六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第9講：整除和位值原理（教師版）（人教版）

第九講整除和位值原理整除問題整除是我們很早接觸的一個(gè)概念，對(duì)于它的性質(zhì)我們也比較熟悉，不過它在題目表現(xiàn)出來的很大的靈活性和很強(qiáng)的技巧性，仍然是值得我們不斷學(xué)習(xí)和思考的．下面我們先回顧一下相關(guān)知識(shí)：1.整除的概念a，b，c為整數(shù)，且，如果a÷b=c，即整數(shù)a除以整數(shù)b，得到的商是整數(shù)c且沒有余數(shù)，那么稱作n能被b整除，或者是說b能整除a，記作；否則，稱為a不能被b整除，或是說b不能整除n．如果整數(shù)a能夠被整數(shù)b整除，則a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)．2.整除的基本性質(zhì)①如果a，b都能夠被c整除，那么它們的和與差也能夠被c整除．即：如果，那么②如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a．即：如果，那么③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果④如果b，c都能夠整除，且b與c互質(zhì)，那么b與c的乘積能整除a．即：3.數(shù)的整除特征①能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0，2，4，6，8；②能被3(或9)整除的數(shù)的特征：各位的數(shù)字之和能夠被3(或9)整除；③能被4(或25)整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能夠被4(或25)整除；④能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0或5；⑤能被7(或11、13)整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之⑥差能夠被7(或1、11、13)整除；⑦能被8(或125)整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能夠被8(或125)整除；⑧能被11整除的數(shù)的特征：奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能夠被11整除．4.位值原理同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”。例如“5”，寫在個(gè)位上，就表示5個(gè)一；寫在十位上，就表示5個(gè)十；寫在百位上，就表示5個(gè)百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。用阿拉伯?dāng)?shù)字和位值原理，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個(gè)百，2個(gè)十，6個(gè)一，即926=9×100+2×10+6。根據(jù)問題的需要，有時(shí)我們也用字母代替阿拉伯?dāng)?shù)字表示數(shù)，如：表示a個(gè)百，b個(gè)十，c個(gè)一。其中a可以是1～9中的數(shù)碼，但不能是0，b和c是0～9中的數(shù)碼。5.位值原理的表達(dá)形式以三位數(shù)為例：上面的橫線表示這是用位值原理表示的一個(gè)數(shù)，用以區(qū)別1.理解整除的概念，會(huì)用整除的性質(zhì)解決有關(guān)問題。2.理解位值原理的含義，能區(qū)分位值原理與字母乘法的區(qū)別。3.掌握整除的性質(zhì)，并熟練應(yīng)用被2、3、4、5、8、9、11整除的數(shù)的特征。例1：證明：當(dāng)時(shí)，必是9的倍數(shù)。分析：與的數(shù)字順序恰好相反，我們稱與互為反序數(shù)，互為反序數(shù)的兩個(gè)數(shù)之差必能被9整除。例2：有一個(gè)兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個(gè)三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個(gè)三位數(shù)，這兩個(gè)三位數(shù)相差666。求原來的兩位數(shù)。分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個(gè)兩位數(shù)前面，等于加了100；把數(shù)碼1加在一個(gè)兩位數(shù)后面，等于這個(gè)兩位數(shù)乘以10后再加1。設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x。由題意得到（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，9x=765，x=85。原來的兩位數(shù)是85。例3：a，b，c是1～9中的三個(gè)不同的數(shù)碼，用它們組成的六個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是（a+b+c）的多少倍？分析與解：用a，b，c組成的六個(gè)不同數(shù)字是這六個(gè)數(shù)的和等于將六個(gè)數(shù)的百位、十位、個(gè)位分別相加，得到所以，六個(gè)數(shù)的和是（a+b+c）的222倍。例4：用2，8，7三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？分析與解：由例3知，可以組成的六個(gè)三位數(shù)之和是（2+8+7）×222，所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。