85空間直線平面的平行（十五大題型）

8．5空間直線、平面的平行【題型歸納目錄】題型一：基本事實(shí)4的應(yīng)用題型二：等角定理的應(yīng)用題型三：直線與平面平行的判斷定理的理解題型四：直線與平面平行的判定題型五：補(bǔ)全直線與平面平行的條件題型六：直線與平面平行的性質(zhì)題型七：由線面平行的性質(zhì)判斷比例關(guān)系或點(diǎn)的位置關(guān)系題型八：由線面平行的性質(zhì)求長度問題題型九：平面與平面平行的判定定理的理解題型十：平面與平面平行的判定題型十一：補(bǔ)全平面與平面平行的條件題型十二：平面與平面平行的性質(zhì)題型十三：由面面平行證線面平行題型十四：空間平行的轉(zhuǎn)化題型十五：線面、面面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、平行線的傳遞性基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．符號表示：a∥b，b∥c?a∥c．知識點(diǎn)二、等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．知識點(diǎn)三、直線和平面平行的判定文字語言：直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．簡記為：線線平行，則線面平行．圖形語言：符號語言：、，．知識點(diǎn)詮釋：（1）用該定理判斷直線a與平面平行時，必須具備三個條件：①直線a在平面外，即；②直線b在平面內(nèi)，即；③直線a，b平行，即a∥b．這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結(jié)論就不一定成立．知識點(diǎn)四、兩平面平行的判定文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．圖形語言：符號語言：若、，，且、，則．知識點(diǎn)詮釋：（1）定理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的．（2）定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可概述為：線面平行面面平行．知識點(diǎn)五、判定平面與平面平行的常用方法1、利用定義：證明兩個平面沒有公共點(diǎn)，有時直接證明非常困難，往往采用反證法．2、利用判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，于是這兩個平面平行，或在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交的直線平行．3、平面平行的傳遞性：即若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面互相平行．知識點(diǎn)六、直線和平面平行的性質(zhì)文字語言：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．簡記為：線面平行則線線平行．符號語言：若，，，則．圖形語言：知識點(diǎn)詮釋：直線和平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“若線面平行，則線線平行”．可以用符號表示：若a∥，，，則a∥b．這個性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理，用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：（1）直線a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直線a在平面內(nèi)，即．三個條件缺一不可，在應(yīng)用這個定理時，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)一切直線”的錯誤．知識點(diǎn)七、平面和平面平行的性質(zhì)文字語言：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．符號語言：若，，，則．圖形語言：知識點(diǎn)詮釋：（1）面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理．（2）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線（否則將導(dǎo)致這兩個平面有公共點(diǎn)）．知識點(diǎn)八、空間平行關(guān)系的注意事項(xiàng)直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，揭示了線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，具體轉(zhuǎn)化過程如圖所示．【典型例題】題型一：基本事實(shí)4的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】（證明兩直線平行的常用方法）（1）利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對邊，三角形的中位線與底邊；（2）定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；（3）利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．例1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：四邊形是梯形．【解析】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【解析】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點(diǎn)，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．例3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫?并說明理由.【解析】如圖，在平面A1B1C1D1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直線EF即為所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，則EF∥BC.題型二：等角定理的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】（應(yīng)用等角定理的注意事項(xiàng)）空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．注意觀察兩角的方向是否相同，若相同，則兩角相等；若不同，則兩角互補(bǔ)．例4．（2023·高一單元測試）空間兩個角和，若，，，則的大小是______．【答案】或【解析】空間兩個角和，因?yàn)?，且，則或.故答案為：或.例5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則_________.【答案】或【解析】利用等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故，,則有或,又,所以或，故答案為：或例6．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點(diǎn)，，則______【答案】【解析】依題意且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得，所以或與互補(bǔ)，顯然與不互補(bǔ)，所以；故答案為：變式1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）空間兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角_____．【答案】相等或互補(bǔ)【解析】根據(jù)等角定理有：當(dāng)角的兩組對應(yīng)邊同時同向或同時反向時，兩角相等；當(dāng)角的兩組對應(yīng)邊一組同向一組反向時，兩角互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．變式2．（2023·高一課時練習(xí)）若角和角的兩邊分別對應(yīng)平行，則當(dāng)時，____________．【答案】或【解析】當(dāng)角和角方向相同時，；當(dāng)角和角方向相反時，，即，解得．