2023年經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一元線性回歸模型

第二章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：一元線性回歸模型

一、內(nèi)容提要

本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體歸

函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開始，是立了回歸分析的基本思想。總體回

歸函數(shù)是對(duì)總體變量間關(guān)系的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設(shè)下得到，但它只是

建立在理論之上，在現(xiàn)實(shí)中只能先從總體中抽取一個(gè)樣本，獲得樣本回歸函數(shù)，并用它對(duì)總

體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計(jì)推斷，

本章的一個(gè)重點(diǎn)是如何獲取線性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）

的學(xué)習(xí)與掌握。同時(shí)，也介紹了極大似然估計(jì)法（ML）以及矩估計(jì)法（MM）。

本章的另一個(gè)重點(diǎn)是對(duì)樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，即進(jìn)行所

謂的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)包括兩個(gè)方面.，一是先檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與樣本點(diǎn)的“擬合優(yōu)度”，

第二是檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個(gè)層次：第一，檢

驗(yàn)解釋變量對(duì)被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關(guān)系，通過變量的t檢驗(yàn)完成；第二,

檢驗(yàn)回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過參數(shù)估計(jì)值的“區(qū)間檢驗(yàn)”完成。

本章還有三方面的內(nèi)容不容忽視。其一，若干基本假設(shè)。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計(jì)以

及對(duì)參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析以及所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷都是建立在這些基本假設(shè)之上的。

其二，參數(shù)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析，包括小樣本性質(zhì)與大樣本性質(zhì)，尤其是無偏性、有效性

與一致性構(gòu)成J’對(duì)樣本估計(jì)量優(yōu)劣的最主要的衡量準(zhǔn)則。Goss-markov定理表明OLS估計(jì)量

是最佳線性無偏估計(jì)量。其三，運(yùn)用樣本回歸函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，包括被解釋變量條件均值與個(gè)

值的預(yù)測(cè)，以及預(yù)測(cè)置信區(qū)間的計(jì)算及其變化特征。

二、典型例題分析

例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過教育的年數(shù)。生

育率對(duì)教育年數(shù)的簡(jiǎn)單回歸模型為

kids=+0?duc+〃

（1）隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)〃包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關(guān)嗎？

（2）上述簡(jiǎn)單回歸分析能夠揭示教育對(duì)生育率在其他條件不變下的影響嗎？請(qǐng)解釋。

解答：

（1）收入、年齡、家庭狀況、政府的相關(guān)政策等也是影響生育率的重要的因素，在上

述簡(jiǎn)單回歸模型中，它們被包含在了隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之中。有些因素可能與增長率水平相關(guān)，如

收入水平與教育水平往往呈正相關(guān)、年齡大小與教育水平呈負(fù)相關(guān)等。

（2）當(dāng)歸結(jié)在隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關(guān)時(shí)，上述同

歸模型不能夠揭示教育對(duì)生育率在其他條件不變下的影響，因?yàn)檫@時(shí)出現(xiàn)解釋變量與隨機(jī)擾

動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的情形，基本假設(shè)4不滿足。

例2.已知回歸模型E=&十網(wǎng)上〃，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金（元），

N為所受教育水平（年隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)〃的分布未知，其他所有假設(shè)都滿足。

（1）從直觀及經(jīng)濟(jì)角度解釋。和夕。

（2）OLS估計(jì)量8和力滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡(jiǎn)單陳述理由。

（3）對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)還能進(jìn)行嗎？簡(jiǎn)單陳述理由。

解答：

（1）a十網(wǎng)為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金。當(dāng)N為零時(shí)，平均薪金

為。，因此。表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。夕是每單位N變化所引起的E的

變化，即表示每多接受一年學(xué)校教育所對(duì)應(yīng)的薪金增加值。

（2）OLS估計(jì)量日和仍分滿足線性性、無偏性及有效性，因?yàn)檫@些性質(zhì)的的成立無需

隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)〃的正態(tài)分布假設(shè)。

（3）如果人的分布未知，則所有的假設(shè)檢驗(yàn)都是無效的。因?yàn)閠檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)是建立

在〃的正態(tài)分布假設(shè)之上的。

例3、在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計(jì)量單位由元改為100元，估計(jì)的