例5：一個(gè)兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的5倍比原數(shù)大6，求這個(gè)兩位數(shù)。分析與解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，則有（a+b）×5-（10a+b）=6，5a+5b-10a-b=6，4b-5a=6。當(dāng)b=4，a=2或b=9，a=6時(shí)，4b-5a=6成立，所以這個(gè)兩位數(shù)是24或69。例6：將一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。分析與解：設(shè)原來的三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字分別是a，b，c。若由上式知，所求三位數(shù)是99的倍數(shù)，可能值為198，297，396，495，594，693，792，891。經(jīng)驗(yàn)證，只有495符合題意，即原來的三位數(shù)是495。A1.一個(gè)自然數(shù)與13的和是5的倍數(shù)，與13的差是6的倍數(shù)，則滿足條件的最小自然數(shù)是．答案：372.有三個(gè)正整數(shù)a、b、c其中a與b互質(zhì)且b與c也互質(zhì)，給出下面四個(gè)判斷：①(a+c)2不能被b整除，②a2+c2不能被b整除：③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中，不正確的判斷有()．A．4個(gè)B．3個(gè)C2個(gè)D．1個(gè)答案：A3.已知7位數(shù)是72的倍數(shù)，求出所有的符合條件的7位數(shù)．答案：符合條件的7位數(shù)是：1287216，1287936，12875764.(1)一個(gè)自然數(shù)N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，則N的最小值是．(北京市競(jìng)賽題)(2)若1059、1417、2312分別被自然數(shù)x除時(shí)，所得的余數(shù)都是y，則x—y的值等于()．A．15B．1C．164D．174(“五羊杯”競(jìng)賽題)(3)設(shè)N=，試問N被7除余幾?并證明你的結(jié)論．(安徽省競(jìng)賽題)答案：5.盒中原有7個(gè)球，一位魔術(shù)師從中任取幾個(gè)球，把每一個(gè)小球都變成了7個(gè)小球，將其放回盒中，他又從盒中任取一些小球，把每一個(gè)小球又都變成了7個(gè)小球后放回盒中，如此進(jìn)行，到某一時(shí)刻魔術(shù)師停止取球變魔術(shù)時(shí)，盒中球的總數(shù)可能是()A．1990個(gè)B．1991個(gè)C1992個(gè)D．1993個(gè)答案：DB6.在100以內(nèi)同時(shí)被2、3、5整除的正整數(shù)有多少個(gè)?答案：30、60、90三個(gè)．7.某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999號(hào)，如果號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”．證明：這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)放的購物券中，所有的幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除．答案：顯然，號(hào)碼為9999是幸運(yùn)券，除這張外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)m=9999—n也是幸運(yùn)券，由于9是奇數(shù)，所以m≠n．由于m+n=9999相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，這就是說，除去號(hào)碼9999這張幸運(yùn)券外，其余所有幸運(yùn)券可全部?jī)蓛膳鋵?duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的整倍數(shù)，而101│9999，故知所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和也能被101整除思考：“如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)m=9999—n也是幸運(yùn)券”，這是解決問題的關(guān)鍵，請(qǐng)你考慮這句話合理性．若六位數(shù)是99的倍數(shù)，求整數(shù)a、b的值．∵能被9整除，∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9kl(k1為整數(shù))．①又能被11整除，∴8—1+a—b+9—3=13+a—b能被11整除，得2+a—b=11k2(k2為整數(shù))．②∵0≤a，b≤9∴0≤a+b≤18，－9≤a－b≤9．由①、②兩式，得3≤<9k1≤21，－7≤11k2≤1l，知k1=1，或k1=2；k2=0，或，而3+a+b與2+a—b的奇偶性相異，而k1=2，k2=1不符合題意．故把k1=1，k2=0代人①、②兩式，解方程組可求得a=2，b=4．8.寫出都是合數(shù)的13個(gè)連續(xù)自然數(shù)．答案：方法一：直接尋找從2開始，在自然數(shù)2，3，4，5，6，…中把質(zhì)數(shù)全部劃去，若劃去的兩個(gè)質(zhì)數(shù)之間的自然數(shù)個(gè)數(shù)不小于13個(gè)，則從中取13個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，就是符合要求的一組解，例如：自然數(shù)114，115，116，…，126就是符合題意的一組解．