故答案為：或題型三：直線與平面平行的判斷定理的理解【方法技巧與總結(jié)】（判定定理理解的注意事項(xiàng)）（1）明確判定定理的關(guān)鍵條件．（2）充分考慮各種可能的情況．（3）特殊的情況注意舉反例來說明．例7．（2023春·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）下列有五個命題：①若直線a平面，a平面，則am；②若直線a平面，則a與平面內(nèi)任何直線都平行；③若直線α平面，平面平面β，則α平面β；④如果ab，a平面，那么b平面；⑤對于異面直線a、b存在唯一一對平面、β使得a?平面，b?平面β，且β.其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】對于①，直線平面，直線平面，，過a作平面交平面于c，作平面交平面于d，則，，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)?，所以，所以，①正確；對于②，直線平面，則直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以②錯誤；對于③，直線平面，平面平面，可能平面，所以③錯誤；對于④，，直線平面，可能平面，所以④錯誤；對于⑤，一對異面直線a，b，過a作與b平行的平面，過b作與a平行的平面，使得，所以⑤正確；故選：C.例8．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎獮槿龡l不重合的直線，是兩個不重合的平面，給出下列四個說法：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【解析】對①，，則，可以平行、相交或異面，故①不正確；對②，根據(jù)平行線的傳遞性，可知②正確；對③，，則或，故③不正確；對④，根據(jù)線面平行的判定定理，可知④正確．故選：C例9．（2023·高一單元測試）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于選項(xiàng)B，如圖1，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因?yàn)槠矫妫矫?，所以AB平面MNQ，B選項(xiàng)不滿足題意；對于選項(xiàng)C，如圖2，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，C選項(xiàng)不滿足題意；對于選項(xiàng)D，如圖3，連接CD，因?yàn)镸，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因?yàn)槠矫?，平面，所以AB平面MNQ，可知D不滿足題意；如圖4，取BC的中點(diǎn)D，連接QD，因?yàn)镼是AC的中點(diǎn)，所以QDAB，由于QD與平面MNQ相交，故AB與平面MNQ不平行，A正確.故選：A變式3．（2023春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（

）A．如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平面內(nèi)有不共線的三個點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，則C．，，則D．，，，則【答案】D【解析】對于A：若一條直線與一個平面平行，這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但不是任意一條，A錯誤；對于B：由題意可得：或與相交，B錯誤；對于C：根據(jù)題意可得：或，C錯誤；對于D：∵，則，使得，則∴∴，D正確；故選：D.變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法中錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【解析】如圖所示，連接和相交于點(diǎn)O，則O為，的中點(diǎn).對于A，連接，則,因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對于B，易知,因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)?所以與平面相交，故C錯誤；對于D，易知,因?yàn)槠矫?平面，所以平面，故D正確.故選:C.變式5．（2023·高一課時練習(xí)）在三棱錐中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上．若，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．平面 D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．又平面平面，所以平面．故選：A題型四：直線與平面平行的判定【方法技巧與總結(jié)】：（判定定理應(yīng)用的注意事項(xiàng)）（1）欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行解決．（2）判斷定理中有三個條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求．常常利用平行四邊形、三角形中位線、等比例線段、相似三角形．例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）長方體中，是矩形的中心，是矩形的中心．證明：平面.【解析】證明：連結(jié)、、.由已知可得，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，是的中位線，所以.又平面，平面，所以平面.例11．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，為AC、BD的交點(diǎn).(1)求證：平面PCD；(2)圖中EO還與圖中哪個平面平行？【解析】（1）因?yàn)镋，為PB，BD的中點(diǎn)，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平?例12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形是平行四邊形；(2)平面．【解析】（1）由M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形.（2）由M、N分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，所以，由（1）知面，且面，故面，即平面.變式6．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，且PA＝AD＝2．(1)求證：平面PEC；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，且PA＝AD＝2，四邊形ABCD是正方形，所以三棱錐的體積為：＝．變式7．（2023·高一單元測試）如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為2，側(cè)棱，是棱的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）在正四棱柱中，四邊形為矩形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則有，而平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，，，的面積，所以求三棱錐的體積．變式8．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在長方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD.（2）因?yàn)?，又平面，所以三棱錐的高為，∴.題型五：補(bǔ)全直線與平面平行的條件【方法技巧與總結(jié)】：（判斷或證明線面平行的常用方法）（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α），其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言的敘述；（3）利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；（4）利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）．