2024-2025學(xué)年上海市寶山中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市寶山中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在以下四個(gè)圖中，直線a與直線b平行的位置關(guān)系只能是(

)A. B.

C. D.2.已知△ABC的直觀圖是直角邊長為a的等腰直角三角形△A1B1C1,∠BA.24a2 B.223.已知直線l、m和平面α、β，下列命題中的真命題是(

)A.若m⊥l，l//α，則m⊥α B.若l//α，α⊥β，則l⊥β

C.若l⊥α，α//β，則l⊥β D.若l⊥α，m⊥β，則l//m4.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有(

)A.3個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.用集合符號表述語句“平面α經(jīng)過直線l”：______．6.若圓柱底面半徑為2，高為3，則其側(cè)面積為______．7.已知直線a⊥c，b⊥c，則直線a與直線b的位置關(guān)系有______種(填數(shù)字)．8.若正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為9.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為3，且弧長為2π的扇形，則該圓錐的體積等于______．10.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=3cm11.下來命題中，真命題的編號為______．

(1)若直線l與平面M斜交，則M內(nèi)不存在與l垂直的直線；

(2)若直線l⊥平面M，則M內(nèi)不存在與l不垂直的直線；

(3)若直線l與平面M斜交，則M內(nèi)不存在與l平行的直線；

(4)若直線l//平面M，則M內(nèi)不存在與l不平行的直線．12.在正方體ABCD?A1B1C13.已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=60°，△ABC所在平面α外一點(diǎn)P到此三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是6，則點(diǎn)P到平面α的距離是______．14.在一個(gè)長方體的三條棱長分別為3、8、9，若在該長方體上面鉆一個(gè)圓柱形的孔后其表面積沒有變化，則圓孔的半徑為______．15.點(diǎn)A是二面角α?l?β內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥α于B，AC⊥β于C，設(shè)AB=3，AC=2，∠BAC=60°，則點(diǎn)A到棱l的距離是______．16.兩個(gè)邊長為2的正方形ABCD和ADEF各與對方所在平面垂直，M、N分別是對角線AE、BD上的點(diǎn)，且EM=DN，則M、N兩點(diǎn)間的最短距離為______．

三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，AA1=3．

(1)求四棱錐A118.(本小題14分)

如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，

(1)求證：B1D1//平面19.(本小題16分)

如圖(圖中單位：cm)是一種鑄鐵機(jī)器零件，零件下部是實(shí)心的直六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)面是全等的矩形)，上部是實(shí)心的圓柱．

(1)已知鐵的密度為7.86g/cm3，求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵？(結(jié)果精確到0.1g)；

(2)要給一批共5000個(gè)零件鍍鋅，若電鍍這批零件每平方厘米要用鋅0.11g，求需要用鋅的總量(結(jié)果精確到0.01g)20.(本小題16分)

如圖，三棱錐P?ABC中，側(cè)面PAB⊥底面ABC，PA=PB，底面ABC是斜邊為AB的直角三角形，且∠ABC=30°，記O為AB的中點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)．

(1)求證：PC⊥AE；

(2)若AB=2，直線PC與底面ABC所成角的大小為60°，求二面角P?AC?B的大小．21.(本小題18分)

如圖，現(xiàn)將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，

(1)若∠OAB=π6，斜邊AB=2，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=90°，D是AC的中點(diǎn)，求：直線BD與平面BOC所成的角的大小(用反三角函數(shù)表示)；

(2)若圓錐底面的半徑為10，母線長為60，求底面圓周上一點(diǎn)P沿側(cè)面繞兩周回到點(diǎn)P的最短距離；

(3)若圓錐的母線長為4，S為圓錐的側(cè)面積，V為體積，求VS取得最大值時(shí)圓錐的體積

參考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.l?α

6.12π

7.3

8.29.210.3211.(2)(3)

12.arccos113.3314.3

15.216.217.解：(1)∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，AA1=3，

∴易得A1B1⊥平面BCC1B1，

∴四棱錐A1?B1BCC1的體積為VA1?B1BCC1=13A1B1?SB1BCC1=13×1×2×3=218.證明：(1)因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1為正四棱柱，

所以BB1/?/DD1，且BB1=DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，

所以BD/?/B1D1，又BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，

所以B1D1/?/平面A1BD．

(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以BD⊥AC，

又ABCD?A19.解：(1)根據(jù)已知圖中的幾何體的尺寸可得：

圓柱體積為V1=π×32×25=225πcm3，

六棱柱體積為V2=6×34×122×5=10803cm3，

所以零件的體積為V=V1+V2=225π+10803≈2577.5c20.解：(1)證明：連接PO，∵PA=PB，∴PO⊥AB，

側(cè)面PAB垂直于底面ABC，PO?平面PAB，平面PAB∩平面ABC=AB，

∴PO⊥底面ABC，AE?底面ABC，∴PO⊥AE，

又∵△ABC是斜邊為AB的直角三角形，且∠ABC=30°，∴AC=12AB，

又∵O為AB的中點(diǎn)，∴CO=AO=12AB，∴△AOC為等邊三角形，

又E為OC的中點(diǎn)，∴AE⊥OC，

∵PO⊥AE，AE⊥OC，PO∩OC=O，PO，OC?平面POC，

∴AE⊥平面POC，又PC?平面POC，

∴PC⊥AE；

(2)由(1)知PO⊥底面ABC，OC，OA?平面ABC，

∴直線PC與底面ABC所成角為∠PCO，PO⊥OC，PO⊥OA，

∵直線PC與底面ABC所成角的大小為60°，∠PCO=60°，

∵AB=2，所以O(shè)C=OA=1=AC，在Rt△POC中，PO=tan60°=3，

∴PA=PC=2，

取AC中點(diǎn)F，連接OF，PF，

∵OC=OA，PC=PA，∴OF⊥AC，PF⊥AC，

又∵OF?平面ABC，PF?平面PAC，平面ABC∩平面PAC=AC，

∴∠PFO(銳角)為二面角P?AC?B的平面角，

由題意PF=PC2?AF2=22?(21.解：將Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，

(1)作出D在底面的投影E，連接BE，顯然E為OC中點(diǎn)，

則直線BD與平面BOC所成的角為∠DBE，

由題意可知AO=3=2DE,OB=1=2OE，BE=OB2+OE2=52，

所以tan∠DBE=DEBE=155，

所以∠DBE=arctan155；

(2)沿AP將圓