2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題意）1.若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（）A. B. C. D.2.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）4.已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.5.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.6.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（）A. B. C.4 D.27.已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，8.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全部選對(duì)得6分．若正確選項(xiàng)有2個(gè)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分；選有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.直線恒過(guò)定點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為10.已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與圓相切時(shí)，B.的最大值為C.圓心到直線的距離最大為4D.最大值為511.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.異面直線與所成角的取值范圍是C.平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是D.直線與平面所成角正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.兩條平行直線與之間的距離為_(kāi)_________．13.已知O坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則最小值為_(kāi)_____．14.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知，，，且為圓內(nèi)接三角形，則的歐拉線方程為_(kāi)_______.四、解答題（本大題共5題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l：與圓相交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的值；（3）過(guò)點(diǎn)引圓的切線，求切線的方程.16.已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）求的值；（3）求的外接圓方程．17.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，，垂足為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．（3）設(shè)CG與平面AEF所成角為，求的范圍.19.已知圓與直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為.（1）求的值；（2）求的面積；（3）若圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上異于的任意一點(diǎn)，直線、分別交于兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題意）1.若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知先求出直線的斜率，進(jìn)而可求直線的傾斜角．【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率，故直線的傾斜角為．故選：B．2.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.【詳解】.故選：B.3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A.（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）【正確答案】C【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：C4.已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫(xiě)出答案．【詳解】解：記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．5.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.6.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（）A. B. C.4 D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.7.已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【正確答案】C【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】由，可知，，且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：又因?yàn)楸硎景雸A上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，又因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，?dāng)動(dòng)點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，故選：C．8.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以．因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)椋缘淖钚≈禐椋蔬x：C．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全部選對(duì)得6分．若正確選項(xiàng)有2個(gè)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分；選有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.直線恒過(guò)定點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為【正確答案】AC【分析】求出直線斜率范圍，進(jìn)而求出傾斜角范圍判斷A；根據(jù)兩條直線垂直求出a的值，進(jìn)而可判斷B；將直線方程進(jìn)行重新整理，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解可判斷C；需注意截距相等還包括都為0的情況可判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率，則，，故A正確；對(duì)于B，直線與直線互相平行，則，解得：，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線與直線互相平行，故“”是“直線與直線互相平行”的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn),故C正確;對(duì)于D項(xiàng)，因過(guò)點(diǎn)且在軸?軸上的截距相等的直線還有，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與圓相切時(shí)，B.的最大值為C.圓心到直線的距離最大為4D.的最大值為5【正確答案】AB【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.直線，即，過(guò)定點(diǎn)，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為2，即，解得，所以A選項(xiàng)正確.如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.又，是圓上的點(diǎn)，所以的最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.異面直線與所成角的取值范圍是C.平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用線面平行的判定定理，得出平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于B，利用異面直線所成角的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于CD，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出平面與平面所成角的余弦值和直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，，平面，平面，平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，平面，，，此時(shí)，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，，則，A1,0,0，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，則，即，令，則，則得，面與平面所成夾角為，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是，故C正確；對(duì)于D，則，，，，，，設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，即，令，則，得，所以直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.兩條平行直線與之間的距離為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】根據(jù)兩直線平行可求得，由平行直線間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，即，之間的距離.故答案為.13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則最小值為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】由已知設(shè)，，，求出向量，的坐標(biāo)，代入空間向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到滿足條件的的值，進(jìn)而得到最小值．【詳解】，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，又向量，，，，，，，則易得當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故14.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知，，，且為圓內(nèi)接三角形，則的歐拉線方程為_(kāi)_______.【正確答案】##【分析】首先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出、，從而得到圓心坐標(biāo)即的外心坐標(biāo)，再確定的重心坐標(biāo)，即可得解.【詳解】依題意，解得，所以圓，即，故圓心坐標(biāo)為，即的外心坐標(biāo)為，又的重心坐標(biāo)為，又點(diǎn)、均在直線上，所以歐拉線方程為.故四、解答題（本大題共5題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l：與圓相交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的值；（3）過(guò)點(diǎn)引圓的切線，求切線的方程.【正確答案】（1）（2）（3）和【分析】（1）求出圓心和半徑，寫(xiě)出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而求出弦長(zhǎng).（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，根據(jù)，求出斜率，寫(xiě)出方程.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，所以.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，為過(guò)點(diǎn)的圓C的切線.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，解得綜上所述：切線的方程為和.16.已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求直線方程；（2）求的值；（3）求外接圓方程．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，即可求出實(shí)數(shù)的值.（3）分別求得邊的垂直平分線方程，求得外接圓圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求得半徑即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因?yàn)?，所以直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在軸上．所以設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，所以，得，即，又點(diǎn)在直線上，所以，解得．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)橹本€的方程為，邊上的中線所在的直線方程為，所以聯(lián)立，解得：，所以，又因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段垂直平分線方程為，即，同理可得線段的垂直平分線方程為，由得，，所以的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，所以的外接圓方程為．17.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，，垂足為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由直線的方向向量與平面的法向量垂直及線面平行的條件得證；（2）由空間向量法求線面角；（3）由空間向量法求二面角．【小問(wèn)1詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得，令，得.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則.因?yàn)椋?即，解得，所以.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令，得.因?yàn)椋?所以平面與平面夾角為.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，設(shè)點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由．（3）設(shè)CG與平面AEF所成角為，求的范圍.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）直線在平面內(nèi)，理由見(jiàn)解析（3）【分析】（1）由⊥平面可得，結(jié)合利用線面垂直判定定理可證；（2）由代入坐標(biāo)建立方程組，由方程組有解可得直線在平面內(nèi)；（3）由點(diǎn)G是線段PB上的一點(diǎn)．設(shè)，進(jìn)而得坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，由向量方法表示出，再利用換元法求函數(shù)值域可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椤推矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】在底面中，過(guò)作，交于，由題