重難點(diǎn)突破03立體幾何中的截面問題（八大題型）

重難點(diǎn)突破03立體幾何中的截面問題目錄解決立體幾何截面問題的解題策略．1、坐標(biāo)法所謂坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，為解決立體幾何問題增添了一種代數(shù)計(jì)算方法．2、基底法所謂基底法是不需要建立空間直角坐標(biāo)系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其理論依據(jù)是：若四點(diǎn)E、F、G、H共面，為空間任意點(diǎn)，則有：結(jié)論1：若與不共線，那么；結(jié)論2：．3、幾何法從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過三點(diǎn)的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明．題型一：截面作圖例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為6，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.作出過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；【解析】如圖所示，五邊形即為所求截面.作法如下：連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，所以五邊形即為所求截面.例2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面與平面的距離.【解析】（1）連接，由正方體性質(zhì)可得，；又，所以平面平面；因?yàn)?/平面，且，所以平面與平面重合，即平面就是截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面.（2）由（1）可知平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意可得，所以的面積為；的面積為；由可得，解得.所以平面與平面的距離為.例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）如圖，棱長為2的正方體中，，是棱，的中點(diǎn)，在圖中畫出過底面中的心且與平面平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊形的周長為：______；（2）作出平面與四棱錐的截面，截面多邊形的邊數(shù)為______．【解析】(1)分別取，為棱，的中點(diǎn)，則由中位線性質(zhì)得到：，所以四邊形為平面四邊形，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，由，平面，平面，所以平面，同理平面，，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四邊形即為所求截面，且為梯形，由截面作法可知，所以截面四邊形的周長為.（2）延長的延長線于，連接的延長線于連接于，連接，則五邊形即為所求.所以截面多邊形的邊數(shù)為五.變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖①，正方體的棱長為，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)、、的平面截該正方體所得的截面記為.

（1）若，請(qǐng)?jiān)趫D①中作出截面（保留尺規(guī)作圖痕跡）；（2）若（如圖②），試求截面將正方體分割所成的上半部分的體積與下半部分的體積之比.【解析】（1）延長交延長線于點(diǎn)，此時(shí)，延長交于點(diǎn)延長交延長線于點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)，連接此時(shí)五邊形就是截面（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，再由，可知，的延長線交于點(diǎn)，此時(shí)截面為四邊形因此變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)證明：.(3)在圖中作出平面截正方體所得的截面圖形(如需用到其它點(diǎn)，需用字母標(biāo)記并說明位置)，并說明理由.【解析】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，（2）證明：在正方體中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.（3）如圖取的中點(diǎn)，連接、，則為平面截正方體所得的截面，證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)所以且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點(diǎn)共面，即為平面截正方體所得的截面；變式3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方體是棱長為1的正方體，M是棱的中點(diǎn)，過C、、M三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積．【解析】連接，并延長，交延長線于連交于，連接MP，則為過C、、M三點(diǎn)的正方體的截面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以可得，所以三角形是以為腰，以為底的等腰三角形，邊上的高為，三角形是的面積所以題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）

①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，截面交于，則界面為等腰梯形，故②正確；對(duì)①當(dāng)時(shí)，即移動(dòng)到位置時(shí)，截面交線段于，所以截面為四邊形，故①正確；對(duì)③，當(dāng)時(shí)，在的位置，截面交的延長線于，延長交在的延長線于點(diǎn)，則，由，則，，又有，所以，又，所以，故③正確；對(duì)④，，點(diǎn)移動(dòng)到位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；共個(gè)正確，故選：C例5．（2023·四川成都·高二雙流中學(xué)?？计谥校┮阎襟w的棱長為,為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體的截面記為，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)且時(shí)，為等腰梯形；②當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為；③當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為，滿足；④當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，為五邊形.