方法二：構(gòu)造法我們知道，若一個(gè)自然數(shù)a是2的倍數(shù)，則a+2也是2的倍數(shù)，若是3的倍數(shù)，則a+3也是3的倍數(shù)，…，若a是14的倍數(shù)，則a+14也母14的倍數(shù)，所以只要取a為2，3，…，14的倍數(shù)，則a+2，a+3，…a+14分別為2，3，…，14的倍數(shù)，從而它們是13個(gè)連續(xù)的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，則a+2，a+3，…，a+14必為13個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)的自然數(shù)．9.已知定由“若大于3的三個(gè)質(zhì)數(shù)a、b、c滿足關(guān)系式20+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)”．試問：這個(gè)定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少?請(qǐng)證明你的結(jié)論．答案：先將a+b+c化為3(a+2b)的形式，說明a+b+c是3的倍數(shù)，然后利用整除的性質(zhì)對(duì)a、b被3整除后的余數(shù)加以討論得出a+2b也為3的倍數(shù)．∵a+b+2a+5b=3(a+2b)，顯然，3│a+b+c若設(shè)a、b被3整除后的余數(shù)分別為ra、rb，則ra≠0，rb≠0．若ra≠rb，則ra=2，rb=1或ra=1，rb=2，則2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b為合數(shù)與已知c為質(zhì)數(shù)矛盾．∴只有ra=rb，則ra=rb=1或ra=rb=2．于是a+2b必是3的倍數(shù)，從而a+b+c是9的倍數(shù)．又2a+5b=2×11十5×5=47時(shí)，a+b+c=11+5+47=63，2a+5b=2×13十5×7=61時(shí)，a+b+c=13+7+61=81，而(63，81)=9，故9為最大可能值．10.一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“新生數(shù)”，試求所有的三位“新生數(shù)”．答案：將所有的三位“新生數(shù)”寫出來，然后設(shè)出最大數(shù)、最小數(shù)，求差后分析求出所有三位“新生數(shù)”的可能值，再進(jìn)行篩選確定．11.設(shè)N是所求的三位“新生數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a、b、c(a、b、c不全相等)，將其各位數(shù)字重新排列后，連同原數(shù)共得6個(gè)三位數(shù)：，不妨設(shè)其中的最大數(shù)為，則最小數(shù)為．由“新生數(shù)”的定義，得N=—=(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a—c)．答案：由上式知N為99的整數(shù)倍，這樣的三位數(shù)可能為：198，297，396，495，594，693，792，891，990．這九個(gè)數(shù)中，只有954－459=495符合條件，故495是唯一的三位‘新生數(shù)”．C12.從左向右將編號(hào)為1至2002號(hào)的2002個(gè)同學(xué)排成一行，從左向右從1到11報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后，留下的同學(xué)再從左向右從1到11報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)再從左向左從1到11地報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列．問最后留下的同學(xué)有多少?他們的編號(hào)是幾號(hào)?答案：由題意，第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們的編號(hào)必為11的倍數(shù)；第二次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們的編號(hào)必為112=121的倍數(shù)；第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們的編號(hào)必為113=1331的倍數(shù)．因此，最后留下的同學(xué)編號(hào)為1331的倍數(shù)，我們知道從1~2002中，1331的倍數(shù)只有一個(gè)，即1331號(hào)，所以，最后留下一位同學(xué)，其編號(hào)為1331．13.在一種游戲中，魔術(shù)師請(qǐng)一個(gè)人隨意想一個(gè)三位數(shù)的和N，把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就能說出這個(gè)人所想的數(shù)．現(xiàn)在設(shè)N=3194，請(qǐng)你做魔術(shù)師，求出數(shù)來．答案：將也加到和N上，這樣a、b、c就在每一位上都恰好出現(xiàn)兩次，所以有+N=222(a+b+c)從而3194<222(a+b+c)<3194+1000，而a、b、c是整數(shù)．所以15≤<a十b十c≤18．因?yàn)?22×15—3194=136，222×16—3194=358，222×17-3194=580，222×18-3194=802，其中只有3+5+8=16能滿足①式，所以=358．14.某公園門票價(jià)格對(duì)達(dá)到一定人數(shù)的團(tuán)隊(duì)按團(tuán)隊(duì)票優(yōu)惠．