2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級（上）月考數(shù)學試卷（9月份）（五四學制）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級（上）月考數(shù)學試卷（9月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x+3y=?1 B.x2+5x?6=0 C.x22.拋物線y=2(x?3)2+5的頂點坐標是A.(?3,5) B.(3,5) C.(?3,?5) D.(3,?5)3.將拋物線y=x2向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是(

)A.y=(x?3)2+4 B.y=(x+3)2+44.紅樹林是一種寶貴的濕地資源.全國紅樹林的面積在2023年達到2.9萬公頃，預計到2025年全國紅樹林面積將達到3.6萬公頃，設平均每年的增長率為x，可列方程得(

)A.2.9(1+x)2=3.6 B.3.6(1+x)2=2.95.若關于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是A.k>?1 B.k>?1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠06.學校要組織一場籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，即每兩隊之間比賽一場，計劃安排15場比賽，應邀請多少個隊參加比賽？設應邀請x個球隊參加比賽，下列算式正確的是(

)A.x(x+1)=15 B.x(x?1)=15 C.12x(x+1)=15 7.對于拋物線y=?13(x?5)A.開口向下，頂點坐標(5,3) B.開口向上，頂點坐標(5,3)

C.開口向下，頂點坐標(?5,3) D.開口向上，頂點坐標(?5,3)8.一個三角形的兩邊長為3和6，第三邊的邊長是方程(x?3)(x?4)=0的根，則這個三角形的周長(

)A.13 B.11或13 C.11 D.11和129.如圖，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=6cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，△PBQ的最大面積是(

)A.18cm2 B.12cm2 C.10.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(4,0)，其對稱軸為直線x=1，結合圖象給出下列結論：①abc<0；②b2?4ac>0；③2a+b=0；A.1個

B.2個

C.3個

D.4個二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。11.已知二次函數(shù)y=3x2，則其圖象的開口向______.(填“上”或“下”)12.方程x2=x的解是______．13.若x=?1是關于x的一元二次方程x2?2x+m=0的一個根，則m的值為______．14.直角三角形兩條直角邊長分別為x+1，x+3，斜邊長為2x，那么x=______．15.方程x2?2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為

．16.對于實數(shù)a，b定義運算“?”為a?b=b2?ab，例如：3?2=則關于x的方程(k?3)?x=k?1的根的情況是______．17.如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m.若水面再上升1.5m，則水面的寬度為______m.18.某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=?x2+4x19.如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度?(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關系：?=?5t2+20t，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間t=______s.

20.如圖，坐標平面上，二次函數(shù)y=?x2+4x?k的圖形與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，其頂點為D，且k>0，若△ABC與△ABD的面積比為1：4，則k三、解答題：本題共7小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題7分)

定義：若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們就稱這兩個方程為“同伴方程”.例如：x2=9和(x?2)(x+3)=0有且只有一個相同的實數(shù)根x=?3，所以這兩個方程為“同伴方程”.根據(jù)所學定義，判斷下列兩個一元二次方程是否屬于“同伴方程”.(寫出過程)

(1)(x?1)2=16；22.(本小題7分)

如圖，一名男生推鉛球(鉛球行進路線呈拋物線形狀)，測得鉛球出手點P距地面53m，鉛球行進路線距出手點P水平距離4m處達到最高，最高點距地面3m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y=a(x??)2+k，其中x(m)是鉛球行進路線的水平距離，y(m)是鉛球行進路線距地面的高度．

(1)23.(本小題8分)

閱讀材料：

材料1：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關系：x1+x2=?ba，x1?x2=ca．

材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵m，n是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根，

∴m+n=1，mn=?1，

則m2n+mn224.(本小題8分)

二次函數(shù)的解析式為y=?x2+(m?1)x+m．

(1)求證：無論m取何值，拋物線總與x軸有交點；

(2)當m=3時，

①求拋物線與x軸的兩個交點的坐標；

②當函數(shù)值大于0時，請直接寫出25.(本小題10分)

