中央財經(jīng)大學(xué)微積分課件Ch

中央財經(jīng)大學(xué)微積分課件本課件將引導(dǎo)您深入了解微積分的奧妙，并探索其在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。課程簡介內(nèi)容概述本課程旨在為學(xué)生提供微積分的基礎(chǔ)知識，涵蓋極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等核心概念。學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)完本課程后，學(xué)生將能夠理解微積分的核心概念，并應(yīng)用其解決實際問題。教學(xué)方式課堂授課結(jié)合練習(xí)，并提供課后習(xí)題和輔導(dǎo)材料，幫助學(xué)生鞏固知識和提高解題能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握微積分的基本概念理解極限、導(dǎo)數(shù)和積分的定義、性質(zhì)和計算方法。應(yīng)用微積分解決實際問題運(yùn)用微積分知識解決幾何、物理、工程等領(lǐng)域中的實際問題。提升數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)抽象思維、邏輯推理和問題解決能力。加強(qiáng)團(tuán)隊合作能力鼓勵學(xué)生積極參與課堂討論和小組學(xué)習(xí)，提升團(tuán)隊合作能力。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧11.代數(shù)理解代數(shù)的基本運(yùn)算，包括加減乘除、指數(shù)、對數(shù)和方程。22.幾何掌握基本的幾何概念，例如直線、平面、三角形、圓形和立體幾何。33.三角函數(shù)熟悉三角函數(shù)的概念，包括正弦、余弦、正切以及它們的性質(zhì)。44.導(dǎo)數(shù)與積分理解導(dǎo)數(shù)和積分的基本概念，這是微積分的核心基礎(chǔ)。集合和邏輯集合的概念集合是數(shù)學(xué)中一個基本的概念，用于描述一組對象的集合。集合可以用枚舉法、描述法或圖形法表示。邏輯的基礎(chǔ)邏輯是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，用于推理和證明結(jié)論。邏輯包括命題邏輯、謂詞邏輯等。函數(shù)和圖像函數(shù)的圖像函數(shù)圖像可以幫助我們直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。對稱性一些函數(shù)的圖像具有特殊的對稱性，例如奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。坐標(biāo)系函數(shù)圖像通常繪制在笛卡爾坐標(biāo)系中，橫軸表示自變量，縱軸表示因變量?；境醯群瘮?shù)冪函數(shù)形如y=x^n的函數(shù)，n為實數(shù)。例如，y=x^2，y=x^(1/2)，y=x^(-1)。指數(shù)函數(shù)形如y=a^x的函數(shù)，a為大于0且不等于1的常數(shù)。例如，y=2^x，y=e^x。對數(shù)函數(shù)形如y=log_a(x)的函數(shù)，a為大于0且不等于1的常數(shù)。例如，y=log_2(x)，y=ln(x)。三角函數(shù)例如，正弦函數(shù)y=sin(x)，余弦函數(shù)y=cos(x)，正切函數(shù)y=tan(x)等。極限的概念11.逼近值當(dāng)一個變量的值無限接近于某個固定值時，函數(shù)的值也無限接近于某個特定的值，這個特定的值被稱為極限。22.無限接近極限是函數(shù)值在自變量無限接近某個值的條件下，函數(shù)值無限接近的一個特定的值。33.極限值極限值并非函數(shù)在該點(diǎn)的取值，而是函數(shù)在該點(diǎn)附近時，函數(shù)值的趨向。44.重要性極限是微積分的基礎(chǔ)概念，它為導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念的定義奠定了基礎(chǔ)。直觀理解函數(shù)圖像函數(shù)圖像可以幫助我們直觀地理解函數(shù)的變化趨勢，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)等。導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的斜率，直觀地理解就是曲線在該點(diǎn)的切線斜率。積分積分可以用來計算曲線下的面積，直觀地理解就是求解曲線與x軸之間的區(qū)域面積。極限的正式定義ε-δ定義在數(shù)學(xué)分析中，極限的正式定義是使用ε-δ語言來描述的。它基于以下思想：當(dāng)自變量x無限接近某一點(diǎn)a時，函數(shù)值f(x)無限接近某個值L。ε和δ的意義ε代表一個任意的正數(shù)，表示函數(shù)值與極限值之間的誤差范圍。δ代表一個正數(shù)，表示自變量與極限點(diǎn)之間的距離范圍。極限的性質(zhì)和計算極限運(yùn)算法則極限的運(yùn)算遵循一些基本法則，如加法、減法、乘法和除法。重要極限有一些常見的極限公式，例如，當(dāng)x趨于無窮時，1/x的極限為0。極限的性質(zhì)極限具有連續(xù)性、唯一性和有界性等重要性質(zhì)，這些性質(zhì)在后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)中非常重要。極限運(yùn)算法則和法則兩個函數(shù)的極限之和等于其極限的和。差法則兩個函數(shù)的極限之差等于其極限的差。積法則兩個函數(shù)的極限的積等于其極限的積。商法則兩個函數(shù)的極限的商等于其極限的商，當(dāng)分母的極限不為零時。著名極限sinx/x當(dāng)x趨近于0時，sinx/x的極限等于1，這是微積分中一個非常重要的極限，它在許多應(yīng)用中都有用到。