2023年河北省邢臺(tái)市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案帶解析)

2023年河北省邢臺(tái)市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

f工,業(yè)等于,、

JT（）

A.~2

B.-1

C.0

l.D.l

函數(shù)為=，4—z+lnG—1）的定義域是

A.A.（。㈤

B.（l，4]

cXML

D.（1,+8）

3.當(dāng)x-0時(shí)，ln（l+ax）是2x的等價(jià)無(wú)窮小量，則a=

A.A.-lB.OC.lD.2

4.

兩封信隨機(jī)地投入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)郵筒，則1,2號(hào)郵筒各有一封信的概率

等于

1

A.B，12

16

工

"8D-T

sirkrdjr

A.sinx*KZ

B.-sinx+C

C.C0SX-H2

D.-C0SX-H2

曲線”一

在，=1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處.曲線的法線方程為

函數(shù)八*）=/一37，-9x+1在［-2.6］上的最大值點(diǎn)

8.當(dāng)x->0時(shí)，無(wú)窮小量x+sinx是比X的【】

A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階但非等價(jià)無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小

9.

設(shè)函數(shù)）一/（7）的導(dǎo)致函數(shù)/（力的圖象如圖1所示.則下列結(jié)論肯定正確的是（）

A.似>內(nèi)，曲線/（”）是凹的V'{x}

B.恒內(nèi).曲線/（/）是凸的I/

C.在（一3，?內(nèi),曲線/（■是單調(diào)卜升的

D.在（《,一8）內(nèi)，曲線/《人是單調(diào)卜.降的一I一

A.（l+O）e”

BW）。“

CJ（I+"

D*

i/y??sin(2x-.M.i

TXlim------------=1.則”

11.3x

A.A.-lB.-2C.lD.2

12.

b

若x=-l和x=2都是函數(shù)/(x)=(a+x)「的極值點(diǎn)，則m6分別為

A.A.2,-1B.2,1C.-2,-lD.-2,l

]3當(dāng)_r—0時(shí).sin3z是2i的

A.低階無(wú)窮小量B.等價(jià)無(wú)窮小量C.同階但不等價(jià)無(wú)窮小量D.高階無(wú)

窮小量

[4設(shè)函數(shù)/(x)=cos%,則/信)=().

A.-lB.-1/2C.OD.1

15.下列結(jié)論正確的是

A.A.若A+B=。，則A,B互為對(duì)立事件

B若A,B為互不相容事件，則A,B互為對(duì)立事件

若A,B為互不相容事件，則A,B也互不相容

D.若A，B為互不相容事件，則A-B=A

16.

函數(shù)、=10“T—2的反函數(shù)是

A.y=-l+lg(x+2)B.j>=-14-lg(x—2)

C.y=l4-lg(x4~2)D.?=l+lgQ—2)

已知f(x+l)=『,則f'(x)=

A.xexB.(x-l)exC.(x+l)exD.(x+l)ex>,

17.

18.

設(shè)D是由曲線J+y=R2所圍成的平面區(qū)域，則「e-//&=■

若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為arctanx,則下列等式正確的是

A.jarctanxdx=/(x)+CB.jf(x)dx=arctanx+C

19C.Jarctanxdr=f(x)D.J/(x)dx=arctaiu

A.-1/4B.OC.2/3D.l

設(shè)/(x)=12g(r)d，,則/'(x)=

21.j2x

A.A.g，)-g(2x)

x2g(x2)-2xg(2x)

R?D.

(x2-2x)-g(x)

C.

2xg(x2)-2g(2x)

JLre

22.

下列極限值等于e的是

A.lim(14--)xB.尸

JCr-*0

C.limd-F-)xD.iim(14-x)i

23.

廣義積分?「?瞥？也等于().

J?i+(

3

D.丁

若"(幻dr=*ln(i+D,則為

j-K>X(

A.2

B.-2

C.-1

24.D?1

25.設(shè)函數(shù)/Xx)在區(qū)間同上連續(xù)且不恒為零?則下列各式中不恒為芾教的是

().

A7(6)V(O)

B.f/(x)dx

D.W也

26.

根據(jù)八幻的導(dǎo)函數(shù)尸(處的圖像，判定下列結(jié)論正確的是

A.在(7,-1)內(nèi)，f(x)是單調(diào)增加的

B.在(一,。)內(nèi)，/(x)是單調(diào)增加的

C./(T)為極大值

D./(-I)為極小值

27.