截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計(jì)的截距

項(xiàng)與斜率項(xiàng)有無變化？

解答：

首先考察被解釋變量度量單位變化的情形。以E*表示以百元為度量單位的薪金，則

E=E*xlOO=a+0N+〃

由此有如下新模型

E*=(a/100)+(￡/100)N+(〃/100)

或E*=a*+￡*N+〃*

這里。*=。/100,力*=夕/100。所以新的回歸系數(shù)將為原始模型回歸系數(shù)的1/100,

再考慮解釋變量度量單位變化的情形。設(shè)N*為用月吩表示的新員工受教育的時(shí)間長度,

則N*=12N,于是

E=a+0N+〃=a+/7(N*/12)+〃

或E=a+(4〃2)N*+〃

可見，估計(jì)的截距項(xiàng)不變，而斜率項(xiàng)將為原回歸系數(shù)的1/12。

例4、對(duì)沒有截距項(xiàng)的一元【可歸模型

Y[=B\X/冉

稱之為過原點(diǎn)回歸(regrissionthroughtheorigin)o試證明

(1)如果通過相應(yīng)的樣本回歸模型可得到通常的的正規(guī)方程組

IX=。

Z?,X.=0

則可以得到用的兩個(gè)不同的估計(jì)值：=Y/X,8\=》X/)/?X：)。

(2)在基本假設(shè)七(從)=0下，A與以均為無偏估計(jì)量。

(3)擬合線P=通常不會(huì)經(jīng)過均值點(diǎn)(元力，但擬合線聲=/"則相反。

<4)只有。是4的OLS估計(jì)量。

解答：

(1)由第一個(gè)正規(guī)方程Z9=o得

三匕-反x,)=o

或

求解得q/又

由第2個(gè)下規(guī)方程2X,（工一2X,）=0得

求解得厭=>xx）/0x；）

（2）對(duì)于A=Y/X,求期望

~--11

￡(/7,)=E(yy%)=-=￡[-(/?,X,+//,)]

=春閭且區(qū))+&〃,)]

Xn

v

=qB\=B\

A

這里用到了X,的非隨機(jī)性。

對(duì)于以=（Zx/;）/（Zx：）,求期望

E（灰）=E0xx/￡x；）

=（^JT）ZE（X5）=（^r）Z可匕（AX,+/Ol

=（齒冽Z（x；）+（六）ZX,EW）=A

（3）要想擬合值Y=^X通過點(diǎn)（E力，B\又必須等于「。但方￡=咨4

通常不等于F。這就意味著點(diǎn)（%,F）不太可能位于直線V=Ax上。

相反地，由于反又=落所以直線V=/1X經(jīng)過點(diǎn)（￡F）。

（4）OLS方法要求殘差平方和最小

MinRSS=EO：=2（X「AX）2

關(guān)于自求偏導(dǎo)得

cRSS=2?X-6X,)(—X,)=()

即ZZ(匕一Rx,)=o

自=(*)/￡X：)

可見總是OLS估計(jì)量。

例5.假設(shè)模型為匕=。+管，+從。給定〃個(gè)觀察直（*1,匕），（丫2，丫2），一，（*”,％），

按如下步驟建立夕的一個(gè)估計(jì)量：在散點(diǎn)圖上把第1個(gè)點(diǎn)和第2個(gè)點(diǎn)連接起來并計(jì)算該直

線的斜率；同理繼續(xù)，最終將第1個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)連接起來并計(jì)算該條線的斜率；最后對(duì)

