2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章計數(shù)原理3第1課時組合組合數(shù)及其性質學案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE§3組合第1課時組合、組合數(shù)及其性質新課程標準學業(yè)水平要求通過實例，理解組合的概念，能利用計數(shù)原理推導組合數(shù)公式1.理解組合與組合數(shù)的概念，正確相識組合與排列的區(qū)分與聯(lián)系．(數(shù)學抽象)2．會推導組合數(shù)公式，并會應用公式進行計算．(數(shù)學運算)3．理解組合數(shù)的兩特性質，并會求值、化簡和證明．(邏輯推理)必備學問·自主學習1．組合的定義從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素為一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(1)組合對元素有何要求？提示：組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的．(2)組合是有放回抽取還是無放回抽??？提示：無放回抽取，即從n個不同的元素中進行m次不放回取出．2．組合數(shù)的概念、公式、性質組合數(shù)的兩特性質在計算組合數(shù)時有何作用？提示：第一特性質中，若m>eq\f(n,2)，通常不干脆計算Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))，而改為計算Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))，這樣可以削減計算量；其次特性質是依據(jù)須要將一個組合數(shù)拆解成兩個組合數(shù)或者把兩個組合數(shù)合成一個組合數(shù)，在解題中要留意敏捷運用．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)從3，5，7，11中任取兩個數(shù)相除屬于組合問題．()(2)由于組合數(shù)的兩個公式都是分式，所以結果不肯定是整數(shù)．()(3)區(qū)分組合與排列的關鍵是看問題對象是否與依次有關．()提示：(1)×.由于兩個數(shù)相除與依次有關，所以是排列問題．(2)×.Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))是從n個對象中取m個對象的狀況的種數(shù)，故Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))肯定是正整數(shù)．(3)√.組合與排列不同之處是組合選出的對象沒有依次而排列有依次．關鍵實力·合作學習類型一組合的概念(數(shù)學抽象)1．給出下列問題：(1)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)競賽，共需賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結果？在上述問題中，________是組合問題，________是排列問題．2．推斷下列各事務是排列問題還是組合問題．(1)8個摯友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？(2)8個摯友相互各寫一封信，一共寫了多少封信？(3)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(4)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個集合，這樣的集合有多少個？【解析】1.(1)2名學生完成的是同一件工作，沒有依次，是組合問題．(2)2名學生完成兩件不同的工作，有依次，是排列問題．(3)單循環(huán)競賽要求每兩支球隊之間只打一場競賽，沒有依次，是組合問題．(4)冠亞軍是有依次的，是排列問題．答案：(1)(3)(2)(4)2．(1)每兩人握手一次，無依次之分，是組合問題．(2)每兩人相互寫一封信，是排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有依次區(qū)分的．(3)是排列問題，因為取出3個數(shù)字后，假如變更這3個數(shù)字的依次，便會得到不同的三位數(shù)．(4)是組合問題，因為取出3個數(shù)字后，無論怎樣變更這3個數(shù)字的依次，其構成的集合都不變．排列、組合問題的區(qū)分方法(1)區(qū)分排列與組合的方法是首先弄清晰事務是什么，區(qū)分的標記是有無依次．(2)區(qū)分有無依次的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中隨意兩個對象的位置，看是否會產生新的變更，若有新變更，即說明有依次，是排列問題；若無新變更，即說明無依次，是組合問題．【補償訓練】推斷下列各事務是排列問題還是組合問題，并求出相應的排列數(shù)或組合數(shù)．(1)10人規(guī)定相互通一次電話，共通多少次電話？(2)10支球隊以單循環(huán)進行競賽(每兩隊競賽一次)，共進行多少場次？(3)10支球隊以單循環(huán)進行競賽，這次競賽冠、亞軍獲得者有多少種可能？(4)從10個人中選出3個代表去開會，有多少種選法？(5)從10個人中選出3個不同學科的科代表，有多少種選法？【解析】(1)是組合問題，因為甲與乙通了一次電話，也就是乙與甲通了一次電話，沒有依次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝45.(2)是組合問題，因為每兩個隊競賽一次，并不須要考慮誰先誰后，沒有依次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝45.(3)是排列問題，因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣的，是有依次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＝90.(4)是組合問題，因為三個代表之間沒有依次的區(qū)分，組合數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝120.(5)是排列問題，因為三個人中，擔當哪一科的科代表是有依次區(qū)分的，排列數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))＝720.類型二組合數(shù)公式及其應用(邏輯推理、數(shù)學運算)角度1組合的列舉問題【典例】1.從5個不同的對象a，b，c，d，e中取出2個，列出全部的組合為________．2．寫出從A，B，C，D，E5個對象中，依次取3個對象的全部組合．【思路導引】1．依據(jù)組合的定義即可將組合一一列出．2．選出一個抽取對象的方向將組合一一列出，要做到不重不漏．【解析】1.要想列出全部組合，做到不重不漏，先將對象依據(jù)肯定依次排好，然后按依次用圖示的方法將各個組合逐個地標示出來．如圖所示．答案：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de2．全部組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.把本例1中的a，b，c，d，e看作鐵路途上的5個車站，則這條線上共需打算多少種車票？多少種票價？【解析】因為“a站到b站”與“b站到a站”車票是不同的，故是排列問題，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝20種；但票價與依次無關，“a站到b站”與“b站到a站”是同一種票價，故是組合問題，因為“a站到b站”與“b站到a站”車票是不同的，但票價一樣，所以票價的種數(shù)是車票種數(shù)的一半，故共有eq\f(1,2)×20＝10種不同的票價．角度2與組合數(shù)有關的計算【典例】1.計算Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝________．