設(shè)/U)在司(0>0)上連續(xù),則下列積分不成立的是

A.￡加&B=

C.￡/(j)dr=￡/(-x)<ZrD.[j(]也=J：/L

設(shè)J/(x)dx=e?2x"+C,則J/(2x+Ddx=

28.

-2x*l

A.A.e

-4x-i

C.2e+C

-e^+C

D.2

29.若在(a,b)內(nèi)r(x)>0,f(b)>0,則在(a,b)內(nèi)必有()。

A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.f(x)符號(hào)不定

30.當(dāng)XTO時(shí)，若sin?%與f是等價(jià)無(wú)窮小量，則A=()o

A.l/2B.lC.2D.3

二、填空題(30題)

31.

lim"勺+?=

“?<>xy

A?4"B.-

oD.極限不存在

32.設(shè)函數(shù)y=arcsinx,貝！Idy=.

，

33J(2x+l)dx=

34.

已知=F(z)+G則］喈立dz=.

X2+1

設(shè)y=-r—,貝iJy'=_________________,

35.”7

36.

設(shè)z=arcsin(xy).則?:=_____________.

oxay

38.

設(shè)/(x)=cos,，則f(—)=,

1?-I<x<0..fi

設(shè)函數(shù)/（X）dx

2.OJ?1.ZJT

39.A.3B.WD.2

40.

設(shè)=則廣（0）=.

yI，二0

41.y=arctanex,貝!|

42.

設(shè),<?f=7+之+々?（其中a>0,aHl）,則嚴(yán)

43.

函數(shù)y=出7的反函數(shù)是

4TO

2+3,

A3'B.y3「

,，12工D.y=logj五二

C?y=I。由「zq

44.

設(shè)y=ln（f+D+sinw則y=

45.曲線y=+.（“-2）'的拐發(fā)坐標(biāo)是

..X+x

hm-s---------

46.12--X+2

In(l+2x)

設(shè)函數(shù)"*)={-x-“*°,在x=0處連續(xù),則。=.

ax=0

47.

Jx+4x-x

48.,則—；—=-

5巳知I-蔣是/U),asiiLr十1sinlr的極值點(diǎn)用。,—

49.s,

設(shè)fO)=lim，(士)3貝iJ/&)=

50.XT

51.

已知廠一^^=1,則/=

52.Jf+x，

53.設(shè)函數(shù)y=sinx,則y”=

54.設(shè)函數(shù)y=xn+2n,則y(n)(l)=

55.股/(力的”-】階導(dǎo)數(shù)為尸赭廣■)?_

過(guò)曲線y=山上的一點(diǎn)(2,3)的切線斜率是

56.1

57.設(shè)z=sin(xy)+2x2+y,貝ljdz=..

i

若］而電業(yè)=5,則S.

59.z去

60.

曲線y=x+ex在點(diǎn)（0,1）處的切線斜率k=.

三、計(jì)算題（30題）

sin3arIdx.

計(jì)算二款根分Jry%?其中D是由■物線/-I及直線y-x-2用成.

62.$

64.設(shè)廠＞“）由方程e'F所確定，求條

設(shè)/（工）e"dr.求，“Q）（Lr.

65.

“求不定枳分iZilLTdx.

66.

計(jì)算二*根分?其中D是由直線r=2.y■工與雙曲線■］所用成

67,的區(qū)域,

求不定根分L,?rctanx<Lr.

OO.

計(jì)算定機(jī)分Jjn（丘+1）山?

69.

j=/-ln(14-H).確定,求缺

巳知函數(shù)工■x（y）由參數(shù)方程

70.y=arctanr

求］sin(lnx)dj-.

求定枳分廣

設(shè)函數(shù)/《1）

x<0?

72.14e‘‘

設(shè)z=MV+sin/.ifi“=e".co”,求吉.

73.

設(shè)￡=>/（-）+2（*）?其中/（tt）.g（v）分別為可微函數(shù)，求空，空.

74.yxoicfy

計(jì)算定積分cou^mnjrdx.

75.

計(jì)算工/cLrd力其中D為圈環(huán)區(qū)域：1&/+式&4.

巳知函數(shù)/（”）處處連續(xù)?且滿足方程

1/（/）d/=—y4-4-xsin2x+；cos2?r?