這些斜率取平均值，稱之為成，即尸的估計(jì)值。

（1）畫出散點(diǎn)圖，給出方的幾何表示并推出代數(shù)表達(dá)式。

（2）計(jì)算力的期望值并對(duì)所做假設(shè)進(jìn)行陳述。這個(gè)估計(jì)值是有偏的還是無偏的？解

釋理由。

（3）證明為什么該估計(jì)值不如我們以前用OLS方法所獲得的估計(jì)值，并做具體解釋。

解答：

（1）散點(diǎn)圖如卜圖所示。

首先計(jì)算每條直線的斜率并求平均斜率。連接（X1,yj和（X,,匕）的直線斜率為

（匕一X）/（X,-XJ。由于共有〃一1條這樣的直線，因此

A

3=

（2）因?yàn)閄非隨機(jī)且E（從）=0,因此

Y-Y(a++從)-(a+PX]+〃[)從一從

E\11]=E[]=/?+￡[

X「X\X「X|

這意味著求和中的每i項(xiàng)都有期望值/，所以平均值也會(huì)有同樣的期望值，則表明是無偏

的。

（3）根據(jù)高斯一馬爾可夫定理，只有夕的OLS估計(jì)量是最付佳線性無偏估計(jì)量，因此，

這里得到的P的有效性不如p的OLS估計(jì)量，所以較差。

例6.對(duì)于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式S,=a+/匕+從使用美國36年的年度數(shù)

據(jù)得如下估計(jì)模型，括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差：

$=384.1（）5+0.067匕

（151.105）（0.011）

收=0.5386-=199.023

（1）夕的經(jīng)濟(jì)解釋是什么？

（2）a和4的符號(hào)是什么？為什么？實(shí)際的符號(hào)與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話,

你可以給出可能的原因嗎？

（3）對(duì)于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？

（4）檢驗(yàn)是否每一個(gè)回歸系數(shù)都與零顯著不同（在1%水平下）。同時(shí)對(duì)零假設(shè)和備擇假

設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值、其分布和自由度以及拒絕零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行陳述。你的結(jié)論是什么？

解答：

（1）￡為收入的邊際儲(chǔ)蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時(shí)人均儲(chǔ)蓄的預(yù)期平均變

化量。

（2）由于收入為零時(shí)，家庭仍會(huì)有支出，可預(yù)期零收入時(shí)的平均儲(chǔ)蓄為負(fù)，因此a符

號(hào)應(yīng)為負(fù)。儲(chǔ)蓄是收入的一部分，且會(huì)隨著收入的增加而增加，因此預(yù)期夕的符號(hào)為正。

實(shí)際的回歸式中，夕的符號(hào)為正，與預(yù)期的一致。但截距項(xiàng)為負(fù)，與預(yù)期不符。這可能與

由于模型的錯(cuò)誤設(shè)定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲(chǔ)蓄形為，省略該變量將對(duì)

截距項(xiàng)的估計(jì)產(chǎn)生影響；另一種可能就是線性設(shè)定可能不正確。

（3）擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對(duì)被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優(yōu)度,

表明收入的變化可.以解釋儲(chǔ)蓄中53.8%的變動(dòng)。

（4）檢驗(yàn)單個(gè)參數(shù)采用］檢驗(yàn)，零假設(shè)為參數(shù)為零，備擇假設(shè)為參數(shù)不為零。雙變量

情形下在零假設(shè)下I分布的自由度為42=36-2=34。由t分布表知，雙側(cè)1%下的臨界值位于

2.750與2.704之間。斜率項(xiàng)計(jì)算的I值為0.067/0.011=6.09,截距項(xiàng)計(jì)算的t值為

384.105/151.105=2.54o可見斜率項(xiàng)計(jì)算的t值大于臨界值，截距項(xiàng)小于臨界值，因此拒絕

斜率項(xiàng)為零的假設(shè)，但不拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。

三、習(xí)題

（-）基本知識(shí)類題型

2-1.解釋下列概念：

1)總體回歸函數(shù)11）最大似然法

2)樣本回歸函數(shù)12）估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差

3)隨機(jī)的總體回歸函數(shù)13）總離差平方和

4)線性回歸模型14）回歸平方和

5)隨機(jī)誤差項(xiàng)（Ui）和殘差項(xiàng)（ei）15）殘差平方和

6)條件期望16）協(xié)方差

7)非條件期望17）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

8)回歸系數(shù)或回歸參數(shù)18)t檢驗(yàn)

9)回歸系數(shù)的估計(jì)曷19)F桁驗(yàn)

10)最小平方法

2-2.判斷正誤并說明理由：

1)隨機(jī)誤差項(xiàng)5和殘差項(xiàng)向是一回事

2）總體回歸函數(shù)給出了對(duì)應(yīng)于每一個(gè)自變量的因變量的值

3）線性回歸模型意味著變量是線性的

4）在線性回歸模型中，解釋變扁是原因，被解釋變最是結(jié)果

5）隨機(jī)變量的條件均值與非條件均值是一回事

2-3.回答下列問題：

1）線性回歸模型有哪些基本假設(shè)？違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是否就不可估計(jì)？