例13．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)棱上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）連接，分別為中點(diǎn)，，，，四邊形為平行四邊形，，，又平面，平面，平面.（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面，延長交于，連接交于，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，，；當(dāng)時，平面.例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則在中，分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點(diǎn).在點(diǎn)位置時滿足平面.即點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時符合題意.例15．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在五面體中，，底面ABC是正三角形，．四邊形是矩形，問：D在AC上運(yùn)動，當(dāng)D在何處時，有平面，并說明理由．【解析】當(dāng)D為AC中點(diǎn)時，平面．理由：連接與交于點(diǎn)O，當(dāng)D為AC中點(diǎn)時，，且OD是平面上的直線，而是平面外的直線，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，平面．變式9．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且滿足．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵是正四棱柱，∴，四邊形是矩形，∴，∴求異面直線與所成角的余弦值即是求與所成角的余弦值，在中，，，∴；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時，使得平面，作的中點(diǎn)，連接，，連接交于點(diǎn)，連接，由棱柱的性質(zhì)可知，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，由平面公理4可得，又∵平面，平面，∴平面，此時．變式10．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，，分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）AD上存在一點(diǎn)P，使得CP平面ABEF，此時，理由如下：當(dāng)時，，如圖，過點(diǎn)P作MFD交AF于點(diǎn)M，連接ME，則，∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MPFDEC，∴MPEC，故四邊形MPCE為平行四邊形，∴CPME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，∴CP平面ABEF；（2）設(shè)BE＝x，則AF＝x(0<x≤4)，F(xiàn)D＝6－x，故，∴當(dāng)x＝3時，有最大值，且最大值為3，此時EC＝1，AF＝3，F(xiàn)D＝3，，∴，，在△ACD中，由余弦定理得，，，設(shè)到平面的距離為，，，.綜上，存在點(diǎn)P，使得CP//平面ABEF，，三棱錐的最大值為3，此時點(diǎn)F到平面ACD的距離為題型六：直線與平面平行的性質(zhì)【方法技巧與總結(jié)】（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項(xiàng)）（1）欲證線線平行可轉(zhuǎn)化為線面平行解決，常與判定定理結(jié)合使用．（2）性質(zhì)定理中有三個條件，缺一不可，注意平行關(guān)系的尋求．常利用中位線性質(zhì)．例16．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.【解析】證明如圖，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)．又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，E、F分別是空間四邊形中邊和的中點(diǎn)，過平行于的平面與交于點(diǎn)．求證：是中點(diǎn)．【解析】證明：由已知可得，平面.又平面，平面平面，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以是中點(diǎn)．例18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，在上任取點(diǎn)，過和作平面交平面于．證明：．【解析】證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危允堑闹悬c(diǎn).又是中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又平面平面，平面，所以．變式11．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為，且平面.(1)若平面與平面的交線為，求證：平面；(2)求證：.【解析】（1）∵，平面平面，∴平面.∵平面，平面平面，∴.∵平面平面，

∴平面.（2）連接，設(shè)，，連接，∵平面平面，平面平面，∴，∵，，所以，∴，∴點(diǎn)是的重心，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴.變式12．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在多面體中，四邊形，，ABCD均為正方形，E為的中點(diǎn)，過，D，E的平面交于F．證明：.【解析】因四邊形，ABCD均為正方形，則，且，因此四邊形為平行四邊形，于是得，又平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.題型七：由線面平行的性質(zhì)判斷比例關(guān)系或點(diǎn)的位置關(guān)系例19．（2023·高一單元測試）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面為正三角形，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證：平面.(2)當(dāng)平面，求出點(diǎn)的位置，說明理由.【解析】（1）取中點(diǎn)為，連接，在中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，面面，平面；（2）連接，相交于，連接，面，面面面，，，即存在點(diǎn)M，M為PD上靠近P點(diǎn)的三等分點(diǎn).例20．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，三棱柱在圓柱中，等腰直角三角形，分別為上、下底面的內(nèi)接三角形，點(diǎn)，分別在棱和上，，，平面，求的值【解析】如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，與確定一個平面，平面，平面平面，，四邊形為平行四邊形，，又，，，.例21．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上，若直線平面，求的值【解析】連接與交于點(diǎn)，連接，∵，，∽，，又∵平面，平面，且平面平面∴，即變式13．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)F．(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點(diǎn)；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）連接交于，連接，如下圖：由為平行四邊形，則為中點(diǎn)，又E為棱的中點(diǎn)，所以為中位線，則，又面，面，故平面；（2）由題設(shè)知：，面，面，所以面，又面，面面，所以，又E為棱的中點(diǎn)，即是△的中位線，故F為的中點(diǎn)；（3）存在N使得平面且，理由如下：為中點(diǎn)，連接，由題設(shè)且，由（2）知且，所以且，即為平行四邊形，所以，而面，面，所以面，故所求點(diǎn)即為點(diǎn)，則上存在點(diǎn)N使得平面，且.