現(xiàn)有A、B、C三個(gè)旅游團(tuán)共72人，如果各團(tuán)單獨(dú)購票，門票費(fèi)依次為360元、384元、480元；如果三個(gè)團(tuán)合起來購票，總共可少花72元．(1)這三個(gè)旅游團(tuán)各有多少人?(2)在下面填寫一種票價(jià)方案，使其與上述購票情況相符．售票處普通票團(tuán)體票(須滿人)每人答案：(1)360+384+480－72=1152(元)，1152÷72=16(元／人)，即團(tuán)體票是每人16元．因?yàn)?6不能整除360，所以A團(tuán)未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)．若三個(gè)團(tuán)都未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)，則三個(gè)團(tuán)的人數(shù)比為360：384：480=15：16：20，即三個(gè)團(tuán)的人數(shù)分別為，這都不是整數(shù)(只要指出其中某一個(gè)不是整數(shù)即可)，不可能．所以B、C兩團(tuán)至少有一個(gè)團(tuán)本來就已達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)．這有三種可能：①只有C團(tuán)達(dá)到；②只有B團(tuán)達(dá)到；③B、C兩團(tuán)都達(dá)到．對(duì)于①，可得C團(tuán)人數(shù)為480÷16=30，A、B兩團(tuán)共有42人，A團(tuán)人數(shù)為15/31×42，不是整數(shù)，不可能．劉于②，可得B團(tuán)人數(shù)為384÷16=24，A、C兩團(tuán)共有48人，A團(tuán)人數(shù)為15/35×48，不是整數(shù)，不可能．所以必是③成立，即C團(tuán)有30人，B團(tuán)有24人，A團(tuán)有18人．售票處普通票團(tuán)體票(須滿20人)每人20元每人16元(或／或8折優(yōu)惠)15.在下邊的加法算式中，每個(gè)口表示一個(gè)數(shù)字，任意兩個(gè)數(shù)字都不同：試求A和B乘積的最大值．答案：先通過運(yùn)算的進(jìn)位，將能確定的口確定下來，再來分析求出A和B乘積的最大值．設(shè)算式為顯然，g=1，d=9，h=0．a(chǎn)+c+f=10+B，b+e=9+A，∴A≤6．2（A+B）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8．要想A×B最大，∵A≤6，∴取A=5，B=3．此時(shí)b=6，e=8，a=2，c=4；f=7，故A×B最大值為15．16.任給一個(gè)自然數(shù)N，把N的各位數(shù)字按相反的順序?qū)懗鰜恚玫揭粋€(gè)新的自然數(shù)N′，試證明：能被9整數(shù)．答案：令N=，則N′=．所以，N除以9所得的余數(shù)等于a1+a2+…+an除以9所得的余數(shù)，而N′除以9所得的余數(shù)等于an+an-1+…+a1除以9所得的的余數(shù)．顯然，a1+a2+…+an=an+an-1+…+a1．因此，N與N′除以9所得的余數(shù)相同，從而能被9整除．17.證明：111111+112112十113113能被10整除．答案：要證明111111+112112十113113能被10整除，只需證明111111+112112十113113的末位數(shù)字為0，即證111111、112112、113113三個(gè)數(shù)的末位數(shù)字和為10．證明：111111的末位數(shù)字顯然為1；112112=(1124)28，而1124的末位數(shù)字是6，所以112112的末位數(shù)字也是6；113113=(1134)28×113．1134的末位數(shù)字是1，所以113113的末位數(shù)字是3．∴111111、112112、113113三個(gè)數(shù)的末位數(shù)字和為10，∴111”’十112n’十113m能被10整除．注：本題是將證明被10整除轉(zhuǎn)化為求三數(shù)的末位數(shù)字之和為10．解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，這就是化歸思想．1.在下列數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被9整除？哪些能被3整除？28、96、120、225、540、768、423、224、292分析：由可以被4、9、3整除的數(shù)的特征來考察這些數(shù)?？杀?整除的數(shù)要看數(shù)字的末兩位。可被9或3整除的數(shù)的特征相似，都是要先求出各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能否被9或3整除。答案：能被4整除的數(shù)：28、96、120、540、768、224能被9整除的數(shù)：225、540、423能被3整除的數(shù)：96、120、225、540、768、423、2942.（1）五位數(shù)A1A72能被12整除；（2）五位數(shù)4B97B能被12整除，求這兩個(gè)五位數(shù)。分析：由于12=3×4，且3與4互質(zhì)，那么能被12整除的數(shù)應(yīng)具有的特點(diǎn)是既能被3整除也能被4整除。答案：（1）A1A72可被3整除則A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A取l、4。因?yàn)槟﹥晌粩?shù)72可被4整除，那么A1A72可被4整除。所以這個(gè)五位數(shù)是1l172或41472。（2）4B97B可被3整除，則4+B+9+7+B=20+2B能被3整除，B取2、5、8。再由能被4整除的條件，末兩位數(shù)7B要能被4整數(shù)，B可以取2或6。同時(shí)符合上述兩個(gè)條件的B取值只有2，所以這個(gè)五位數(shù)是42972。