2）總體方差與參數(shù)估計(jì)誤差的區(qū)別與聯(lián)系。

3）隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui和殘差項(xiàng)ei的區(qū)別與聯(lián)系。

4）根據(jù)最小二乘原理，所估計(jì)的模型已經(jīng)使得擬合誤差達(dá)到最小，為什么還要討論模型的

擬合優(yōu)度問題？

5）為什么用決定系數(shù)K評(píng)價(jià)擬合優(yōu)度，而不用殘差平方和作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)？

6）R2檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)的區(qū)別與聯(lián)系。

7）回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別與聯(lián)系。

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第8頁共20頁

8)最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？說明它們有何區(qū)別？

9)為什么要進(jìn)行解釋變量的顯著性檢驗(yàn)？

10)是否任何兩個(gè)變量之訶的關(guān)系，都可以用兩變量線性回歸模型進(jìn)行分析？

2-2,卜列方程哪些是正確的？哪些是錯(cuò)誤的？為什么？

(1)yf=a+ftxtt=1,2,--?,/?

⑵yr=a+flxr，=1,2,…,〃

人

(3)yt=a+1=1,2,…,〃

A.

(4)%=&+/7芍+4f=1,2,…，〃

人

(5)yt=a+pxtI=1,2,…,〃

(6)yf-ct+[i.vfr=1,2,…,〃

(7)yt=a+0xf+l=1,2,-??,/:

A

(8)yf=a+pX,+/=1,2,…,〃

其中帶“.”者表示“估計(jì)值”。

2-3.下表列出若干對(duì)自變量與因變量。對(duì)每一對(duì)變量，你認(rèn)為它們之間的關(guān)系如何？是正

的、負(fù)的、還是無法確定？并說明理由。

因變量自變量

GNP利率

個(gè)人儲(chǔ)蓄利率

小麥產(chǎn)出降雨量

美國國防開支前蘇聯(lián)國防開支

棒球明星本壘打的次數(shù)其年薪

總統(tǒng)聲譽(yù)任職時(shí)間

學(xué)生計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)成績其統(tǒng)計(jì)學(xué)成績

日本汽車的進(jìn)口量美國人均國民收入

(二)基本證明與問答類題型

2-4.對(duì)于一元線性回歸模型，試證明:

(1)E(yi)=a+ftxt

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（2）。⑴"

⑶力）=0j

2-5.參數(shù)估計(jì)量的無偏性和有效性的含義是什么？從參數(shù)估計(jì)量的無偏性和有效性證明過

程說明，為什么說滿足基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量才具有無偏性

和有效性？

2-6.對(duì)于過原點(diǎn)回歸模型匕，試證明

府）=梟

2-7.試證明：

（1）Z"二°，從而：2二0

（2）fe/j=0

（3）即殘差“與匕的估計(jì)值之積的和為零。

2-8.為什么在一元線性方程中，最小二乘估計(jì)量與極大似然估計(jì)量的表達(dá)式是一致的？證

明：。2的乂1估計(jì)量為02=1之區(qū)2,并且是有編的。

〃,二1

2-9.熟悉t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法和查表判斷。

2-10.證明：R2=Q.）2；其中R2是一元線性回歸模型的判定系數(shù)，r只是y與X的相關(guān)

系數(shù)。

2-11.試根據(jù)置信區(qū)間的概念解釋I檢驗(yàn)的概率意義，即證明：對(duì)于顯著性水平a,當(dāng)

嗎時(shí)，卜的1°°）%的置信區(qū)間不包含。。

2-12.線性回歸模型

f=1,2,…,〃

yt=a+flxt+//,

的。均值假設(shè)是否可以表示為為什么？

2-13.現(xiàn)代投資分析的特征線涉及如下回歸方程：1為+小其中：1■表示股票

或債券的收益率；5表示有價(jià)證券的收益率（用市場(chǎng)指數(shù)表示，如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）；I

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表示時(shí)間。在投資分析中，M被稱為債券的安全系數(shù)B,是用來度量市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)程度的，