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①，當(dāng)，即重合，且時(shí)，如下圖所示，過作，交于，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以，所以四點(diǎn)共面，在等腰直角三角形中，根據(jù)平行線分線段成比例的知識(shí)可知，所以，即截面為等腰梯形，①正確.②，當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，過作，垂足為，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，即平面.所以，②正確.③，當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，由于平面平面，平面，平面，所以，同理可證得，，設(shè)，則，由，得，即，所以，同理，所以，解得.即，③錯(cuò)誤.④，當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，重合，如下圖所示，截面是四邊形，④錯(cuò)誤.所以正確的有個(gè).故選：B例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖正方體，棱長為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，如下圖1，是四邊形，故A正確；當(dāng)時(shí)，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當(dāng)時(shí)，如下圖3，是五邊形，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，Q與重合，取的中點(diǎn)F，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.故選：C變式4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則由點(diǎn)、、確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于．

【答案】【解析】因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，設(shè)直線分別交、的延長線于點(diǎn)、，連接交棱于點(diǎn)，連接交棱于點(diǎn)，連接、，則截面為六邊形，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，則，所以，，則為的中點(diǎn)，同理可知，為的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長為的正六邊形，所以，截面面積為.故答案為：.變式5．（2023·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）在一次通用技術(shù)實(shí)踐課上，木工小組需要將正方體木塊截去一角，要求截面經(jīng)過面對(duì)角線上的點(diǎn)（如圖），且與平面平行，已知，，則截面面積等于.【答案】【解析】如圖，連接交于點(diǎn)，連接、.因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，故截面平行于平?過點(diǎn)作與平行的直線分別交、于點(diǎn)、，在上取點(diǎn)使.，，，.因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，又因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，易得，故，因?yàn)?，易知是邊長為的等邊三角形，所以，，因此，.故答案為：.變式6．（2023·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長是，其中是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則過點(diǎn)的截面面積是．【答案】【解析】在上取使，連接并延長與的延長線交于點(diǎn)，連交于，連接，由正方體的性質(zhì)可知，則五邊形即為過點(diǎn)的截面，由題可得，，在中，，由余弦定理得，所以，所以平行四邊形的面積為，又由，所以，所以截面的面積為.故答案為：.變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的側(cè)棱長為2，，，過，的中點(diǎn)，作平面與平面垂直，則所得截面周長為．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，連接，并延長與交于，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接、，可得，，，即有，又，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，平面，由面面垂直的判定定理，可得平面平面，則平面即為平面，由，，，，，可得所得截面周長為．故答案為：．變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的平面截正方體的截面周長為．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)為，連接，在正方形中，因?yàn)?、分別為所在棱的中點(diǎn)，故，而，，故，，故四邊形為平行四邊形，故在正方形中，因?yàn)?、分別為所在棱的中點(diǎn)，故，故四邊形為平行四邊形，故故，故四邊形為平行四邊形，故四點(diǎn)共面，故過，，三點(diǎn)的平面截正方體的截面為平行四邊形.又，故截面的周長為，故答案為：.變式9．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體，中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則過點(diǎn)C且與垂直的平面被正方體截得的截面周長為．【答案】/【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)O，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為，由可得，所以，又因?yàn)?，所以，在四邊形中，，其中，所以，即，所以是截面?nèi)的一條線，同理是截面內(nèi)的一條線，所以過點(diǎn)C且與垂直的平面被正方體截得的截面為，因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以截面的周長為，故答案為：題型三：截面切割幾何體的體積問題例7．（2023·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）在棱長為a的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體積較小的多面體的體積為.【答案】【解析】如圖，依次連接，四邊形即為所求截面，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為棱、的中點(diǎn)，所以∥，可知為三棱臺(tái)，所以，其體積，且正方體的體積為，則另一部分的體積為，因?yàn)?，所以體積較小的多面體的體積為.故答案為：.例8．（2023·遼寧錦州·校考一模）在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，過作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，則的最大值是.【答案】2【解析】記正四棱錐的體積為，的最大值，由為定值知，只需求的最小值，設(shè)過的截面分別交和于，平面與平面的交線為與相交于，如圖，則，令，則，即有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以的最大值是2.故答案為：2例9．（2023·浙江·高二競賽）在正四棱錐中，M在棱上且滿足.過作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為，，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)過AM的平面交SB,SD于G,P，將平面MGAP延伸，交BC,CD于E，F(xiàn)，則A，E，F(xiàn)共線.設(shè)，，又，而，由于，，，.故答案為：.變式10．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，正方體，中，E?F分別是棱AB?BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)?E?F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為，記，則.【答案】【解析】延長交的延長線與點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接：延長交的延長線與點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接：所以過的截面為，如下圖示：設(shè)正方體的棱長為，則過的截面下方幾何體的體積為，所以另一部分體積為，則.故答案為：變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，用截面截下一個(gè)三棱錐，則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.【答案】【解析】設(shè)，，，所以長方體體積三棱錐的體積，∴剩余部分的體積∴三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.故答案為：.變式12．（2023·貴州貴陽·貴陽六中?？家荒＃┰谌庵?，底面，，點(diǎn)P是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為.【答案】或【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，所以平面，不妨設(shè)，則，，，，故上面一部分的體積為，則，所以兩部分的體積比為或.故答案為：或.變式13．（2023·廣東揭陽·高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體中，E?F分別是棱?的中點(diǎn)，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比.【答案】【解析】設(shè)正方體的棱長為，體積為，則，因?yàn)镋是棱的中點(diǎn)，所以，，..故答案為：題型四：球與截面問題例10．（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)處，球的半徑，要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點(diǎn)，連接，則，所以，此時(shí)截面圓的半徑，此時(shí)，截面面積的最小值.故選：C.例11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在矩形中，，將沿對(duì)角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，過作，垂足為，連接.因?yàn)槿切螢橹苯侨切?，故，同理，故，所以為三棱錐的外接球的球心，而，因?yàn)椋矫?，平面平面，平面平面，故平面，而平面，?在直角三角形中，，故，故，在直角三角形中，，故，故.設(shè)球心到以為直徑的截面的距離為，則，故選：B.例12．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【解析】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為球心到截面的距離為，則，因?yàn)榍虻捏w積為,所以，因?yàn)榻孛鎴A的面積為，所以，故，所以，所以球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為，故最大距離為3.故選：B.變式14．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎襟w的棱長為，為棱上的一點(diǎn)，且滿足平面平面，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正方體中，設(shè)平面平面，且平面，由平面平面，可得，所以是的中點(diǎn)，又四面體的外接球的直徑為，可得半徑，設(shè)是的中點(diǎn)即球心，球心到平面的距離為，又設(shè)與的交點(diǎn)為，則，則，則，則截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A．變式15．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖：是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑.由勾股定理得棱錐的高設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，即與重合，所以當(dāng)過點(diǎn)E作球O的截面垂直于時(shí)，截面面積最小，此時(shí)截面半徑為，截面面積為.故選：A.變式16．（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知半徑為4的球，被兩個(gè)平面截得圓，記兩圓的公共弦為，且，若二面角的大小為，則四面體的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的中點(diǎn)為，連接，依題意，可得如下圖形，由圓的性質(zhì)可知，則即為二面角的平面角，故，四面體的體積為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由球的截面性質(zhì)，，，所以四點(diǎn)共圓，則有外接圓直徑，從而，.故選：C變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知球和正四面體，點(diǎn)在球面上，底面過球心，棱分別交球面于，若球的半徑，則所得多面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正四面體，棱長為，如圖所示：設(shè)外接球的球心為，半徑為，所以，解得，由于，所以，在中，過O作AB垂線OH，由面積可得，則，利用勾股定理：，即：，,多面體的體積為.故選：D.變式18．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為,由題意可知，解得，，所以球的體積為.故選：D.題型五：截面圖形的個(gè)數(shù)問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過正四面體的頂點(diǎn)P作平面，若與直線，，所成角都相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如圖，將正四面體看成四棱柱的左下角一部分，由正四面體可知，平面與直線，，所成角都相等，故過點(diǎn)P做平面平面，則此時(shí)的平面與直線，，所成角都相等，因?yàn)?，則與平面所成的角相等，又因，所以直線，，與平面所成的角相等，故過點(diǎn)P做平面平面，則此時(shí)的平面與直線，，所成角都相等，同理，直線，，與平面、平面所成角都相等，即平面平面時(shí)，平面與直線，，所成角都相等，平面平面時(shí)，平面與直線，，所成角都相等，綜上所述，這樣的平面的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選：B.例14．（2023·陜西榆林·陜西省榆林中學(xué)校考三模）過正方體的頂點(diǎn)作平面，使得正方體的各棱與平面所成的角都相等，則滿足條件的平面的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：直線AB、AD、AA1與平面A1BD所成角都相等，過頂點(diǎn)A作平面α∥平面A1BD，過頂點(diǎn)A分別作平面α與平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直線AB、AD、AA1與平面α所成的角都相等．法二：只要與體對(duì)角線垂直的平面都和正方體的所有棱所成的角相等，由此能求出結(jié)果．解法一：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱錐A﹣A1BD是正三棱錐，直線AB、AD、AA1與平面A1BD所成角都相等，過頂點(diǎn)A作平面α∥平面A1BD，則直線AB、AD、AA1與平面α所成角都相等，同理，過頂點(diǎn)A分別作平面α與平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直線AB、AD、AA1與平面α所成的角都相等，∴這樣的平面α可以作4個(gè)．故選：C解法二：只要與體對(duì)角線垂直的平面都和正方體的所有棱所成的角相等因?yàn)橛兴臈l體對(duì)角線，所以，可以做四個(gè)平面．故選：C例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面A．有無數(shù)多個(gè) B．恰有個(gè) C．只有個(gè) D．不存在【答案】A【解析】如圖由題知面與面相交，面與面相交，可設(shè)兩組相交平面的交線分別為，由決定的平面為，作與且與四條側(cè)棱相交，交點(diǎn)分別則由面面平行的性質(zhì)定理得：從而得截面必為平行四邊形．由于平面可以上下平移，可知滿足條件平面有無數(shù)多個(gè)．故本題答案選．變式19．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）過正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為，這樣的截面有（

）A．6個(gè) B．12個(gè) C．16個(gè) D．18個(gè)【答案】D【解析】如圖，在正四面體ABCD中，因?yàn)檫^點(diǎn)A的截面是等腰三角形，若，則截面與底面BCD所成的角為有如下情形，如圖所示：在高線的兩側(cè)的截面、截面與底面BCD所成的角為（，與BC平行），同理截面的一邊與CD平行也有2個(gè)，與BD平行也有2個(gè)，共有6個(gè)．若，同理也有6個(gè)；若，同理也有6個(gè)．綜上所述，滿足題意的截面共有18個(gè)，故選：D．變式20．（2023·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谥校┛臻g給定不共面的A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是___________個(gè)【答案】32【解析】首先取3個(gè)點(diǎn)相等，不相等的那個(gè)點(diǎn)由4種取法；然后分3分個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，有以下兩種可能性：（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個(gè)；（2）不同側(cè)，必然2個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，另一個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，1個(gè)點(diǎn)的取法有3種，并且平面過三角形兩個(gè)點(diǎn)邊上的中位線，考慮不相等的點(diǎn)與單側(cè)點(diǎn)是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個(gè)平面，故共有6個(gè)，所有這兩種情況共有8個(gè)，綜上滿足條件的這樣的平面共有個(gè)，故答案為：32題型六：平面截圓錐問題例16．（多選題）（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與和圓錐軸截面半頂角有如下關(guān)系；當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線.（如左圖）現(xiàn)有一定線段AB與平面夾角（如上右圖），B為斜足，上一動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)軌跡是，則（）A．當(dāng)，時(shí)，是橢圓 B．當(dāng)，時(shí)，是雙曲線C．當(dāng)，時(shí)，是拋物線 D．當(dāng)，時(shí)，是橢圓【答案】ACD【解析】∵AB為定線段，為定值，∴P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，其中圓錐的軸截面半頂角為，與圓錐軸AB的夾角為對(duì)于A，，∴平面截圓錐得橢圓，A正確；對(duì)于B，，是橢圓，B錯(cuò).對(duì)于C，，是拋物線，C正確.對(duì)于D，，是橢圓，D正確.故選：ACD.例17．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測(cè)）比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林(GerminalDandelin)發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同且不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓．這個(gè)結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個(gè)高為20，底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個(gè)球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切．若一個(gè)平面與兩個(gè)球均相切，則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個(gè)橢圓，則該橢圓的短軸長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由平面與圓柱所截可知橢圓的短軸即為圓柱底面直徑的長，即，故選：D例18．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃?如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，截面分別與球，球切于點(diǎn)，，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點(diǎn)分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段是橢圓長軸，橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，所以橢圓的離心率．故選：A.變式21．（2023·上海·高二專題練習(xí)）如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個(gè)半徑為的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球與相切與點(diǎn)，作出軸截面如下圖所示，由題意知：，，，，又，，，又，，橢圓的焦距為.故選：C.變式22．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且．那么，動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（

）

A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【答案】B【解析】連接.，則，又，，平面，則平面，又平面，則，則動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是以為直徑的圓（去掉兩個(gè)點(diǎn)）.故選：B變式23．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【解析】設(shè)在內(nèi)的射影為，到的距離為，以與的交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則到的距離為.過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，又在內(nèi)的射影為，則，連結(jié),又，，所以平面，又平面，所以，所以，所以則到的距離為,因?yàn)辄c(diǎn)到、距離相等，所以，即，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為雙曲線.故選：C.變式24．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知線段垂直于定圓所在的平面，是圓上的兩點(diǎn)，是點(diǎn)在上的射影，當(dāng)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡（

）A．是圓 B．是橢圓 C．是拋物線 D．不是平面圖形【答案】A【解析】設(shè)定圓圓心為，半徑為，連接，設(shè)直徑為，連接，平面，平面，；為直徑，，又，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，平面，，在中，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.故選：A.變式25．（2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┟缹W(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué).素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)索描的重要一步.某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是一個(gè)底角為60°的直角梯形，設(shè)圓柱半徑，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示．．從而．因此在橢圓中長軸長，所以短軸長，所以，，所以，則.故選：A．變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成角的大小為.若，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】D【解析】連接AC交BD于O，取中點(diǎn),連接以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A、OB、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：令正方體邊長為2，則，面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為則，故二面角的大小為又二面角的大小，則或由，，可得又整理得即，是雙曲線.故選：D變式27．（2023·四川廣安·高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓 B．橢圓的一部分 C．圓 D．不完整的圓【答案】D【解析】因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因?yàn)?，故可得，則，綜上所述：動(dòng)點(diǎn)在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行說明，在平面中，因?yàn)?，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：因?yàn)?，故可得，整理得：，故?dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；又當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，幾何體不是空間幾何體，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)不完整的圓.故選：.變式28．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面與該圓錐的底而所成的銳二面角為，則平面截該圓錐所得橢圓的離心率為．【答案】【解析】如圖1,不妨令正△ABC邊長為,重心G,橢圓中心N,中線BD,底面圓心M.PG與長軸垂直.則.，所以.所以，.PG為過G與底面平行的圓的半徑,如圖2在△AMC,作GE∥MC,由相似可得：,所以，所以.如圖3,即,代入方程得：,又,解得,所以，所以，所以離心率.故答案為：題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題例19．（2023·西藏林芝·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，，平面經(jīng)過的中點(diǎn)E，并且與BC垂直，當(dāng)α截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，取中點(diǎn)及靠近的四等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，由，所以，又是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以可知，同理可得，又，平面，平面，所以平面，所以平面即為平面，又因?yàn)?