《兩個平面所成的角》導學案

《兩個平面所成的角》導學案組號：班級：姓名：日期：【高考考點】向量法求兩個平面所成角的相關知識?！緦W習目標】1、能夠理解兩個平面所成角的概念，就像理解小伙伴之間的夾角一樣清晰。2、學會用向量的方法來計算兩個平面所成的角，就像學會新的魔法技能。3、可以把向量和立體幾何中的平面角聯(lián)系起來，就像把不同的玩具零件組合起來一樣?！緦W習重、難點】重點：用向量方法計算兩個平面所成的角。難點：準確找到平面的法向量以及理解向量夾角與平面所成角之間的關系，這就好比要在一個復雜的迷宮里找到正確的路線一樣難。一、故事導入我給大家講個我自己的事兒啊。我之前去參觀一個建筑展覽，看到了很多奇特的建筑模型。有一個建筑是那種非常現代的風格，它的墻面和屋頂的角度看起來特別酷。我就在想啊，要是我能算出這些面之間的角度就好了。這其實就和我們今天要學的兩個平面所成的角有關系呢。二、思+議：思：1、大家先回憶一下之前學過的平面角的概念，然后想一想在立體幾何里，兩個平面所成的角該怎么定義呢？這就像我們從認識平面上的小角落，到去探索立體世界里的大角落。2、假如我們有一個簡單的正方體模型，我們怎么去找兩個相鄰面所成的角呢？從看得見摸得著的正方體入手，是不是就沒那么難啦？活動：(1)給出下面這個例子：有一個三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC是正三角形，側棱AA1垂直底面ABC，我們怎么來確定平面ABC與平面A1BC1所成的角呢？大家先自己思考一下哦。(2)再看這個情況，如果我們知道平面α的一個法向量n1=(1,0,0)，平面β的一個法向量n2=(0,1,0)，那這兩個平面所成的角跟這兩個法向量有啥關系呢？議：(獨立思考3分鐘，然后和小組成員熱烈地議一議)1、在找平面法向量的時候，有啥小竅門沒有？就像在一個大森林里找寶藏的小線索一樣。2、當我們算出了兩個法向量的夾角，怎么才能準確地得到兩個平面所成的角呢？這中間是不是有啥彎彎繞繞的地方呢？三、結：1、兩個平面所成角的定義：就像兩個小伙伴面對面站著，他們身體之間的夾角一樣，兩個平面相交時，在它們的交線上取一點，分別在兩個平面內作交線的垂線，這兩條垂線所成的銳角或者直角就是兩個平面所成的角。2、用向量求兩個平面所成角的方法：-先求出兩個平面的法向量，這就像先找到兩個小伙伴的方向指引一樣。-然后計算這兩個法向量的夾角，用公式cosθ=|n1·n2|/(|n1|·|n2|)。-但是要注意哦，兩個法向量的夾角和兩個平面所成的角可能相等，也可能互補，這就像有時候我們看到的影子和實際物體的關系一樣，得根據具體情況判斷。四、練＋展：(獨立完成下列題目，每題5分，共25分)1、已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BD與平面C1BD所成的角。(提示：先找出這兩個平面的法向量哦，可以設正方體棱長為1)2、在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，PA=AD=1，AB=2，求平面PAB與平面PCD所成的角。(這里要好好思考怎么找法向量哦)3、三棱錐S-ABC中，底面ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，側棱SA=SB=SC，求側面SAC與底面ABC所成的角。4、有一個直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=1，CC1=2，求平面AA1C1C與平面A1BC1所成的角。5、已知三棱錐P-ABC，PA=PB=PC，底面ABC是正三角形，邊長為2，求平面PAB與平面ABC所成的角。五、測(共40分，獨立完成，限時15分鐘)知識點一：兩個平面所成角的概念【例1】關于兩個平面所成的角，下列說法正確的是()A.一定是銳角B.一定是直角C.是兩個平面法向量的夾角D.以上說法都不對【例2】兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，則這兩個平面的位置關系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.以上都不對知識點二：用向量求兩個平面所成角【例3】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求平面A1BD與平面ABCD所成的角。【例4】三棱錐P-ABC中，PA垂直平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，求平面PAB與平面PAC所成的角。【例5】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，棱長都為2，求平面A1BC與平面ABC1所成的角?！纠?】已知四棱錐S-ABCD，底面ABCD是正方形，SD垂直底面ABCD，SD=2，AD=3，求平面SAD與平面SBC所成的角?！纠?】三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，求平面OAB與平面OAC所成的角?！纠?】在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，側棱與底面所成的角為60°，求平面A1BC與底面ABC所成的角。六、學習小總結咱們今天就像探險家在立體幾何的世界里探索了兩個平面所成角的奧秘。大家在這個過程中可能會遇到一些小麻煩，就像我之前去那個建筑展覽想算出角度時的迷茫一樣。但是只要大家按照我們學的步驟，先理解概念，再找法向量，最后計算角度，就一定能攻克這個難題。而且在討論和練習的過程中，大家要像小伙伴們一起合作搭積木一樣，互相幫助，這樣才能更好地掌