即市場(chǎng)的發(fā)展對(duì)公司的財(cái)產(chǎn)有何影響。依據(jù)19567976年間240個(gè)月的數(shù)據(jù)，F(xiàn)ogler和

Ganpathy得到IBM股票的回歸方程；市場(chǎng)指數(shù)是在芝加哥大學(xué)建立的市場(chǎng)有價(jià)證券指數(shù)：

r；=0.7264+1.0598加產(chǎn)=0.4710

（0.3001）（0.0728）

要求：（1）解釋回歸參數(shù)的意義；（2）如何解釋F?（3）安全系數(shù)6>1的證券稱為不穩(wěn)定

證券，建立適當(dāng)?shù)牧慵僭O(shè)及備選假設(shè)，并用t檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)（a=5%）。

八，1一

2-14.已知模型匕=。+及￡+%,證明：估計(jì)量a可以表示為：。=￡（一一文叱）必這

2-15.已知兩個(gè)量X和Y的一組觀察值（xi，yi）,i=l,2,n0

證明：Y的真實(shí)值和擬合值有共同的均值。

2-16.一個(gè)消費(fèi)分析者論證了消費(fèi)函數(shù)C：=〃+〃匕是無用的，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖上的點(diǎn)（6，匕）

不在直線弓二。+〃匕上°他還注意到，有時(shí)Yi上升但G下降。因此他下結(jié)論：G不是Yi

的函數(shù)。請(qǐng)你評(píng)價(jià)他的論據(jù)（這里G是消費(fèi)，K是收入）。

2-17.證明：僅當(dāng)R2=l時(shí)，y對(duì)x的線性回歸的斜率估計(jì)量等于x對(duì)y的線性回歸的斜率

估計(jì)量的倒數(shù)。

ACA

2-18.證明：相關(guān)系數(shù)的另一個(gè)表達(dá)式是：r=0T其中夕為一元線性回歸模型一次項(xiàng)

Sy

系數(shù)的估計(jì)值，S-Sy分別為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

2-19.對(duì)于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型：匕=/%+AX,+%,其OLS估計(jì)參數(shù)，的特性在下列情況下

會(huì)受到什么影響：（1）觀測(cè)值數(shù)目n增加；（2）Xi各觀測(cè)值差額增加；（3）Xi各觀測(cè)值近

似相等；（4）E（u2）=03

2-20.假定有如下的回歸結(jié)果：Yt=2.6911-0.4795Xf,其中，Y表示美國的咖啡的消費(fèi)

量（每天每人消費(fèi)的杯數(shù)），X表示咖啡的零售價(jià)格（美元/杯），t表示時(shí)間。

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要求：

（1）這是一個(gè)時(shí)間序列回歸還是橫截面序列回歸？做出回歸線；

（2）如何解釋截距的意義，它有經(jīng)濟(jì)含義嗎？如何解釋斜率？

（3）能否求出真實(shí)的總體回歸函數(shù)？

（4）根據(jù)需求的價(jià)格彈性定義；彈性=斜率X（X/Y）,依據(jù)上述回歸結(jié)果，你能求出對(duì)咖

啡需求的價(jià)格彈性嗎？如果不能，計(jì)算此彈性還需要其他什么信息？

（三）基本計(jì)算類題型

2-21.下面數(shù)據(jù)是對(duì)X和Y的觀察值得到的。

EYi=1110；EXi=1680；EXiYi=204200

￡Xi2=315400；EYi2=133300

假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設(shè)，要求：（l）bi和b2?（2）6和b2的標(biāo)準(zhǔn)差？（3）

2

r?（4）對(duì)&、B2分別建立95%的置信區(qū)間？利用置信區(qū)間法，你可以接受零假設(shè)：B2=0

嗎？

2-22.假設(shè)王先生估計(jì)消費(fèi)函數(shù)（用模型G=。+8匕?表示），并獲得下列結(jié)果：

3=15+（）.81匕，n=19

（3.1）（18.7）R2=0.98這里括號(hào)里的數(shù)字表示相應(yīng)參數(shù)的T比率值。

要求：（1）利用T比率值檢驗(yàn)假設(shè)：b=0（取顯著水平為5%）；（2）確定參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