把邊長為44cm的正方形硬紙板(如圖1)，在四個頂點處分別剪掉一個小正方形，折成一個長方體形的無蓋盒子(如圖2)，折紙厚度忽略不計．

(1)要使折成的盒子的底面積為576cm2，剪掉的正方形邊長應是多少厘米？

(2)折成的長方體盒子側面積(四個側面的面積之和)有沒有最大值？如果沒有，說明理由：如果有，求出這個最大值，并求出此時剪掉的正方形邊長．

26.(本小題10分)

如圖，拋物線y=?14x2+4與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，點P是射線BA上的一個動點，過點P作PB′⊥x軸交射線BC于點B′，設點P的橫坐標為x，△BPB′與△ABC重疊部分的面積為S．

(1)判斷△ABC的形狀，并證明；

(2)求S關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x27.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A(?1,0)、B(4,0)、C三點，且OB=OC，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P在直線BC下方，P運動到什么位置時，四邊形PBOC面積最大？求出此時點P的坐標和四邊形PBOC的最大面積；

(3)直線BC上是否存在一點Q，使得以點A、B、P、Q組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.D

7.A

8.A

9.C

10.C

11.上

12.x1=0，13.?3

14.5

15.1

16.有兩個不相等的實數(shù)根

17.2

18.4

19.2

20.4521.解：(1)(x?1)2=16，

x?1=±4，

x1=5，x2=?3；

(2)(x?5)(x+1)=0，

x1=5，x222.解：(1)由題意，P(0,53)，頂點坐標為(4,3)，代入y=a(x??)2+k，

∴?=4，k=3，16a+3=53．

∴a=?112．

∴拋物線的表達式為y=?112(x?4)2+3．

(2)23.?32

24.(1)證明：令y=0，得到?x2+(m?1)x+m=0，

∵a=?1，b=m?1，c=m，

∴b2?4ac=(m?1)2+4m=(m+1)2，

又(m+1)2≥0，即b2?4ac≥0，

∴方程y=?x2+(m?1)x+m有實數(shù)根，

x?2?101234y?503430?5描點；

畫圖如下：

．

由函數(shù)圖象知，拋物線與x軸的兩個交點的坐標為：(?1,0)，(3,0)；

②由圖象可得：當y>0時，x的取值范圍為?1<x<3．

25.解：(1)設剪掉的正方形的邊長為x?cm．

則(44?2x)2=576，

即22?x=±12，

解得x1=34(不合題意，舍去)，x2=10，

∴剪掉的正方形的邊長為10cm；

(2)側面積有最大值．

設剪掉的小正方形的邊長為a?cm，盒子的側面積為ycm2，

則y與a的函數(shù)關系為：y=4(44?2a)a，

即y=?8a2+176a，

即y=?8(a?11)26.解：(1)△ABC為等腰直角三角形；

理由如下：

當y=0時，?14x2+4=0，解得x1=?4，x2=4，

∴A(?4,0)，B(4,0)，

當x=0時，y=?14x2+4=4，則C(0,4)，

∴OA=OB=OC，

∴△AOC和△BOC都為等腰直角三角形，

∴∠CAO=∠CBO=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形；

(2)設直線BC的解析式為y=kx+b，

把C(0,4)，B(4,0)分別代入得b=44k+b=0，

解得k=?1b=4，

∴直線BC的解析式為y=?x+4，

同理可得AC的解析式為y=x+4，

設P(x,0)，

當0≤x≤4時，如圖1，

OP=x，PB=4?x，

∵PB′⊥x軸，

∴△PBB′為等腰直角三角形，

S=S△BPB′=12?27.解：(1)∵B(4,0)，且OB=OC，

∴C(0,?4)，

設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，把A(?1,0)、B(4,0)、C(0,?4)代入得：

a?b+c=016a+4b+c=0c=?4，

解得a=1b=?3c=?4，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2?3x?4；

(2)∵點P在拋物線上，

∴可設P(t,t2?3t?4)，

過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖：

∵B(4,0)，C(0,?4)，

∴直線BC解析式為y=x?4，S△BOC=12OB?OC=12×4×4=8，

∴F(t,t?4)，當S△PBC最大時，四邊形PBOC的面積最大，

∴PF=(t?4)?(t2?3t?4)=?t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S