3.有一個(gè)四位整數(shù)16□□，如果要讓這個(gè)四位數(shù)同時(shí)能被2、3、4、5整除，那么這個(gè)四位數(shù)的末兩位上應(yīng)是什么數(shù)？分析：由于滿足能被2、3、4整除的數(shù)比較多，所以先來看滿足可以被5整除的數(shù)的特點(diǎn)，即個(gè)位數(shù)是0或5。但若在個(gè)位填5，則不滿足可以被2整除的條件，所以個(gè)位數(shù)字一定是0，若使這個(gè)四位數(shù)可以被4整除，則□0是4的整數(shù)倍，滿足條件的有00、20、40、60、80。最后再用可被3整除的條件來限制，找出正確的答案。答案：在1600、1620、1640、1660、1680這些數(shù)中易知1620與1680可以被3整除。則這個(gè)四位數(shù)的末兩位上是20或80。4.要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問這個(gè)六位數(shù)是多少？分析：由于能被36整除，36=4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)既能被4整除，又能被9整除。再考慮“所得的商最小”這個(gè)條件，應(yīng)首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。答案：使能被4整除，則能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。使能被9整除，則1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。要使所得的商最小，就要使這個(gè)六位數(shù)盡可能小，即盡量小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。此六位數(shù)的數(shù)字之和為A+B+C，欲使B、C盡量小，而且（15+B+C）能被9整除，則（B+C）取3，因?yàn)锽+C=3，且C只能取l、3、5、7、9。則C=3，B=0。當(dāng)A=0，B=0，C=3時(shí)，此六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，為180036÷36=5001。

5.已知2002年的1月l日是星期二，那么（1）2002年的12月5日是星期幾？（2）20年后的1月l日將是星期幾？分析：因?yàn)樾瞧谑前匆?guī)律重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，星期一、星期二、……星期日、星期—……每7天重復(fù)一次。所以要知道12月5日是星期幾，須知從1月1日到12月5日之間有多少個(gè)7天。求20年后的某天是星期幾的算法相同。答案：（1）在2002年中從1月至12月，其中2月是28天，l、3、5、7、8、10月都是31天，4、6、9、11月都是30天，因此從1月1日到12月5日總共有，28+6×31+4×30+5=339（天）由于一星期有7天，339=7×48+3，所以從1月1日到12月5日的339天中，共有48星期零3天，這3天就是從星期二起的3天，第三天是星期四。所以12月5日是星期四。（2）先求出這20年總共有多少天。由于每年有365天，20年就有20×365=7300（天），而每四年有一個(gè)閏年，20年中有5個(gè)閏年，所以20年總共有20×365+5=7305（天）。由于一個(gè)星期有7天，7305=7×1043+4說明20年中有1043個(gè)星期零4天，2002年1月1日是星期二，所以20年后的1月1日從星期二往后推4天，應(yīng)該是星期六。6.檢驗(yàn)下面的算式是否正確：（l）65343+35892+38462=139587（2）2708×358=968464。分析：根據(jù)余數(shù)的特征，我們可以利用“棄九數(shù)”，不經(jīng)過計(jì)算判斷正誤。等號(hào)左右兩邊若棄九數(shù)相等，則等式可能成立。若棄九數(shù)不等，則等式一定不成立。而且兩個(gè)因數(shù)的棄九數(shù)相乘，所得的數(shù)的棄九數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，則乘法計(jì)算有錯(cuò)誤。答案：（1）求各個(gè)加數(shù)的棄九數(shù)：65343（6+5+3+4+3）÷9=2……335892（3+5+8+9+2）÷9=3……038462（3+8+4+6+2）÷9=2……5139587（1+3+9+5+8+7）÷9=3……6等號(hào)左邊棄九數(shù)的和：3+5=8，右邊棄九數(shù)為6。8≠6，則原算式計(jì)算有誤。（2）2708（2+7+0+8）÷9=l……8358（3+5+8）÷9=1……78×7=56（5+6）÷9=1……2968464（9+6+8+4+6+4）÷9=4……l左邊乘積的棄九數(shù)為2，右邊結(jié)果棄九數(shù)為1。2≠1，所以此算式有誤。7.已知兩個(gè)整數(shù)相除商是13，余數(shù)是8，并且被除數(shù)與除數(shù)的差是308，求這兩個(gè)整數(shù)。分析：由題中條件有：被除數(shù)÷除數(shù)=13……8被除數(shù)-除數(shù)=308，即被除數(shù)比除數(shù)大12倍多8，那么308=除數(shù)×12+8，則兩數(shù)可求。答案：除數(shù)=（308-8）÷（13-l）=25被除數(shù)=308+25=333答：被除數(shù)是333，除數(shù)是25。8.有一列數(shù)字：l，2，9，4，7，1，2，9，4，7…（1）第307個(gè)數(shù)是多少？（2）這307個(gè)數(shù)相加的和是多少？分析：觀察這一列數(shù)的循環(huán)規(guī)律，是按照l、2、9、4、7這個(gè)順序每五個(gè)數(shù)依次重復(fù)排列的，一個(gè)循環(huán)是5個(gè)數(shù)，要看307個(gè)數(shù)中有幾個(gè)這樣的循環(huán)。