方差；（3）構(gòu)造b的95%的置信區(qū)間，這個(gè)區(qū)間包括0嗎？

2-23.下表給出了每周家庭的消費(fèi)支出Y（美元）與每周的家庭的收入X（美元）的數(shù)據(jù)。

每周收入（X）每周消費(fèi)支出＜Y）

8055,60,65,70,75

10065,70,14,80,85,88

12()79,84,SO,94,9X

14080,93,55,103,108,113,115

160102,107,110,116,118,125

180110,115,120,130,135,140

200120,136,140,144,145

220135,137,14(),152,157,16().162

240137,145,155,165,175,189

260150,152,175,178.180,185,191

要求:

第11頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第12頁共20頁

（1）對(duì)每一收入水平，計(jì)算平均的消費(fèi)支出，E（YIXi）,即條件期望值；

（2）以收入為橫軸、消費(fèi)支出為縱軸作散點(diǎn)圖；

（3）在散點(diǎn)圖中，做出11）中的條件均值點(diǎn)；

（4）你認(rèn)為X與Y之間、X與Y的均值之間的關(guān)系如何？

（5）寫出其總體回歸函數(shù)及樣本回歸函數(shù)；總體回歸函數(shù)是線性的還是非線性的？

2-24.根據(jù)上題中給出的數(shù)據(jù)，對(duì)每一個(gè)X值，隨機(jī)抽取一個(gè)Y值，結(jié)果如下：

Y70659095110115120140155150

X80!00120140160180200220240260

要求：

（1）以Y為縱軸、X為橫軸作圖，并說明Y與X之間是怎樣的關(guān)系？

（2）求樣本回歸函數(shù)，戶按要求寫出計(jì)算步驟；

（3）在同一個(gè)圖中，做出樣本回歸函數(shù)及從上題中得到的總體回歸函數(shù)；比較二者相同嗎？

為什么？

2-25.下表給出了1990~1996年間的CPI指數(shù)與S&P500指數(shù)。

年份CPIS&P500指數(shù)

1990130.7334.59

1991136.2376.18

1992140.3415.74

1993144.S451.41

1994148.2460.33

1995152.4541.64

1996159.6670.83

資料來源：總統(tǒng)經(jīng)濟(jì)報(bào)告，1997.CPI指政見表B-60,第380頁：S&P指數(shù)見表B-93,第406頁.

要求：（I）以CPI指數(shù)為橫軸、S&P指數(shù)為縱軸做圖；

（2）你認(rèn)為CPI指數(shù)與S&P指數(shù)之間關(guān)系如何？

（3）考慮下面的回歸模型：（S&Q）,二q+禺677,+/，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)運(yùn)用OLS

估計(jì)上述方程，并解釋你的結(jié)果；你的結(jié)果有經(jīng)濟(jì)意義嗎？

2-26.下表給出了美國30所知名學(xué)校的MBA學(xué)生1994年基本年薪（ASP）、GPA分?jǐn)?shù)（從

1~4共四個(gè)等級(jí)）、GMAT分?jǐn)?shù)以及每年學(xué)費(fèi)的數(shù)據(jù)。

學(xué)校ASP/美元GPAGMAT學(xué)費(fèi)/美元

Harvard1026303.465023894

第12頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第13頁共20頁

Stanford1008303.366521189

Columbian1004803.364021400

Dartmouth954103.466021225

Wharton899303.465021050

Northwestern8464)3.364020634

Chicago832103.365021656

MIT805003.565021690

Virginia742803.264317839

UCLA740103.564014496

Berkeley719703.264714361

Comell719703.263020400

NUY706603.263020276

Duke704903.362321910

CarnegieMellon598903.263520600

NorthCarolina698803.262110132

Michigan678203.263020960

Texas618903.3625858()