(1+1/x)^x當(dāng)x趨近于無窮大時，(1+1/x)^x的極限等于e，這是一個常數(shù)，它在許多數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。ln(1+x)/x當(dāng)x趨近于0時，ln(1+x)/x的極限等于1，這是一個用來計算一些重要積分的公式。x^n/e^x當(dāng)x趨近于無窮大時，x^n/e^x的極限等于0，無論n是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，這個極限表示指數(shù)函數(shù)比任何多項式函數(shù)增長得更快。連續(xù)函數(shù)定義如果函數(shù)在某一點(diǎn)的左右極限都存在且相等，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)連續(xù)，意味著它在該區(qū)間內(nèi)的每個點(diǎn)上都是連續(xù)的。性質(zhì)連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上具有許多重要的性質(zhì)，例如中間值定理和介值定理。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條平滑的曲線，沒有間斷點(diǎn)或跳躍。連續(xù)性的定義函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)表示函數(shù)圖像在該點(diǎn)沒有間斷。ε-δ定義對于任意小的ε，存在δ，使得當(dāng)x在x0的δ鄰域內(nèi)時，f(x)與f(x0)之間的距離小于ε。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)11.中間值定理對于一個在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的任意兩個函數(shù)值之間，一定存在一個函數(shù)值。22.介值定理如果一個函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在這個區(qū)間上的最大值和最小值都存在。33.可微性連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)可微，那么它在該點(diǎn)一定連續(xù)，但反過來不一定成立。44.保號性連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上保持正或負(fù)，則它在該區(qū)間上不會改變符號。導(dǎo)數(shù)的定義微積分的核心概念導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率。它反映了函數(shù)值隨自變量的變化而變化的快慢程度。定義函數(shù)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)定義為：f'(a)=lim(h->0)[f(a+h)-f(a)]/h其中，h是一個趨近于0的增量。導(dǎo)數(shù)的幾何意義1切線的斜率導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率。2變化率導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化速率，即函數(shù)值隨自變量的變化而變化的快慢程度。3函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，即函數(shù)在該點(diǎn)處取得極大值或極小值。導(dǎo)數(shù)的公式冪函數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，x的n次方的導(dǎo)數(shù)為nx^(n-1)求和法則兩個函數(shù)之和的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)之和乘積法則兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)加上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第一個函數(shù)商法則兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于分子導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分母導(dǎo)數(shù)乘以分子，再除以分母的平方導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算遵循一系列法則，例如求和、差、積和商的導(dǎo)數(shù)。鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t計算，該法則將外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起。乘積法則兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)可以使用乘積法則計算，將兩個函數(shù)分別求導(dǎo)并相加。商法則兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)可以通過商法則計算，該法則涉及分子和分母的導(dǎo)數(shù)?；緦?dǎo)數(shù)公式常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。冪函數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是將指數(shù)減一后乘以原指數(shù)得到的函數(shù)。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)乘以以自然對數(shù)為底的對數(shù)。