答案：（1）307=5×61+2可知307里面有61個(gè)（1、2、9、4、7），還余兩個(gè)數(shù)，所以第307個(gè)數(shù)是2。（2）每個(gè)循環(huán)之和：l+2+9+4+7=22，307個(gè)數(shù)中有61個(gè)循環(huán)及一個(gè)l、一個(gè)2。所以這307個(gè)數(shù)的和為：22×61+l+2=1345答：第307個(gè)數(shù)是2，307個(gè)數(shù)的和為1345。1.在□內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使（1）34□□能同時(shí)被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同時(shí)被8、9、25整除．分析：（1）題目要求34□□能同時(shí)被2、3、4、5、9整除，因?yàn)槟鼙?整除的數(shù)一定能被2整除，能被9整除的數(shù)一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考慮能被5整除的條件．個(gè)位是0或5，再考慮能被4整除的條件，由于4不能整除34□5，所以個(gè)位必須是0，最后考慮能被9整除的條件，34□0的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是9的倍數(shù)，3+4+□+0=7+□，這時(shí)十位數(shù)字只能是2，問題得以解決．（2）題目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3與8互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)，考慮被24整除，只要分別考慮被3、8整除就行了．先考慮被8整除的條件，7□36□的末三位數(shù)所組成的數(shù)36□能被8整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0或8，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，這樣千位數(shù)字只能是2或5或8；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為8時(shí)，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，這樣千位數(shù)字只能是0或3或6或9．（3）題目要求□1996□□能同時(shí)被8、9、25整除，首先考慮能被25整除的條件，□1996□□的末兩位數(shù)能被25整除，末兩位數(shù)只能是00，25，50，75．其次考慮能被8整除的條件，□1996□□的末三位數(shù)字組成的數(shù)能被8整除，但600，625，650，675這四個(gè)數(shù)中，只有600這個(gè)數(shù)能被8整除．最后□199600這個(gè)數(shù)能被9整除，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位數(shù)字是2．解：（1）因?yàn)?4□□能同時(shí)被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同時(shí)被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0或5，又因?yàn)?不能整除34□5，所以個(gè)位必須是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位數(shù)字只能是2．3420能同時(shí)被2、3、4、5、9整除．（2）因?yàn)?4=3×8，3與8互質(zhì)，7□36□被8整除的條件是，7□36□的末三位數(shù)所組成的數(shù)36□能被8整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0或8；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位數(shù)字只能是2或5或8；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位數(shù)字只能是0或3或6或9．所以所求的數(shù)為72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因?yàn)椤?996□□能被25整除，□1996□□的末兩位數(shù)能被25整除，這樣末兩位數(shù)只能是00，25，50，75；又因?yàn)椤?996□□能被8整除，但□1996□□的末三位數(shù)600，625，650，675這四個(gè)數(shù)中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位數(shù)字只能是2．所以2199600能同時(shí)被8、9、25整除．2.把915連續(xù)寫多少次，所組成的數(shù)就能被9整除，并且這個(gè)數(shù)最小．分析：要求這個(gè)數(shù)能被9整除，而9+1+5=15顯然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915連續(xù)寫3次，所組成的數(shù)就能被9整除，并且這個(gè)數(shù)最小．解：因?yàn)?+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915連續(xù)寫3次，即915915915必能被9整除，且這個(gè)數(shù)最?。?.希希買了九支鉛筆，兩支圓珠筆，三個(gè)練習(xí)本和五塊橡皮．她看到圓珠筆每支3角9分，橡皮每塊6分，其余她沒注意．售貨員要