湖北省楚天教科研協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖北省楚天教科研協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：2024年11月13日下午14:30-16:30 試卷滿(mǎn)分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是空間不共面的三個(gè)向量，則可以與向量和向量構(gòu)成空間一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.3.從長(zhǎng)度為4，6，8，10的4條線(xiàn)段中任取3條，這三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是（）A. B. C. D.4.19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線(xiàn)互相垂直，則切線(xiàn)的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱(chēng)為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.5.若空間向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.6.已知半徑為3的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知橢圓為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙兩人各投擲一枚骰子一次，下列說(shuō)法正確的是（）A.事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“甲投得5點(diǎn)”是互斥事件B.事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C.事件“甲投得奇數(shù)點(diǎn)”與事件“乙投得偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事件D.事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“甲、乙點(diǎn)數(shù)之和為7”是相互獨(dú)立事件10.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離最小值為B.在點(diǎn)處作圓的切線(xiàn)（為切點(diǎn)）與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)，則|PT|的最小值為C.當(dāng)最小時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為側(cè)面正方形的中心，點(diǎn)為平面ABCD上的一點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的有（）A.若點(diǎn)P在棱BC上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的體積為定值B.若點(diǎn)在棱BC上運(yùn)動(dòng)，則最小值為C.若點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn)D.若點(diǎn)滿(mǎn)足，則的面積最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某籃球運(yùn)動(dòng)隊(duì)有8名運(yùn)動(dòng)員，身高（單位：cm）如下：186，194，216，198，192，201，211，208，則身高從低到高的第30百分位數(shù)是_______________cm.13.已知圓為圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)和半徑AP相交于，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)______________.14.三棱錐中，，直線(xiàn)BD與AC所成的角為，則該三棱錐的體積為_(kāi)______________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）求過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2的直線(xiàn)的方程.16.（本小題滿(mǎn)分15分）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.且“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)了所有成語(yǔ)的概率為.（1）求的值;（2）求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中，猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率;（3）若某人在兩輪活動(dòng)中至少猜對(duì)1個(gè)成語(yǔ)，則該人可獲得“優(yōu)秀隊(duì)員”稱(chēng)號(hào)，求“星隊(duì)”的甲、乙兩人中恰有一人獲得此稱(chēng)號(hào)的概率.17.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，三棱錐中，，為BC的中點(diǎn).（1）證明：;（2）點(diǎn)N滿(mǎn)足，求平面APB與平面PBN夾角的余弦值。18.(本小題滿(mǎn)分17分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距等于，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若直線(xiàn)與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值;（3）記為橢圓上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作相互垂直的兩條直線(xiàn)BP，BQ分別與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)BP的斜率為且，若，求的值.19.（本小題滿(mǎn)分17分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作斜率分別為的直線(xiàn)，若，則稱(chēng)直線(xiàn)是定積直線(xiàn)或定積直線(xiàn).（1）已知直線(xiàn)是定積直線(xiàn)，且直線(xiàn)，求直線(xiàn)的方程;（2）如圖所示，已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別是三條傾斜角為銳角的直線(xiàn)上的點(diǎn)(與均不重合),且直線(xiàn)PR，PQ是定積直線(xiàn)，直線(xiàn)QP，QR是定積直線(xiàn)，直線(xiàn)RP，RQ是定積直線(xiàn)，求點(diǎn)的坐標(biāo);（3）已知點(diǎn)，直線(xiàn)TM，TN是定積直線(xiàn)，若，求三角形的面積.

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高二期中考試高二數(shù)學(xué)試卷答案選擇題1.D2.C3.A3.B4.B5.C6.B7.A8.A9.ABD10.BCD11.ACD填空題12.194 13. 14.11.（詳解）對(duì)于A項(xiàng)，由，可證平面，所以直線(xiàn)BC上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，而的面積為定值，所以A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng)，將平面展開(kāi)與底面ABCD共面，則此時(shí)B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，易證得平面，所以的軌跡為直線(xiàn)AB;對(duì)于D項(xiàng)，如圖，取AB中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)，可知，則可證得平面，所以，另外在等腰中，可得再證得，所以平面，所以平面，即在直線(xiàn)FC上運(yùn)動(dòng)，由得，當(dāng)為DG與CF的交點(diǎn)時(shí)，時(shí)，的面積最小值為14.（詳解）依題可知，均為邊長(zhǎng)為的直角三角形，，也為直角三角形，且平面BCD，所以三棱錐的體積為15.（1）依題知OA，AB的垂直平分線(xiàn)方程分別為：，而圓的圓心為OA，AB的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為:…………6分（用其它方法請(qǐng)酌情給分）（2）若直線(xiàn)軸，其方程為，與圓相交于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)為2，滿(mǎn)足題意；……………………………8分若直線(xiàn)不與軸垂直，設(shè)，記圓心到的距離為，而由得，得……………………12分所以直線(xiàn)的方程為:或………13分16.設(shè)分別表示甲兩輪猜對(duì)0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件，分別表示乙兩輪猜對(duì)0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)成語(yǔ)的事件.根據(jù)獨(dú)立性假定，得（1）設(shè)“‘星隊(duì)’在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)了所有成語(yǔ)”得……5分（2）由（1）知，設(shè)“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”，則，且與互斥，與與分別相互獨(dú)立，所以所以?xún)奢喕顒?dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為.……………………10分（3）“‘星隊(duì)’的甲、乙兩人中恰有一人獲得此稱(chēng)號(hào)”所以“星隊(duì)”的甲、乙兩人中恰有一人獲得此稱(chēng)號(hào)的概率……15分17（1）法一:連接MP，MA，因?yàn)闉锽C中點(diǎn)，又，所以，……….2分因?yàn)?，所以與均為等邊三角形，所以，從而②，由①②，平面PMA，所以平面PMA，而平面PMA，所以.………………7分法二:依題意，所以.………4分又，所以，所以.………………7分（2）依題意，，由及得，，又且平面ABC，平面ABC…………………………9分（若用法二證明第（1）問(wèn)，則在第（2）問(wèn)建系前需要證明直線(xiàn)MA，MB，MP兩兩垂直,請(qǐng)酎情給分)以點(diǎn)M為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，所以，即有.…………11分設(shè)平面PAB與平面PBN的一個(gè)法向量分別為設(shè)平面APB與平面PBN夾角為，則由，取，所以;由取，所以;………………13分所以所以平面APB與平面PBN夾角的余弦值為………15分18.解（1）由已知得，……………1分又，又.………3分所以橢圓的方程為.………………………4分（2）依題意，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓有，消元得：當(dāng)，即且時(shí)，…………7分.………………10分（3）設(shè)，設(shè)直線(xiàn)BP的方程為則直線(xiàn)BQ的方程為，由，消去得……………12分由得.……………13分…………15分整理得：或.………………………17分19解：（1）由已知得，又，……………1分直線(xiàn)的方程;……………………4分（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，則.…………………7分得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)PR的方程為，直線(xiàn)PQ的方程為聯(lián)立得；故所求為；………………………10分（3）方法一:設(shè)，得的軌跡方程為: