廣東省佛山市順德區(qū)德勝學校2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題

廣東順德德勝學校20222023學年第一學期高二年級數(shù)學試卷一?單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在空間直角坐標系中，已知點，，則，兩點間的距離是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間兩點之間的距離公式:,將，兩點代入,即可求得,兩點間的距離.【詳解】，==故選:C.【點睛】本題考查的是兩點之間的距離,掌握兩點之間的距離公式是解本題的關鍵.2.過點，且與直線平行的直線方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，可設直線方程為，代入點，可得解【詳解】由題意，設直線方程為代入點可得故直線方程為：故選：A【點睛】本題考查了與已知直線平行的直線方程求解，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題3.已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C4.已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人的錄取結果相互之間沒有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可先求三人都沒有被錄取的概率，再由對立事件的概率求至少一個被錄取的概率.【詳解】因為甲，乙，丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結果相互之間沒有影響，所以他們?nèi)硕紱]有被錄取的概率為，故他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?故選:D5.以為頂點的三角形是（）A.銳角三角形 B.以為直角頂點的直角三角形C.以為直角頂點的直角三角形 D.鈍角三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的模的關系即可確定三角形的形狀.詳解】，，，，滿足,且，所以是以為直角頂點的直角三角形.故選：C6.從裝有大小和形狀完全相同的個紅球和個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，下列各對事件中，互斥而不對立的是（）A.“至少一個白球”和“都是紅球”B.“至少一個白球”和“至少一個紅球”C.“恰有一個白球”和“恰有一個紅球”D.“恰有一個白球”和“都是紅球”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念依次判斷各個選項即可得到結果.【詳解】A選項中“至少一個白球”和“都是紅球”二者是互斥事件，同時二者必發(fā)生其一，是對立事件，A錯誤；B選項中“至少一個白球”和“至少一個紅球”有可能都表示一個白球，一個紅球，不是互斥事件，B錯誤；C選項中“恰有一個白球”和“恰有一個紅球”有可能都表示一個白球，一個紅球，不是互斥事件，C錯誤；D選項中“恰有一個白球”和“都是紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，又由于兩個事件之外還有“都是白球”事件，故不是對立事件，D正確.故選：D.7.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D8.在正四面體中，點在線段上運動（不含端點）.設與平面所成角為，與平面所成角為，與平面所成角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，，，，，，然后算出，，即可.【詳解】不妨設，，，，，所以，所以所以設平面的法向量為則有，即，即所以可取所以，同理可得，因為，所以，故，故選：D二?多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則下列結論中正確的是（）A.的傾斜角等于 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.與直線平行【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意求出直線的方程，然后逐個分析判斷即可.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為，因為直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即對于A，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以A錯誤，對于B，當時，，得，所以直線在軸上的截距等于，所以B錯誤，對于C，因為直線的斜率為，且，所以直線與直線垂直，所以C正確，對于D，因為直線的斜率為，且在軸上的截距為，而直線的斜率為，且在軸上的截距為，所以直線與直線平行，所以D正確，故選：CD10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的是（）A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則B.直線l的方向向量，平面的法向量是，則C.兩個不同的平面的法向量分別是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件結合空間向量的平行和垂直，對各選項逐項判斷即可．【詳解】對于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，且，所以，選項A正確∶對于B，直線l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，選項B錯誤；對于C，兩個不同的平面的法向量分別是，且，所以，選項C正確；對于D，直線l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，選項D錯誤．故選∶AC11.某學校為調查學生迷戀電子游戲情況，設計如下調查方案，每個被調查者先投擲一枚骰子，若出現(xiàn)向上的點數(shù)為3的倍數(shù)，則如實回答問題“投擲點數(shù)是不是奇數(shù)?”，反之，如實回答問題“你是不是迷戀電子游戲?”．已知被調查的150名學生中，共有30人回答“是”，則下列結論正確的是（）A.這150名學生中，約有50人回答問題“投擲點數(shù)是不是奇數(shù)?”B這150名學生中，必有5人迷戀電子游戲C.該校約有5%的學生迷戀電子游戲D.該校約有2%的學生迷戀電子游戲【答案】AC【解析】【分析】先由題意計算出回答問題一人數(shù)50人，再計算出回答問題一“是”的人數(shù)25人，故可得到回答問題二“是”的人數(shù)5人,最后逐一分析四個選項即可.【詳解】由題意可知擲出點數(shù)為3的倍數(shù)的情況為3,6，故擲出點數(shù)為3的倍數(shù)的概率為，故理論上回答問題一的人數(shù)為人.擲出點數(shù)為奇數(shù)的概率為，理論上回答問題一的50人中有25人回答“是”，故回答問題二的學生中回答“是”的人數(shù)為3025=5人.對于A,抽樣調查的這150名學生中，約有50人回答問題一，故A正確.對于B,抽樣調查的這150名學生中，約有5人迷戀電子游戲，“必有”過于絕對，故B錯.