故選A．考點(diǎn)：本題主要考查奇函數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性、冪函數(shù)的性質(zhì)．點(diǎn)評：函數(shù)奇偶性判定問題，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．3.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即得.【詳解】，反之當(dāng)時(shí)，取，不等式無意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即得.詳解】，，所以.故選：D5.下面不等式成立的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】舉例說明判斷AC；利用不等式的性質(zhì)推理判斷BD.【詳解】對于A，取，滿足，，而，A錯(cuò)誤；對于B，由，得，則，B正確；對于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，則，而，于是，，D錯(cuò)誤.故選：B6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，，，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)的圖象變換確定函數(shù)的對稱性，再借助單調(diào)性判斷即得.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位得函數(shù)的圖象，由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除AB；由，，，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除D，C符合.故選：C7.已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分別確定每段的最小值，再根據(jù)給定最小值建立不等式，求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，為增函數(shù)，所以，所以需滿足，解得，與矛盾，故不合題意；當(dāng)時(shí)，由對勾函數(shù)性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，又的最小值為，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B8.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號成立，所以的取值范圍為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.命題“，”，的否定是“，”B.與是同一個(gè)函數(shù)C.不等式的解集為D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)存在命題的否定判斷A，根據(jù)定義域不同判斷B，根據(jù)特殊值判斷C，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷D.【詳解】由存在量詞命題的否定知，，，的否定是，，故A正確；由知的定義域?yàn)?，由或知定義域?yàn)椋院瘮?shù)不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闀r(shí)，分母為0，故不等式的解集不是，故C錯(cuò)誤；由不等式的性質(zhì)，，又，所以，故D正確.故選：AD10.下列說法中正確的有（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)镃.不等式的解集為D.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱【答案】BD【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷A；由函數(shù)的定義域的定義可判斷B；對討論，分，可判斷C；由函數(shù)的圖象平移可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)的定義域是，可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故B正確；對于C，不等式，當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為，故C錯(cuò)誤;對于D，的圖象可由向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，可得關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，若，恒成立，則（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是增函數(shù)C.，是真命題 D.m可以為0【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對于A，，，函數(shù)是奇函數(shù)，A正確；對于B，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)是增函數(shù)，B正確；對于C，，，因此，，是真命題，C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，，解得，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及奇偶性的函數(shù)不等式，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”求解.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】(或1,+∞也正確)【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接得出單調(diào)區(qū)間.【詳解】,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：(或1,+∞也正確)13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，則_____.【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)求出，再利用奇函數(shù)的定義求出.【詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，而當(dāng)時(shí)，，則，所以.故答案：14.實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】由條件分離出，代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，利用對數(shù)運(yùn)算后由基本不等式求最值.【詳解】由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于怎樣建立已知條件與待求式之間的聯(lián)系，通過類似消元的思想，利用對數(shù)運(yùn)算與性質(zhì)得出，再由均值不等式得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.函數(shù)的定義域?yàn)榧希?（1）求，.（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)定義域化簡集合，解不等式化簡集合，再利用補(bǔ)集、交集定義求解即得.（2）由（1）的信息，利用并集的結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解.【小問1詳解】由，得，解得，則，，由，得，則，所以，.【小問2詳解】由，得，而，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.已知函數(shù)（1）若不等式的解集為，求a，b的值（2）若方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集可知對應(yīng)一元二次方程的根，由根與系數(shù)列方程求解；（2）由題意判別式為0，得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解.【小問1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以方程的兩根為，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得或.【小問2詳解】因?yàn)榉匠虄H有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，即，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.17.文化自信，服裝先行，近年來漢服文化成為了一種時(shí)尚的潮流，“漢服熱”的本質(zhì)是對中華民族傳統(tǒng)文化的自覺、自知、自信.內(nèi)育文化強(qiáng)底氣，外引項(xiàng)目強(qiáng)經(jīng)濟(jì)，漢服體驗(yàn)項(xiàng)目的盛行也帶動(dòng)了文化古鎮(zhèn)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.近30天，某文化古鎮(zhèn)的一漢服體驗(yàn)店，漢服的日租賃量P（件）與日租賃價(jià)格W（元/件）都是時(shí)間t（天）的函數(shù)，其中，.每件漢服的日綜合成本為20元.（1）寫出該店日租賃利潤Y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；（2）求該店日租賃利潤Y的最大值.（注：租賃利潤＝租賃收入－租賃成本）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）按照“租賃利潤＝租賃收入－租賃成本”可以寫出利潤Y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；（2）應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)與對勾函數(shù)性質(zhì)分段求出最大值，再比較兩值大小即可得到利潤Y的最大值.【小問1詳解】解：依題意可知，，即【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng),，即時(shí)等號成立，而，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，該店日租賃利潤Y的最大值為.18.已知函數(shù).（1）用定義進(jìn)行證明函數(shù)在的單調(diào)性.（2）已知函數(shù)，若對任意的，，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；（2）由題意，轉(zhuǎn)化為，對二次函數(shù)分類討論求最小值，建立不等式得解.【小問1詳解】設(shè)任意的，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以，函?shù)在0,+∞的單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，由，知對稱軸方程為，①當(dāng)時(shí)，，解得，又，故無解；②當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以；③當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.已知雙曲函數(shù)，.（1）證明：（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明），并解關(guān)于x的不等式.（3）若，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）單調(diào)遞增，；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式.（3）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，換元并借助對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可.【