Indiana585203.261514036

Purdue547203.25819556

CaseWestern572003.159117600

Georgetown698303.261919584

MichiganSlate418203.259016057

PennSlate491203.258011400

SouthernMethodist609103.160018034

Tulane440803.160019550

Illinois471303.261612628

Lowa416203.25909361

Minnesota482503.260012618

Washington4414)3.361711436

要求：（1）用雙變量回歸模型分析GPA是否對(duì)ASP有影響？

（2）用合適的回歸模型分析GMAT分?jǐn)?shù)是否與ASP有關(guān)？

（3）每年的學(xué)費(fèi)與ASP有關(guān)嗎？你是如何知道的？如果兩變最之間正相關(guān)，是否意

味著進(jìn)到最高費(fèi)用的商業(yè)學(xué)校是有利的；

（4）你同意高學(xué)費(fèi)的商業(yè)學(xué)校意味著高質(zhì)量的MBA成績嗎？為什么？

2-27.從某工業(yè)部門抽取10個(gè)生產(chǎn)單位進(jìn)行調(diào)查，得到下表所列的數(shù)據(jù)：

單位序號(hào)年產(chǎn)量（萬噸）V工作人員數(shù)（千人）X

1210.87.062

第13頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第14頁共20頁

2210.17.031

3211.57.018

4208.96.991

5207.46.974

6205.37.953

7198.86.927

8192.16.302

9183.26.021

10176.85.310

要求：假定年產(chǎn)量與工作人員數(shù)之間存在線性關(guān)系，試用經(jīng)典回歸估計(jì)該工業(yè)部門的生產(chǎn)函

數(shù)及邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率。

2-28.下表給出了1988年9個(gè)工業(yè)國的名義利率（Y）與通貨膨脹率（X）的數(shù)據(jù)：

國家Y(%)X(%)

澳大利亞11.97.7

加拿大9.44.0

法國7.53.1

德國4.01.6

意大利11.34.8

墨西哥66.351.0

瑞典2.22.0

英國10.36.8

美國7.64.4

資料來源：原始數(shù)據(jù)來自國際貨幣基金組織出版的《國際金融統(tǒng)計(jì)》

要求：

（1）以利率為縱軸、通貨膨脹率為橫軸做圖；

（2）用OSL進(jìn)行回歸分析，寫出求解步驟；

（3）如果實(shí)際利率不變，則名義利率與通貨膨脹率的關(guān)系如何？

（四）自我綜合練習(xí)類題型

2-29.綜合練習(xí)：自己選擇研究對(duì)象，收集樣本數(shù)據(jù)（利用我國公開發(fā)表的統(tǒng)計(jì)資料），應(yīng)

用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件（建議使用Eviews3.l）完成建立.計(jì)年經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的全過程，并寫出詳細(xì)

的研究報(bào)告。（通過練習(xí)，能夠熟練應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件Eviews3.l中的最小二乘法）

四、習(xí)題參考答案

第14頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第15頁共20頁

2-1.答：

（1）總體回歸函數(shù)是指在給定Xj下的Y的分布的總體均值與X,有函數(shù)關(guān)系。

⑵樣本回歸函數(shù)指對(duì)應(yīng)于某個(gè)給定的x的y值的一個(gè)樣本而建立的回歸函數(shù)。

（3）隨機(jī)的總體回歸函數(shù)指含有隨機(jī)誤差項(xiàng)的總體回歸函數(shù)，形如：

匕-四+AXj+q

⑷線性回歸模型指對(duì)參數(shù)￡為線性的回歸，即￡只以它的1次方出現(xiàn)，對(duì)X可以是或

不是線性的。

⑸隨機(jī)誤差項(xiàng)也稱誤差項(xiàng)，是一個(gè)隨機(jī)變量，針對(duì)總體回歸函數(shù)而言。

⑹殘差項(xiàng)是一隨機(jī)變量，針對(duì)樣本回歸函數(shù)而言。

⑺條件期望又稱條件均值，指x取特定x,值時(shí)的y的期望值。

⑼回歸系數(shù)（或回歸參數(shù)）指四、四等未知但卻是固定的參數(shù)。

Q0）回歸系數(shù)的估計(jì)量指用汽、A等表示的用已知樣本所提供的信息去估計(jì)出來f勺量。

?估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差指度量一個(gè)變量變化大小的標(biāo)準(zhǔn)。

（14）總離差平方和用TSS表示，用以度量被解釋變量的總變動(dòng)。

（15）回歸平方和用ESS表不，用以度量由解釋變量變化引起的被解釋變量的變化。

（⑹殘差平方和用RSS表示，用以度量實(shí)際值與擬合值之間的差異，是由除解釋變量以

外的其他因素引起的。

⑺協(xié)方差用Cov（X,Y）表示，是用來度量X、Y二個(gè)變量同時(shí)變化的統(tǒng)計(jì)量。

2-2.答：錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)。（理由見本章其他習(xí)題答案）

2-3.答：

⑴線性回歸模型的基本假設(shè)（實(shí)際是針對(duì)普通最小二乘法的基本假設(shè)）是：解釋變量是

確定性變量，而且解釋變量之間互不相關(guān)；隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差：隨機(jī)誤差項(xiàng)在