對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)除以以自然對數(shù)為底的對數(shù)。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)定義復(fù)合函數(shù)是指一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入，如f(g(x))。鏈?zhǔn)椒▌t求解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，需使用鏈?zhǔn)椒▌t：d(f(g(x)))/dx=f'(g(x))*g'(x)。導(dǎo)數(shù)計算將復(fù)合函數(shù)拆解成內(nèi)外函數(shù)，分別求導(dǎo)，再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t相乘。高階導(dǎo)數(shù)定義高階導(dǎo)數(shù)是指對函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)的結(jié)果。例如，二階導(dǎo)數(shù)表示對函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo)，三階導(dǎo)數(shù)表示進(jìn)行三次求導(dǎo)。符號表示高階導(dǎo)數(shù)通常用符號f''(x)、f'''(x)、f^(4)(x)等表示。例如，f''(x)表示函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。意義高階導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，二階導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)的凹凸性，三階導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)的拐點(diǎn)。二階導(dǎo)數(shù)11.函數(shù)變化率二階導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變化率，即函數(shù)變化速率的變化情況。22.凹凸性二階導(dǎo)數(shù)的符號可以判斷函數(shù)的凹凸性，正值表示凹函數(shù)，負(fù)值表示凸函數(shù)。33.拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，即凹凸性變化的點(diǎn)。44.極值點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)可以輔助判斷極值點(diǎn)類型，正值表示極小值點(diǎn)，負(fù)值表示極大值點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)可以找到函數(shù)的極值點(diǎn)，即最大值或最小值。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)，工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。運(yùn)動學(xué)導(dǎo)數(shù)可以用來描述物體的速度和加速度。例如，速度是位置函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分微分幾何微分在微分幾何中起著至關(guān)重要的作用，用于描述曲線和曲面的局部性質(zhì)。物理應(yīng)用微分被用于描述物理量之間的關(guān)系，例如速度和加速度，以及物體運(yùn)動的軌跡。函數(shù)的線性逼近微分可以用來線性逼近函數(shù)，提供了一種近似函數(shù)行為的方法。微分的概念和性質(zhì)切線微分代表函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線斜率線性近似微分可以用來近似地表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的微小變化導(dǎo)數(shù)關(guān)系微分是導(dǎo)數(shù)的增量形式，反映了函數(shù)變化率的局部性質(zhì)微分在幾何和物理中的應(yīng)用幾何應(yīng)用微分可以用來求曲線的切線方程，還可以計算曲線的弧長和曲面的面積。求曲線的切線方程計算曲線的弧長計算曲面的面積物理應(yīng)用微分在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如計算物體的速度、加速度和動量，以及研究熱力學(xué)和電磁學(xué)等領(lǐng)域。計算物體的速度、加速度和動量研究熱力學(xué)和電磁學(xué)不定積分反導(dǎo)數(shù)概念不定積分是微積分中的核心概念，它指的是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算?；痉e分公式不定積分的計算通常借助于基本積分公式，這些公式是通過對導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行反向推導(dǎo)得到的。現(xiàn)實應(yīng)用不定積分在許多實際問題中都有應(yīng)用，例如計算面積、體積、速度和加速度。原函數(shù)的概念11.定義原函數(shù)指的是求導(dǎo)后可以得到某個給定函數(shù)的函數(shù)。22.關(guān)系原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是另一個函數(shù)的原函數(shù)。33.多樣性一個函數(shù)可以有多個原函數(shù)，它們之間只差一個常數(shù)項。44.重要性原函數(shù)的概念是理解積分的基礎(chǔ)，它也是解決微積分應(yīng)用問題的關(guān)鍵。基本積分公式常數(shù)函數(shù)∫adx=ax+C，其中a為常數(shù)。