題型八：由線面平行的性質(zhì)求長度問題例22．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M為PA上的點(diǎn)，且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N，使直線MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，請說明理由；(2)假設(shè)存在滿足條件（1）的N點(diǎn)，求線段MN的長.【解析】（1）存在，；理由如下：連接并延長，交于，連接.因?yàn)檎叫沃?，，所?又因?yàn)?，所以；平面，平面，所以平?（2）由（1）得，所以；中，，所以；因?yàn)?，所以所?例23．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，直線平面，點(diǎn)A在另一側(cè)，點(diǎn)B，C，，線段AB，AC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的長．【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)與直線a可以確定一個平面，即平面．因?yàn)?，且平面，平面，所以，即，所以．于是．?4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，是棱長為正方體的棱上的一點(diǎn)，且平面，求線段的長．【解析】連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)．平面，平面，平面平面，，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則在中，.變式14．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.【解析】（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.（2）設(shè)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴，則＝＝＝1－，∴.∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長l＝2＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12).變式15．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面.M是CD中點(diǎn)，N是PB上一點(diǎn).(1)若求三棱錐的體積；(2)是否存在點(diǎn)N,使得平面,若存在求PN的長；若不存在，請說明理由.【解析】（1），由面面且交線是，又，面，所以平面，又MD，點(diǎn)到平面的距離是，又，則，三棱錐的體積.（2）存在.，連接并延長至于交于點(diǎn)，，在中：，在中：在上取點(diǎn)，使得，而，則，又平面，平面，平面，在中，，.題型九：平面與平面平行的判定定理的理解例25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面．①a//c，b//c?a//b；②a//β，b//β?a//b；③a//c，c//α?a//α；④a//β，a//α?α//β；⑤a?α，b?α，a//b?a//α.其中正確的命題是（）A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】對于①，由平行的傳遞性公理，則正確；對于②，由，，則共面或異面，故錯誤；對于③，由，，則或，故錯誤；對于④，由，，則平行或相交，故錯誤；對于⑤，由，，，根據(jù)線面平行判定定理，可得，故正確.故選：A.例26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如圖，易知在正方體中相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，故①錯誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知③正確；過直線l做平面與分別交于，過直線m做平面與分別交于，因?yàn)?，，所以，所以因?yàn)椋?，所以同理，又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D例27．（2023春·全國·高一專題練習(xí)），是兩個平面，，是兩條直線，下列四個命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】C【解析】A項(xiàng)：若，，則或，故選項(xiàng)A不正確；B項(xiàng)：若，，則或m與n異面，故選項(xiàng)B不正確；C項(xiàng)：若，則與沒有公共點(diǎn)，又因?yàn)?，所以m與沒有公共點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)C正確；D項(xiàng)：若，，，則或與相交，故選項(xiàng)D不正確.故選：C.變式16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列條件中能推出平面平面的是（

）A．存在一條直線，，B．存在一條直線，，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，【答案】D【解析】A.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；B.如圖所示：，存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；C.如圖所示：，存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯誤；D.如圖所示：，在平面內(nèi)過b上一點(diǎn)作，則，又，且，所以，故正確；故選：D題型十：平面與平面平行的判定例28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PD，AB，DC的中點(diǎn)，如圖．求證：(1)AE∥平面PCF；(2)平面PCF∥平面AEG.【解析】（1）證明：如圖所示：，取PC中點(diǎn)H，分別連接EH，F(xiàn)H，∵E，F(xiàn)，H分別為PD，AB，PC的中點(diǎn)，∴，∴EAFH為平行四邊形．∴EA∥FH.又平面PCF，平面PCF，∴AE∥平面PCF.（2）∵E，G分別為PD，CD的中點(diǎn)，∴EG∥PC.又平面PCF，平面PCF，∴EG∥平面PCF.由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.∴平面PCF∥平面AEG.例29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【解析】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)∴GH是的中位線，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EFBC，∵平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.例30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正方體中．為底面中心，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．證明：平面平面PAO．【解析】由題意可得：分別為的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面，連接，由題意可得：分別為的中點(diǎn)，則，且，∵，且，則，且，故為平行四邊形，則，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面PAO.變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N、Q、S分別是被AB、BC、C1D1、D1A1的中點(diǎn).(1)求證：MN//QS；(2)記MNQS確定的平面為α,作出平面α被該正方體所截的多邊形截面，寫出作法步驟.并說明理由，然后計算截面面積；(3)求證：平面ACD1//平面α.【解析】（1）證明：連接，，，如圖，正方體中，，四邊形為平行四邊形，則有，、、、分別是被、、、的中點(diǎn)，，，．（2）取、中點(diǎn)、，連接、、、、、，如圖，則正六邊形為平面被該正方體所截的多邊形截面，，．（3），平面，平面，平面，又、分別、的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面．變式18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，．求證：(1)平面；(2)平面平面．【解析】（1）在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，平面平面，平面．（2）平面，平面，平面．分別為的中點(diǎn)，，，且．四邊形是平行四邊形．．又平面平面，平面．又平面，平面平面．題型十一：補(bǔ)全平面與平面平行的條件例31．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請說明理由．【解析】（1）證明：如圖，連接交于，連接.因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對角線，交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）當(dāng)上的點(diǎn)為中點(diǎn)時，即滿足平面平面，理由如下：連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?由（１）知平面，又因?yàn)椋?，平面，所以平面平?例32．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．又，，所以，．因此四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，所以又，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因?yàn)椋势矫嫫矫妫?3．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請說明理由．【解析】（1）證明：因?yàn)椋謩e為線段的中點(diǎn)所以A.因?yàn)?，所以B.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得，平面，又因?yàn)?，，平面，所以平面平面故在線段上存在一點(diǎn)，使平面平面．變式19．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在底面四邊形內(nèi)部（包括邊界）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在求點(diǎn)的位置，并求的最大值，如果不存在請說明理由.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.中，分別為的中點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，，，故四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.（2）取中點(diǎn)為，連接，，在中，分別為的中點(diǎn)，，平面平面，平面.因?yàn)榍?，且、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，，且，平面平面，平面.又，且平面，故平面平面.所以點(diǎn)存在，且，即點(diǎn)在線段上移動，可使平面平面，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到時，此時的最大值，最大值為2.變式20．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．【解析】（1）證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，又因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，因?yàn)榍遥郧?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又由平面，平面，所以平?（2）證明：取取一點(diǎn)，使得，即點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)，在中，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；又由?）知平面，且，平面，所以平面平面，即當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)時，能使得平面平面．題型十二：平面與平面平行的性質(zhì)【方法技巧與總結(jié)】（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項(xiàng)）面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行得到線線平行．證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，所以構(gòu)造三個平面：即兩個平行平面，一個經(jīng)過兩直線的平面，有時需要添加輔助面．例34．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，平面，平面，，，，.求證：.【解析】，平面，平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，.例35．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在三棱柱中，(1)若分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面.(2)若點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值．【解析】（1）∵分別是的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面.（2）連接交于，連接，由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，同理可得，所以，即為線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，即.例36．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在長方體中，，P為的中點(diǎn)．(1)已知過點(diǎn)的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點(diǎn)M，N，請確定點(diǎn)M，N的位置；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）依題意，如圖，平面平面，平面平面，平面平面，則，在長方體中，，則有四邊形為平行四邊形，于是得，即點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，同理點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，所以分別是棱的中點(diǎn).（2）在長方體中，，P為的中點(diǎn)，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離是.變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，D1的平面與棱CC1交于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形BFD1E為平行四邊形；(2)試確定點(diǎn)F的位置.【解析】（1）由于平面平面，平面平面,平面，所以.同理可證得，所以四邊形為平行四邊形.（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，所以，由于，所以，所以，而是的中點(diǎn)，所以是中點(diǎn).題型十三：由面面平行證線面平行例37．（2023·全國·高一專題練習(xí)）平行四邊形和平行四邊形不在同一平面內(nèi)，、分別為對角線，上的點(diǎn)，且．求證：平面．【解析】在上取點(diǎn)，使得，則，∵平面，平面，∴平面，連接，∵，即，則，∴，又∵，則，且平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面，由平面，可得平面.例38．