對于C,抽樣調查的150名學生中，50名學生回答問題一，故有100名學生回答問題二，有5名學生回答“是”，故該校迷戀電子游戲的學生約為，故C正確.對于D,由C可知該校迷戀電子游戲的學生約為，故D錯.故選：AC.12.在長方體中，，，動點在體對角線上（含端點），則下列結論正確的有（）A.當為中點時，為銳角B.存在點，使得平面C.的最小值D.頂點到平面的最大距離為【答案】ABD【解析】【分析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，當為中點時，根據(jù)判斷得符號即可判斷A；當平面，則，則有，求出，即可判斷B；當時，取得最小值，結合B即可判斷C；利用向量法求出點到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，則，則，故，則，，對于A，當為中點時，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，，所以，即的最小值為，故C錯誤；對于D，，設平面的法向量，則有，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.天氣預報說，在今后的三天中每一天下雨的概率均為，用隨機模擬的方法進行試驗，由???表示下雨，由?????表示不下雨，利用計算器中的隨機函數(shù)產(chǎn)生之間隨機整數(shù)的組如下：通過以上隨機模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為___________.【答案】0.25##【解析】【分析】找出對應的數(shù)據(jù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】解：由數(shù)據(jù)可知，表示恰有兩天下雨的數(shù)據(jù)為共5組，所以三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故答案為：.14.已知向量，，，則______________.【答案】2【解析】【分析】由向量的模求得，然后由數(shù)量積的坐標表示計算．【詳解】由已知，，所以．故答案為：215.已知直線，若直線，則直線的傾斜角大小為_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)直線方程可求出；根據(jù)求出，進而可求出直線的傾斜角.【詳解】直線方程直線的傾斜角大小為故答案為：16.如圖，長方體中，、與底面所成的角分別為和，，點為線段上一點，則最小值為_______.【答案】【解析】【分析】因為平面，所以，，根據(jù)，求出，，，又可化為，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜邊上的高即可得解.【詳解】如圖：因為平面，所以，，設，則，，，，因為，所以，所以，即，解得，所以，，，所以，當時，取最小值，最小值為，所以的最小值為，即的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了長方體的結構特征，考查了直線與平面所成的角，考查了空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題.四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.某校夏令營有名男同學和名女同學，現(xiàn)從這名同學中隨機選出人參加知識競賽.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）設為事件“選出的人恰有名男生和名女生”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列出所有可能的結果即可得樣本空間；（2）由古典概型即可求得概率.【小問1詳解】所有可能的結果為：，，，，，，，，，，共10種情況.故樣本空間為：.【小問2詳解】事件M包含的結果有：，共6個結果，故事件M發(fā)生的概率為.18.已知三角形的三個頂點，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求出BC中點的坐標，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【詳解】（1）由題得BC的中點D的坐標為（2，1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【點睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.19.如圖在平行六面體中，，，，，??分別為，，的中點.（1）求證：（2）求和所成角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只需證明即可；（2）利用向量數(shù)量積和模求向量間的夾角即可.【小問1詳解】取為一組基底，設，依題：∴.，∴，故.【小問2詳解】，.∴...∴所以直線與所成角的余弦值為.20.某快餐配送平臺針對外賣員送餐準點情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時間內(nèi)送達?延遲5分鐘內(nèi)送達?延遲5至10分鐘送達?其他延遲情況，分別評定為四個等級，各等級依次獎勵3元?獎勵0元?罰款3元?罰款6元.假定評定為等級的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為3元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎勵為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問1詳解】設事件分別表示“被評為等級”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”的概率為；【小問2詳解】設事件表示“第單被評為等級”，，則“兩單共獲得的獎勵為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.21.如圖，四邊形是邊長為菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）求二面角的大??；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解，【小問1詳解】由題意，建立如圖所示空間直角坐標系：因為，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，二面角為鈍角，故二面角的大小為.【小問2詳解】因為，所以，因為平面的一個法向量為，所以點C到平面的距離，22.如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E為CD中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理將問題轉化為證明AE⊥平面POB，然后結合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法結合線面角列方程可解.【小問1詳解】連接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E為CD中點，∴四邊形ABED為菱形，∴BD⊥AE，∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，OB?平面POB，OP?平面POB，∴AE⊥平面POB，又AE?平面ABCE，