，所以，所以，所以截此三棱錐所得的截面面積為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，設(shè)外接球球心為，半徑為，，分別為，外接圓圓心，球心滿足面，面，又因?yàn)楹途鶠檫呴L為4的正三角形，所以，所以四邊形為正方形，且，又,所以，∴.故選：D.例20．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖的中心角為，則過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)底面圓的半徑為，，解得，由圓錐母線長為2，可得圓錐軸截面的頂角為，當(dāng)截面頂角為時(shí)，過圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大，此時(shí).故選：C.例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若球是正三棱錐的外接球，，點(diǎn)在線段上，，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，可得，，設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，即，解得，即，所以，因?yàn)樵谥?，，，所以，，，由題知，截面中面積最小時(shí)，截面圓與垂直，設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，則，所以，最小的截面面積為.故選：A變式29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，分別在線段上運(yùn)動(dòng)（端點(diǎn)除外），.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?，所以，即為球心，則球的半徑,又,所以,又平面平面，平面平面平面.所以平面，設(shè)，則,所以，所以三棱錐的體積.當(dāng)時(shí),取得最大值，由于，在中，由余弦定理得:根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)垂直于截面時(shí)，截面圓的面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為，所以.則截面面積的最小值為.故選:C.變式30．（2023·江西·高一寧岡中學(xué)?？计谀├忾L為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)，則經(jīng)過E，F(xiàn)球的截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球O半徑為R.因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以，.設(shè)G為AD中點(diǎn)，中點(diǎn)為P.由題，..延長FO與BC交于M，延長EO與交于N，由題可得N，M分別為，BC中點(diǎn).則，.經(jīng)過E，F(xiàn)球的截面面積的最小時(shí)，OP.因截面為圓面，則圓面對(duì)應(yīng)半徑.則此時(shí)截面面積為：.故選：C變式31．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接，，平面，平面，則，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，平面，所以平面，因此平面與平面重合或平行，取的中點(diǎn)，連接，則，，同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，與平面的交點(diǎn)是的中心，正方體棱長為，則，，所以，所以，由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當(dāng)平面從平面平移到平面時(shí)，，即，，，顯然，平面過平面再平移至平面時(shí)，如圖，把正方形沿旋轉(zhuǎn)到與正方形在同一平面內(nèi)，如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得，同理，，因此此種情形下，截面的周長與截面的周長相等，平移平面，一直到平面位置處，由正方體的對(duì)稱性，接著平移時(shí)，截面周長逐漸減少到，綜上，的值域是．故選：A.變式32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，給出下列命題：①四棱錐的體積恒為定值；②四邊形是平行四邊形；③當(dāng)截面四邊形的周長取得最小值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)至少有兩個(gè)；④直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線.其中真命題是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】①四棱錐的體積等于三棱錐的體積與三棱錐的體積之和,又長方體中，平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，則四棱錐的體積恒為定值.判斷正確；②由平面與棱交于點(diǎn)，可得平面平面，平面平面，又平面平面，則；又平面平面，平面平面，又平面平面，則，又，四邊形是平行四邊形.判斷正確；③由②可得，截面四邊形是平行四邊形.當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，四邊形的周長取得最小值.將側(cè)面與側(cè)面展開在同一平面，當(dāng)且僅當(dāng)E為直線與交點(diǎn)時(shí)的值最小，則當(dāng)截面四邊形的周長取得最小值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)僅有1個(gè).判斷錯(cuò)誤；④直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則、、三點(diǎn)均為平面與平面的公共點(diǎn)，由平面與平面有且僅有一條交線可得、、三點(diǎn)共線.判斷正確.故選：C變式33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正方體中作一截面與垂直，且和正方體所有面相交，如圖所示．記截面多邊形面積為，周長為，則（

）A．為定值，不為定值 B．不為定值，為定值C．和均為定值 D．和均不為定值【答案】B【解析】如圖，由正方體的性質(zhì)得平面，因?yàn)槠矫?，為正方形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，同理可證明，因?yàn)槠矫?，所以平面，同理可證明平面，所以，所求截面與平面和平面均平行，如圖中的六邊形，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，，，，，設(shè)，，則因?yàn)?，，所以，，因?yàn)樗?，同理，，，所以，截面多邊形的周長為為（為正方體邊長），故為定值；當(dāng)時(shí)，該截面多邊形由六邊形變?yōu)檎?/p>