2．計算Ceq\o\al(\s\up1(5－n),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(9－n),\s\do1(n＋1))的結果為________．【思路導引】1.依據(jù)組合數(shù)公式進行計算．2．求出n的值，再由組合數(shù)公式進行計算．【解析】1.原式＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10))－Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＝eq\f(10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.答案：02.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，))解得4≤n≤5.又因為n∈N*，所以n＝4或n＝5.當n＝4時，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝5.當n＝5時，原式＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝16.答案：5或16巧用組合數(shù)公式解題(1)涉及詳細數(shù)字的可以干脆用Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\f(n（n－1）（n－2）·…·（n－m＋1）,m！)進行計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)計算．(3)計算時應留意利用組合數(shù)的性質Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))簡化運算．【拓展延長】1.在計算與組合數(shù)有關的問題時，一般依據(jù)所要計算的組合數(shù)的特點，若含有詳細數(shù)字應選用乘積式；若含有字母則選用階乘式．2．在組合數(shù)的計算過程中要留意題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))的隱含條件為m≤n，且m，n∈N＋.【拓展訓練】計算Ceq\o\al(\s\up1(38－n),\s\do1(3n))＋Ceq\o\al(\s\up1(3n),\s\do1(21＋n))的值．【解析】因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))所以9.5≤n≤10.5.因為n∈N＋，所以n＝10，所以Ceq\o\al(\s\up1(38－n),\s\do1(3n))＋Ceq\o\al(\s\up1(3n),\s\do1(21＋n))＝Ceq\o\al(\s\up1(28),\s\do1(30))＋Ceq\o\al(\s\up1(30),\s\do1(31))＝eq\f(30！,28！×2！)＋eq\f(31！,30！)＝466.1．若3Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))－6Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝4Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n＋1))，則n＝()A．8B．7C．6D．5【解析】選D.由題意知，3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×eq\f(（n＋1）n,2×1)，解得n＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝\f(2,3)舍去)).2．(2024·青島高二檢測)eq\f(10×9×8×…×4,1×2×3×…×7)可表示為()A．Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(10))B．Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10))C．Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(10))D．Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10))【解析】選D.eq\f(10×9×8×…×4,1×2×3×…×7)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10)),Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)))＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10))Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)))＝Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(10)).3．某人設計一項單人嬉戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為2個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的距離，假如擲出的點數(shù)為i(i＝1，2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，始終循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的全部不同走法共有()A．22種B．24種C．25種D．27種【解析】選D.依據(jù)題意，正方形ABCD的邊長為2個單位，則其周長是8個單位，若拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，則三次骰子的點數(shù)之和是8或16，若三次骰子的點數(shù)之和是8，有①1，1，6；②1，2，5；③1，3，4；④2，2，4；⑤2，3，3，共5種組合，若三次骰子的點數(shù)之和是16，有⑥4，6，6；⑦5，5，6，共2種組合，其中①④⑤⑥⑦，這5種組合有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3種依次，②③這2種組合有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種依次，則拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的全部不同走法共3×5＋2×6＝27種．類型三組合數(shù)性質的應用(數(shù)學運算)1．計算Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))的值為()A．Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2020))B．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(2020))C．Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2021))－1D．Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(2020))－12．(多選題)Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(99))等于()A．Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(100))B．Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(100))C．Ceq\o\al(\s\up1(91),\s\do1(99))D．Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(100))3．若Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(8))＝Ceq\o\al(\s\up1(x＋3),\s\do1(8))，則x的值為________．4．求證：Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋2))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m))＋2Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(m)).【解析】1.選C.Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))－Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))－1＝…＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2020))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020))－1＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(2021))－1.2．選BD.由組合數(shù)的性質，得Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(89),\s\do1(99))＝Ceq\o\al(\s\up1(90),\s\do1(100))＝Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(100)).3．由Ceq\o\al(\s\up1(2x－1),\s\do1(8))＝Ceq\o\al(\s\up1(x＋3),\s\do1(8))得2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2.答案：2或44．由組合數(shù)的性質Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))可知，右邊＝(Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m)))＋(Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(m)))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋1))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(m＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(m＋2))＝左邊，右邊＝左邊，所以原式成立．性質“Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n))”的意義及作用【補償訓練】1.方程Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(14))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－4),\s\do1(14))的解集為()A．{4}B．{14}C．{4，6}D．{14，2}【解析】選C.因為Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(14))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－4),\s\do1(14))，所以x＝2x－4或x＋2x－4＝14，所以x＝4或x＝6.經(jīng)檢驗知x＝4或x＝6符合題意，故方程Ceq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(14))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－4),\s\do1(14))的解集為{4，6}．2．若1<k<n，那么與Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))不相等的是()A．eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(n＋1)) B．eq\f(n,k)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))C．eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n－1)) D．eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))【解析】選D.Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，A中，eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(\s\up1(k＋1),\s\do1(n＋1))＝eq\f(k＋1,n＋1)eq\f(（n＋1）！,（n－k）?。╧＋1）！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，B中，eq\f(n,k)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(n,k)eq\f(（n－1）！,（n－k）?。╧－1）！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，C中，eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n－1))＝eq\f(n（n－1）！,（n－k）（n－k－1）！k！)＝eq\f(n！,（n－k）！k！)，D中，eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(\s\up1(k－1),\s\do1(n－1))＝eq\f(k－1,n－1)eq\f(（n－1）！,（n－k）?。╧－1）！)＝eq\f(（n－2）！,（n－k）?。╧－2）！)，故D與Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(n))不相等．3．Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(20))的值為________．【解析】原式可變?yōu)镃eq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(20))，由Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n＋1))，得Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))，…，所以Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(20))＝Ceq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(21))＝5985.答案：5985課堂檢測·素養(yǎng)達標1．Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝()A．9B．12C．15D．3【解析】選A.由題意得Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝4×3－eq\f(3×2,2)＝12－3＝9.2．若Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))＝6Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(m))，則m等于()A．9B．8C．7D．6