求管）,

79.設(shè)函數(shù)yux,sinx,求dy.

QI設(shè)通ftf(*)■(x-a)火(/),其中g(shù)(j)在點(diǎn)工-a處連續(xù)?求f(a).

ol?

改變積分|djj/(”.y)dy+]d.rjo/(x,y)d1y的積分次序.

q計(jì)算定枳分J：/2%一？山?

OJ9

求微分方程y*u1送足y(0)-2.>(0)=O./(O)=1的特X.

84.

85.求解微分方程ilnxdy+（y-lnjr）dr=。脩足條件y（e）=1的特解.

86求微分方程（"iu—siru■一】）業(yè)+co、rdv=0的通解.

設(shè)函數(shù)y=、（工）由參數(shù)方程1sseoQ,y=sirwrcosf■定,求空.

o7.

求不定積分j,4二亍匕?

88.

設(shè)--（上）.其中/（.）可錚.求i孰+ye.

89.\T/a?rdy

90,求*分方程/*+5J■wMl*.

四、綜合題（10題）

O1求由曲線,I與y/所用成的平面圖形的面枳.

壯明t當(dāng)r?（）時(shí)?彳|??-In'<—.

92.ii

93?求函數(shù)八］>=大’在定義域內(nèi)的最大值和最小優(yōu)

94求函數(shù)、■號(hào)的單■區(qū)同、微值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和新近線.

95.歷明:當(dāng)d時(shí)?用一斗?

96.

求由曲線y工/與直線1=13=2及丁=0用成平面圖形的面積S以及該圖形燒

J軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

97?討論函數(shù)八八=3」一〃的單調(diào)性,

求函數(shù)f（-r）=L^，-4的單郵4間和極優(yōu)

98.

?r（x）在［。.￡］上連續(xù)?存在E.M兩個(gè)常數(shù)?且橫足a<1,46證明：惱”

99.-為）W/（X.）/（X,）-M（x,-X,）.

設(shè)曲數(shù)/（x>:x2arctanx.

“）求雨數(shù)/（r）的雌蠲K間和極值,

100.求曲‘1/門）的凹凸區(qū)刖和拐八

五、解答題（10題）

101.

設(shè)函數(shù)y=sin2］,求嚴(yán).

1021本題』分10分）某管?車的靠車人《［跟定力100人,票價(jià)P（單位:元）與索車人（b

滿足川6個(gè)「，試求桌軍人數(shù)為多少%所得的票款收入最多？比時(shí)的票價(jià)是多少？

103.

證明：2">/（①>4）.

104.若拋物線y=x2與直線x=k,x=k+2及y=0所圍圖形的面積最

小，求k.

105.

設(shè)平面圖形是由曲線y=2和x+y=4圍成的.

x

（1）求此平面圖形的面積A.

（2）求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

106.

計(jì)算償更。.

JX

107.求函數(shù)y?x3?3x2?l的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。

108甲、乙二人單獨(dú)譯出密碼的概率分別為:和《，求此密碼被譯出的概率.

109.

設(shè)y是由方程sinQ"+一一=1所確定的函數(shù)，求y'L。

y*

110（本題滿分10分）求函數(shù)z="7y在條件2%+y=5下的極值.

六、單選題（0題）

m.設(shè)函數(shù)/（》）=tanx.ffl!吟3^^等于（）

A.-2B.-lC.OD.2

參考答案

l.C

2.B

3.D

In(1+ax)axa

因?yàn)閔m--------------lim—=一I

*-*o2x2

所以a=2.

4.C

5.D

6.22

7.x=-2

由lim旺辿=5(1+皿

8.cJ-。7L'JC所以x—>0時(shí),x+sinx與

x是同階但非等價(jià)無(wú)窮小.

9.A

【提示】先求9再求［■傳)?

dxdy\dx)

inA因?yàn)橐蚧?=e”+町e為所以選A.

10.Aa”Mdxj

11.A

..sinQ--ar)等價(jià)代換..2x2-ar.c

hm-------------------~*hm-------------------=-a=1用以a

JK-M)ri-?Ox

12.B

§x2—bx—ab

因?yàn)?'(X)=ex+(a+x)&x()=e

由于x=-Lx=2是函數(shù)，(x)的極值點(diǎn)。

［4-乃-"=0

解得a=2,Z?=1

13.C

14.A此題暫無(wú)解析

15.D

16.C

［解析］用換元法求出f(x)后再求導(dǎo)

用X-1換式中的X得/(X)=(X-1威，

…A所以/。)=，+("-1送=^”

IQ五(1-<?

