專題112空間向量與立體幾何大題（原卷版）

2.空間向量與立體幾何大題【高考真題】1．（2022·新高考全國=1\*ROMANI卷）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．2．（2022·新高考全國=2\*ROMANII卷）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．3．（2021·新高考全國=1\*ROMANI卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.4．（2021·新高考全國=2\*ROMANII卷）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．5．（2020·新高考全國=1\*ROMANI卷）如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．6．（2020·新高考全國=2\*ROMANII卷）如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為上的點，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．【基礎知識】1．空間角=1\*GB2⑴異面直線所成的角設異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).=2\*GB2⑵直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).=3\*GB2⑶平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).2．空間距離=1\*GB2⑴點P到直線l的距離設eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).=2\*GB2⑵點P到平面α的距離若平面α的法向量為n，平面α內一點為A，則平面α外一點P到平面α的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)，如圖所示．=3\*GB2⑶線面距離、面面距離都可以轉化為點到平面的距離．【題型方法】等體積法求點面距離1．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為等腰三角形，，為的中點．(1)求證：平面．(2)若底面，且，求點到平面的距離．2．如圖，在四棱錐中，已知，.(1)求證：；(2)若平面平面，，且，，，為線段的中點，求點到平面的距離.向量法求空間距離1．如圖，四棱錐中，是等邊三角形，，．(1)證明：；(2)若，，求點A到平面的距離．2．如圖，已知正方體的棱長為1，分別是和的中點．(1)求證：；(2)求直線和之間的距離．向量法求線線、線面、面面角1．已知四棱錐的底面為正方形，且平面，為中點(1)求證：面面(2)求異面直線與所成角的余弦值2．在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值.3．如圖，在三棱臺中，.(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.【高考必刷】1．如圖，多面體中，底面四邊形為菱形，平面且(1)求證：；(2)求點A到平面的距離2．在四棱錐中，四邊形ABCD為等腰梯形，，，，．(1)證明：平面平面PBC．(2)若，，求點D到平面PBC的距離．3．如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，且，，，.(1)求證：；(2)求點A到平面PBD的距離.4．如圖，在四棱錐中，底面四邊形的邊長均為2，且，棱的中點為.(1)求證：平面；(2)若的面積是，求點到平面的距離.5．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，點D是AB的中點.(1)求點B到平面B1CD的距離；(2)求異面直線AC1和B1C所成角的余弦值.6．如圖，在直三棱柱中，D是的中點，，，．(1)證明：平面BCD．(2)求點D到平面的距離．7．如圖，在四棱錐PABCD中，平面ABCD，，，，，，點M在棱PD上，，點N為BC中點．(1)求證：平面PAB；(2)求點C到平面PMN的距離．8．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，，是棱上的一點，且．(1)證明：平面．(2)若，，求點到平面的距離．9．四邊形是邊長為1的正方形，與交于點，平面，且二面角的大小為.(1)求點到平面的距離；(2)求直線與平面所成的角.10．如圖，在長方體中，，，E是的中點，平面與棱相交于點F．(1)求證：點F為的中點；(2)若點G為棱上一點，且，求點G到平面的距離．11．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點.(1)求證：平面PBD；(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距離.12．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是中點．(1)求直線與平面的夾角余弦值；(2)求點到平面的距離．13．如圖，在三棱錐中，平面，點滿足平面，且在平面內的射影恰為的重心.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離.14．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點，，．(1)求證：平面BDE；(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；(3)求點D到平面ABE的距離．15．如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直．(1)若為線段上的一個動點，證明：∥平面(2)若，，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．16．如圖，在三棱錐中，平面為線段上一點，且.(1)在線段上求一點，使得平面平面，并證明；(2)求點C到平面ABD的距離.17．如圖，在多面體中，四邊形是邊長為4的菱形，與交于點，平面平面.(1)求證：平面；(2)若，點為的中點，求二面角的余弦值.18．如圖，在直三棱柱中，點E，F(xiàn)分別是，中點，平面平面．(1)證明：；(2)若，平面平面，且，求直線l與平面所成角的余弦值．19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，二面角的大小為．(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值．20．如圖，在中，，且，，將繞直角邊PA旋轉到處，得到圓錐的一部分，點D是底面圓弧BC(不含端點)上的一個動點．(1)是否存在點D，使得？若存在，求出的大??；若不存在，請說明理由；(2)當四棱錐體積最大時，求平面PCD與平面PBD夾角的余弦值．21．如圖，在三棱柱中，D是的中點，E是CD的中點，點F在上，且．(1)證明：平面；(2)若平面ABC，，，求平面DEF與平面夾角的余弦值．22．如圖，四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點E為線段的中點．(1)求證：∥平面；(2)若四邊形為菱形，且平面，求平面與平面所成二面角的正弦值．23．如圖，多面體是將一個平行六面體截去三棱錐后剩下的幾何體，點為三角形的重心．四邊形是邊長為的正方形，且，.(1)求證：；(2)求線段的長；(3)求異面直線與所成角的余弦值．24．如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．(1)證明：平面；(2)若，設為棱上的點，且滿足，求當幾何體的體積取最大值時，與所成角的余弦值．25．如圖所示，在四棱柱中，以A為端點的三條棱的長都為1，且兩兩夾角為，點M，N分別在線段和上，且滿足，其中．(1)判斷直線與平面的位置關系，并證明你的結論；(2)當時，求異面直線與所成角的大?。?6．如圖，直三棱柱中，，，，是的中點．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．27．矩形中，（如圖1），將沿折起到的位置.點在平面上的射影在邊上，連結（如圖2）.(1)證明：；(2)過直線的平面與平行，求與所成角的正弦值.28．如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑.(1)弦上是否存在點D，使得平面，請說明理由；(2)若，，點，A，B，C都在半徑為的球面上，求二面角的余弦值.29．如圖，已知斜四棱柱，底面為等腰梯形，，點在底面的射影為，且，，，.(1)求證：平面平面；(2)若為線段上一點，且平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.30．如圖，等腰梯形中，，，，E為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（平面ABCD）．(1)求證：；(2)若把折起到當平面平面時，求二面角的余弦值．31．如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點，點在棱上，且.

(1)求證：四點共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.32．如圖（1），在中，，將沿折起