專題34冪函數(shù)（知識點(diǎn)講解）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)講解真題測試（新教材新高考）(原卷版)

專題3.4冪函數(shù)（知識點(diǎn)講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】與不等式、方程等問題結(jié)合，考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)．【知識點(diǎn)展示】1.冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).2.常見的5種冪函數(shù)的圖象冪函數(shù)圖象的要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．3.常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇4.冪函數(shù)的幾個結(jié)論對于形如(其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；(2)當(dāng)m，n都為奇數(shù)時，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；(3)當(dāng)m為偶數(shù)時，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處)．【?？碱}型剖析】題型一冪函數(shù)的概念例1.（2022·上?！じ呖颊骖}）下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．例2．（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3例3.（2022·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點(diǎn)A（4，2），則f（）=___________.【特別警示】形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項(xiàng)．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，題型二：冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且例5.（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖是冪函數(shù)的部分圖象，已知取，，，這四個值，則與曲線，，，相對應(yīng)的依次為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，例6.【多選題】（2020·福建福州·高三階段練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則冪函數(shù)在定義域上是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)例7.【多選題】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的有（

）A． B．C．y＝x2－1 D．y＝x3【規(guī)律方法】冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．題型三：冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用例8.（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例9．【多選題】（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）若a＞b＞0＞c，則(

)A． B． C． D．例10．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例11.（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)與的部分圖象如圖所示，直線，與，的圖象分別交于A?B?C?D四點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C． D．2例12.（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.例13.（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時，；③；例14.（2022·北京通州·一模）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，能夠使是奇函數(shù)的一組整數(shù)m，n的值依次是__________．【總結(jié)提升】1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較冪值大小的方法步驟．第一步，據(jù)指數(shù)分清正負(fù)；第二步，正數(shù)區(qū)分大于1與小于1，a>1，α>0時，aα>1；0<a<1，α>0時0<aα<1；a>1，α<0時0<aα<1；0<a<1，α<0時，aα>1；第三步，構(gòu)造冪函數(shù)應(yīng)用冪函數(shù)單調(diào)性，特別注意含字母時，要注意底數(shù)不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情形．2．給定一組數(shù)值，比較大小的步驟．第一步：區(qū)分正負(fù)．一種情形是冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)值即冪式確定符號；另一種情形是對數(shù)式確定符號，要根據(jù)各自的性質(zhì)進(jìn)行．第二步：正數(shù)通常還要區(qū)分大于1還是小于1.第三步：同底的冪，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性；同指數(shù)的冪用冪函數(shù)單調(diào)性；同底的對數(shù)用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性．第四步：對于底數(shù)與指數(shù)均不相同的冪