專題07三角形中的組合圖形問題（第一篇）（原卷版）

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第一篇三角函數(shù)與解三角形專題07三角形中的組合圖形問題類型對應(yīng)典例以兩個三角形組合考查解三角形問題典例1以兩個三角形組合的考查解三角形的開放性問題典例2以梯形為背景考查解三角形典例3以平面四邊形為背景考查解三角形的最值問題典例4以半圓和四邊形組合而成考查解三角形典例5以三角形嵌套三角形為背景考查解三角形典例6以五邊形為背景考查解三角形典例7【典例1】【2020屆安徽省池州市高三上學期期末考試】如圖所示，在中，的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如圖，設(shè)D為AC邊上一點，，求的面積.【思路引導】（1）通過正弦定理邊化角，整理化簡得到的值，再利用余弦定理，求出，根據(jù)正弦定理，求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，即，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形面積【典例2】【山東省日照市20192020學年高三下學期1月校際聯(lián)考】在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【思路引導】選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長；選擇②：在，中，分別運用正弦定理，可以求接求出的長；【典例3】【河北省唐山市2019屆高三上學期期末考試】如圖，在梯形中，，為上一點，，.（1）若，求；（2）設(shè)，若，求.【思路引導】(1)先由題中條件求出，再由余弦定理即可求解；(2)先由，表示出，進而可用表示出，，再由，即可求解.【典例4】【廣東省2019屆高三上學期期末聯(lián)考】如圖，在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求的大小；（2）若，點、在的異側(cè)，，，求平面四邊形面積的最大值.【思路引導】(1)由正弦定理將化為，再由兩角和的正弦公式化簡，即可求出結(jié)果；(2)先由余弦定理求出的長，將平面四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩三角形與面積之和，即可求解.【典例5】【2020屆重慶市高三11月調(diào)研測試卷】如圖，半圓O的直徑，點C，P均在半圓周上運動，點P位于C，B兩點之間，且.（1）當時，求的面積.（2）求四邊形ABPC的面積的最大值.【思路引導】（1）根據(jù)已知條件求出，再利用面積公式即可；（2）將四邊形拆成三個三角形，將面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求再求最值.【典例6】【2019屆河北省衡水中學高三上學期三調(diào)考】如圖所示，正三角形的邊長為2，分別在三邊和上，為的中點，．（Ⅰ）當時，求的大??；（Ⅱ）求的面積的最小值及使得取最小值時的值．【思路引導】第一問，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用兩角和的正弦公式展開，解出，利用特殊角的三角函數(shù)值求角；第二問，將第一問得到的和代入到三角形面積公式中，利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達式，利用正弦函數(shù)的有界性確定的最小值．【典例7】【陜西省2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學】某市規(guī)劃一個平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車賽道，，，，，為賽道（不考慮寬度），為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道，，，.（1）求服務(wù)通道的長度；（2）當時，賽道的長度？【思路引導】（1）連接，在中，由余弦定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合可得，再由勾股定理可得結(jié)果；（2）在中，，，，直接利用正弦定理定理可得結(jié)果.【針對訓練】1.【2020年陜西省高三教學質(zhì)量檢測卷（一)】如圖，在中，，，，，D在邊上，連接.（1）求角B的大??；（2）求的面積.2.【天一大聯(lián)考皖豫聯(lián)盟20192020學年高中畢業(yè)班第二次考試】如圖所示，在平面四邊形中，.（1）若，，求的長；（2）若，，求的面積.3.【2020屆江西省南昌市第十中學高三上學期期末】在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足.（1）求的值.（2）如圖，點D在線段AC上，且，若，求面積的最大值.4.【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020屆高三上學期三校聯(lián)考】如圖，在四邊形中，,平分,，,的面積為，為銳角.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.5.【2020屆山東省濰坊市高三上學期期末考試】在①;②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題.在中，角的對邊分別為，已知，.(1)求;(2)如圖，為邊上一點，，求的面積6.【2020屆廣東省韶關(guān)市高三上學期期末調(diào)研】如圖，在平面四邊形中，，設(shè).（1）若，求的值；（2）用表示四邊形的面積，并求的最大值.7.【湖北省宜昌市20192020學年高三期末數(shù)學】已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求；（2）在中，，為邊的中點，為邊上一點，且，，求的面積.8.【內(nèi)蒙古呼和浩特市20192020學年高三上學期質(zhì)量普查調(diào)研】（1）當時，求證：；（2）如圖，圓內(nèi)接四邊形的四個內(nèi)角分別為、、、.若，，，.求的值.9.【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試】如圖所示，銳角中，，點在線段上，且，的面積為，延長至，使得.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.10.【北京市房山區(qū)20192020學年高三上學期期末】如圖，在平面四邊形中，，，，，.（1）求的值；（2）求，的值.11.【2020屆福建省龍巖市高三上學期期末教學質(zhì)