不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)；隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)：隨機(jī)誤差

項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型還是可以估計(jì)的，只是

不能使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。

rccocc

⑸判定系數(shù)R2=—=\-——,含義為由解釋變量引起的被解釋變量的變化占被解

TSSTSS

第15頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第16頁共20頁

樣變量總變化的比重，用來判定回歸直線擬合的優(yōu)劣,該值越大說明擬合得越好。

(10)不是。

2-8.證明：

yx,r,

由于1=￡丫,因此

VaMB、）=.（柒。）Xx（xX

"&"Z黃VarWX,+冉）

乙X,"XI；I"一

X2

2-9.證明：

⑴根據(jù)定義得知，

工0=Za-*)=Za一4一片Xj=Z匕一叨一分Z元

=nY-n^-np2X=n(Y一4-必)

?：Y=B\+瓦又

.?.Z，=°

從而使得：。=白二=0

n

證畢。

v2＞陽=Z（匕-Z）（X「又）=x（匕X,-郎-X,Y+雙）

=Z^Xj—郎一（…）X,+M-切］

=Z（匕Xj-XYt-Y.X.+eiXi+XYt-e.X

=Z（，Xj-eK）

=0

.?.￡,區(qū)=0

證畢。

⑶

第16頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第17頁共20頁

E*=￡%(d+AXi)=+%￡eiXi

=監(jiān)工+〃鄧》3

=0

證畢。

2-14.答：線性回歸模型：y,=a+￡x,+〃,中的0均值假設(shè)E(〃2)=o不可以表示為:

,才必=0,因?yàn)榍罢弑硎救⊥晁目赡艿臉颖窘M合后的平均狀態(tài)，而后者只是一個(gè)樣本

n/?1

的平均值。

2-16.證明：

力出

?=j-^=yA_j/=1______

汽后

<=|

ZXJ，=Zx(y-刃=力用y一點(diǎn)工二力Xx

f=lr=i/=!i=l/=!

人巖-京244-帶”

?=|1=1

證畢。

2-17.證明:

?.?日和月滿足正規(guī)方程宜卜一(&+8、)==0

%=應(yīng)+慶

Z(y一力)=0即表明丫的真實(shí)值與擬合值有共同的均值。

1=1

證畢。

2-18.答：他的論據(jù)是錯(cuò)誤的。原因是他忽略了隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì),這個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)可取正

值和負(fù)值，但是E(%)=0,將G與匕的關(guān)系表達(dá)為G=。+￡匕是不準(zhǔn)確的，而是一個(gè)

第17頁共20頁

編號(hào)：

時(shí)間：2021年X月X日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第18頁共20頁

平均關(guān)系。

2-19.證明：

設(shè)：自=&（）+&/,?，

E=A）+Ry”

由于：浦=1%:=1.*;=（七:二

二與Z焉Lx-

VX-V11

線性回歸的斜率估計(jì)量：?,=等?==——=4-

證畢。

2-20.證明:

證畢。

2-22.解：

⑴這是一個(gè)橫截面序列回歸。（圖略）

⑵截距2.6911表示咖啡零售價(jià)在f時(shí)刻為每磅0美元時(shí)，美國平均消費(fèi)量為每天每人

2.6911杯，這個(gè)數(shù)字沒有經(jīng)濟(jì)意義;斜率-0.4795表示咖啡零售價(jià)與消費(fèi)量負(fù)相關(guān)，在，時(shí)刻，

價(jià)格上升1美元/磅，則平均每天每人消費(fèi)量減少0/1795杯；

⑶不能；

⑷不能；在同一條需求曲線上不同點(diǎn)的價(jià)格彈性不司，若要求出，須給出具體的X值

及與之對(duì)應(yīng)的y值。

2-23.解：

_yX,_zx

⑴???X=￡^=168,Y=^-^=111