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）幾何體是四棱錐，為正三角形，，，為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面？若存在，請找出點(diǎn)，并證明；若不存在，并說明理由.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，有，而平面平面，則平面，又為正三角形，為等腰三角形，，有，即有，而，于是得，平面平面，因此平面，因，平面，則平面平面，又平面，所以平面.（2）延長相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，則，即四點(diǎn)共面，由（1）及已知，，得，即，又，則，則有，即，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以線段上存在點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).例39．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖①，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，、、分別為、、的中點(diǎn)，將沿折起，得到四棱錐，如圖②.求證：在四棱錐中，平面.【解析】證明：在四棱錐中，、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，在圖①中，，且，為的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，則，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，因此，平面.變式22．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點(diǎn)，證明：直線平面【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接、、，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因?yàn)榍?，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，、分別為、的中點(diǎn)，則，則，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.變式23．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，分別是線段，的中點(diǎn)，證明：平面【解析】取的中點(diǎn)，連接，，則，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；題型十四：空間平行的轉(zhuǎn)化例40．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，過正方體的頂點(diǎn)、與棱的中點(diǎn)的平面與底面所在平面的交線記為，則與的位置關(guān)系為_________.【答案】【解析】如圖所示，連接、，在正方體中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.故答案為：.例41．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求證：為的中點(diǎn)．【解析】（1）證明：如圖，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，分別為，的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；（2）證明：平面平面，平面平面，平面與平面有公共點(diǎn)，則有經(jīng)過的直線，交于G，則，得，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．例42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，，E，F(xiàn)，H，G分別是棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)判斷直線EF與直線GH的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?（2）直線與直線相交，理由如下：連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，同理可證：，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以，所以與不平行，即與相交.變式24．（2023·高一課時練習(xí)）在三棱柱中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值.【解析】連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：由棱柱的性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，所以，為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，，則為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因?yàn)?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因此?變式25．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)．(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）如圖，作中點(diǎn)，并連接,分別為的中點(diǎn),∥,平面，平面,∥平面,又在直三棱柱中，∥,平面，平面∥平面,且,平面，平面，故平面∥平面，而平面，故∥平面.（2）則底面為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，,在直三棱柱中，,，且∥平面,平面,故,又,,，則中邊上高，故，故，∴點(diǎn)到平面的距離為.題型十五：線面、面面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】（空間平行關(guān)系的注意事項(xiàng)）直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，揭示了線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，具體轉(zhuǎn)化過程如圖所示．例43．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=AB．(1)求證：EF∥平面BDC1；(2)在棱AC上是否存在一個點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：取AB的中點(diǎn)M，∵AF=AB，∴F為AM的中點(diǎn)，又∵E為AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1D∥BM，A1D=BM，∴A1DBM為平行四邊形，∴AM∥BD∴EF∥BD．∵BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（2）設(shè)AC上存在一點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1：15，則，∵∴，∴，∴AG=AC>AC．所以符合要求的點(diǎn)G不存在．例44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為平行四邊形，O為與的交點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求證：平面∥平面；(3)設(shè)平面與底面的交線為l，求證：．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，∵是四棱柱，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．例45．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，“復(fù)興”橋?yàn)槿诵刑鞓?，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長的半圓型主梁和四根豎直的立柱吊起一塊圓環(huán)狀的橋面．