冪函數(shù)∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n≠-1。指數(shù)函數(shù)∫e^xdx=e^x+C。對數(shù)函數(shù)∫(1/x)dx=ln|x|+C。定積分面積計算定積分是用來計算曲線下的面積，它可以用來求解各種幾何問題，例如求解曲線的長度，求解旋轉(zhuǎn)體的體積等等。積分上限和下限定積分有積分上限和下限，分別對應(yīng)著積分區(qū)間的起始和結(jié)束點(diǎn)，用來確定積分的范圍。微積分基本定理微積分基本定理將定積分和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來，提供了計算定積分的有效方法。積分的幾何意義11.面積計算定積分可以用來計算函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸之間的面積，以及兩個函數(shù)圖像之間的面積。22.體積計算定積分可以用來計算旋轉(zhuǎn)體體積，以及某些不規(guī)則形狀的體積。33.弧長計算定積分可以用來計算曲線弧長，即曲線在一定區(qū)間內(nèi)的長度。44.物理應(yīng)用定積分在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如計算功、力矩、重心等等。定積分的性質(zhì)和計算定積分的性質(zhì)線性性單調(diào)性積分中值定理線性性是指定積分對被積函數(shù)的線性組合是線性的。單調(diào)性表明，如果函數(shù)在積分區(qū)間上單調(diào)遞增，則其定積分的值也單調(diào)遞增。定積分的計算計算定積分的常用方法包括牛頓-萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法。牛頓-萊布尼茲公式將定積分與原函數(shù)聯(lián)系起來，使我們能夠通過求原函數(shù)來計算定積分。換元法變量替換通過將積分變量替換為新的變量，簡化積分表達(dá)式。函數(shù)替換利用函數(shù)關(guān)系式，將積分式中的被積函數(shù)替換為新的函數(shù)。積分簡化換元法可以將復(fù)雜的積分式轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，便于求解。直接換元變換變量將積分變量替換為新的變量，使被積函數(shù)的形式更簡單.求導(dǎo)公式求出新舊變量之間的關(guān)系，并根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t求出新變量的導(dǎo)數(shù).積分上下限將積分上下限也換算到新變量對應(yīng)的值上，完成積分變量的替換.分部積分法基本公式分部積分法是一種求積分的技術(shù)，它利用兩個函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)公式來將積分轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。公式如下：∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可微函數(shù)。應(yīng)用分部積分法主要用于求解兩個函數(shù)的乘積的積分。它適用于以下情況：當(dāng)一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)容易求解，而另一個函數(shù)的積分容易求解時，或者當(dāng)一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分都容易求解時。廣義積分11.無窮區(qū)間的積分當(dāng)積分區(qū)間為無窮大時，積分稱為無窮積分。22.瑕積分當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)存在間斷點(diǎn)時，積分稱為瑕積分。33.積分計算通過極限運(yùn)算來計算廣義積分，判斷其收斂性。無窮區(qū)間的積分積分上限或下限為無窮大積分上限或下限為無窮大，通常稱為無窮區(qū)間積分。求解方法可以使用極限來定義無窮區(qū)間積分，將積分上限或下限逐漸趨于無窮大。應(yīng)用場景無窮區(qū)間積分應(yīng)用廣泛，例如計算概率密度函數(shù)、求解物理問題中的能量等。瑕積分積分區(qū)間包含奇點(diǎn)積分區(qū)間包含一個或多個奇點(diǎn)，導(dǎo)致函數(shù)在該點(diǎn)不可積。瑕積分的求解通過將積分區(qū)間分成多個部分，并計算每個部分的積分。物理和工程應(yīng)用求解電場、磁場、重力場等物理量。應(yīng)用問題運(yùn)動學(xué)微積分可用于分析物體的運(yùn)動，例如速度和加速度。工程學(xué)微積分在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如計算結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分用于分析經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，例如預(yù)測市場趨勢和優(yōu)化資源配置。醫(yī)學(xué)微積分可用于分析醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)，例如預(yù)測疾病的發(fā)展和評估治療效果。幾何應(yīng)用計算面積微積分可以計算各種形狀的面積，例如圓形、三角形、不規(guī)則圖形的面積。計算體積微積分可以計算各種形狀的體積，例如圓錐、球體、旋轉(zhuǎn)體積。計算長度微積分可以計算曲線長度，例如圓周長、橢圓周長。計算曲面面積微積分可以計算曲面的面積，例如球面面積、旋轉(zhuǎn)曲面面積。物理和工程應(yīng)用運(yùn)動學(xué)微積分可用于描述和預(yù)測物體的運(yùn)動。結(jié)構(gòu)工程在結(jié)構(gòu)設(shè)計和分析中，微積分用于計算力、應(yīng)力和變形。電路分析微積分可用于分析電