主梁在橋面上方相交于點(diǎn)S且它們所在的平面互相垂直，S在橋面上的射影為橋面的中心O．主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條可以通往橋面的上行步道．設(shè)CD為其中的一根立柱，A為主梁與橋面大圓的連接點(diǎn)．(1)求證：平面SOA；(2)設(shè)AB為經(jīng)過A的一條步道，其長度為12米且與地面所成角的大小為30°．橋面小圓與大圓的半徑之比為，當(dāng)橋面大圓半徑為20米時，求點(diǎn)C到地面的距離．【解析】（1）由題意可知：橋面，橋面，所以，平面，平面，所以∥平面.（2）作出其中一個主梁的軸截面，連接，由題意可知：，因?yàn)闃蛎嫘A與大圓的半徑之比為，也即，所以，在中，，所以點(diǎn)C到橋面的距離為米，又因?yàn)锳B為經(jīng)過A的一條步道，其長度為12米且與地面所成角的大小為30°，所以地面到橋面的距離為，故點(diǎn)C到地面的距離為米.變式26．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，為棱的中點(diǎn)，為棱上一動點(diǎn).(1)試確定點(diǎn)位置，使得平面；(2)求點(diǎn)到平面距離的最大值.【解析】（1）當(dāng)在中點(diǎn)處時，平面.證明如下：取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所有且，因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）設(shè)點(diǎn)到平面距離為.在中，，，在中，.又平面，，∴點(diǎn)到平面的的距離為..即，∴.取中點(diǎn)E，連接PE.當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時，PE為異面直線與的公垂線段.∴.∴.所以，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在棱長為的正方體中，取中點(diǎn)G，連接，如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即有四邊形為平行四邊形，有，則四邊形為平行四邊形，有，又為的中點(diǎn)，則，四邊形為平行四邊形，則有，因此直線到直線的距離等于點(diǎn)F到直線的距離，因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，有，在中，，邊上的高，由三角形面積得：，，所以直線到直線的距離為.故選：D2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項(xiàng)中，因?yàn)椋势矫鍯NQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故錯誤；D選項(xiàng)中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過點(diǎn)M作CQ的平行線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤．故選：B.3．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）①；②平面平面；③；④平面.A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【解析】因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，故，故①正確；易證，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，故②正確；由正方體易知，與異面，故③錯誤；因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，故④正確.故選：A4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，過，，的平面交平面于，在直線上，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在正方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方體的棱長為，∴，，，∴.故選：A.5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知，，為三條不同的直線為三個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，，則【答案】D【解析】若，，則或，故A選項(xiàng)錯誤；若，，，則或與相交，故B選項(xiàng)錯誤．若，，則或，故C選項(xiàng)錯誤；若，，，，則，正確，證明如下：，，，，又，且，，則，故D選項(xiàng)正確；故選：D．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中分別是邊的中點(diǎn)，且，則四邊形是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【解析】因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，所以；同理可得，所以四邊形是平行四邊形；又因?yàn)?，所以，即四邊形是矩?故選：B.7．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在四棱柱中，平面平面，且，則四邊形的形狀是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解析】，四點(diǎn)共面；平面平面，平面平面，平面平面，，四邊形為平行四邊形.故選：A.8．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面上的動點(diǎn)，且．平面，則線段MP長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為，如圖所示因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長度的取值范圍是：.故選：A.二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．垂直于同一個平面的兩平面平行B．兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等C．一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行D．一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行【答案】BC【解析】對A，垂直于同一個平面的兩平面可能平行，也可能相交，A錯；對B，兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等（性質(zhì)推論），B對；對C，一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行（判定定理），C對；對D，一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行或在另一平面內(nèi)，D錯.故選：BC.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面平面C．面D．與是相交直線【答案】BC【解析】連接，如下圖所示，A選項(xiàng)，由于，所以是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的邊長為，則，所以，所以，所以，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知:，所以四點(diǎn)共面，所以平面平面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以由于平面，平面，所以面，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于與平面相交，平面其不過與平面的交點(diǎn)，所以與是異面直線，D選項(xiàng)錯誤.故選：BC11．（2023·高一單元測試）一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．與所成的角為60°C．與是異面直線 D．平面【答案】A