［解析］根據(jù)不定積分的定義，可知B正確.

20.C或

f\x)=[J：gQ)dr]'=g(，).(父丫-g(2x)?(2%)'

=2xg(x2)-2g(2x)

22.C

23.B

答應(yīng)選B.

提示本題考查的知識(shí)點(diǎn)是廣義積分在換元時(shí)，其積分限也應(yīng)一起換?

設(shè)u=arctan則x=1時(shí)=~?;?—>+8時(shí)，u->手■?所以

T3而

J:cta"dx=Jarctanxd(arctanx)=-y-(arctanx)二-

X32

選B.

24.A

25.D因?yàn)樽兩舷薜亩ǚe分是積分上限的函數(shù).

26.D解析

x軸上方的/'(x)>0,x軸下方的廣(幻<0,即當(dāng)/<-1時(shí)，/(幻<0；當(dāng)

Q-1時(shí)根據(jù)極值的第一充分條件，可知/(-I)為極小值，所以選D.

27.D

28.C

因?yàn)镴/(2x+l)dx=1j/(2x+l)d(2x+l)=1e-2(2x+IH，+C=+C

29.D

30.C

當(dāng)Z=2時(shí)，有l(wèi)im竺n=lim(吧±y=i,選c.

XTO%'x—>0x

所以當(dāng)左=2時(shí)，有sin2x~x2.

31.B

【答案】應(yīng)填』F改

32..g

用求導(dǎo)公式求出y',再求dy.

1

因?yàn)閥'=(aresinz)'=

則

33.

【答案】應(yīng)填X2K1），+C湊微分后用積分公

j(2z+l)3dx=yj(2x+1)*2怎+1)=y(2x+1)，++

式

34.F(lnx)+C

-4x

(x2-l)2

2

解I析］”(用+=f(x/-1_+)2*=("用2'=-Ax

35.

36.

38.

K2

T

39.B

40.

-1

V1-2x

(一1)'J1-2x-(-1)(71-2x)z_-1

3

(Jl-2x)2(1一2爐

所以/7o)=-i

由y=丁.卜；/?一'令I(lǐng)=o?則”=：?

41.1/21+(。)…2

42.

a*ln2a4-a(a-l)x--2

43.C

44.

(1—cosy)(x2+1)

45.應(yīng)填(2,1).

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拐點(diǎn)的定義及求法.

因?yàn)?a6(?-2)?=^0J9i=2.當(dāng)，=2時(shí)，y=l.

當(dāng)<<2時(shí)/<0；當(dāng)，>284./>0.所以點(diǎn)(2.1)顯曲線y=+?(*-2)’的拐點(diǎn).

46.1/2

47.2

48.應(yīng)填

0.

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是極限的計(jì)算.由于分子是“8-8”，應(yīng)首先有理化，再約去

“8”因子.本題若直接用洛必達(dá)法則求解反而比較麻煩.

..-Jx+4x-x..X2+4X-X2..

lim-----------------=lim-------，二——------=lim-=0.

11

-4*-X(A/X+4X+X),…+1)

本題也可以直接消去“8”因子:

49.22

(l+2r)e

[解析J因?yàn)閒(t)=limt(—)x=tlim(l+

x-]X-M*x-r

—21

=rlim[(l+—)2,/.lim(l+—)f

X-ZI。X-t

=/e2r

所以f'(t)=c2,+re2,x2=(l+2r)c2r

50.

51.

arcsinx-vl-x2+C.

52.1/7T

53.-COSXO

因?yàn)閥』cosx,y,,=-sinx,y"=?cosx?

54.

Q

[解析]因?yàn)?=—^所以火2)=2

56.(4-x)

57.[ycos(xy)+4x]dx+[xcos(xy)+l]dy

[解析]dz=d[sin(xy)]+d(2x2)+dy

=cos(xy)(ydx+xdy)+4xdx+dy

=[ycos(xy)+4x]dx+[xcos(xy)+l]dy.

58.2

59.

60.

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值表示函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線在該點(diǎn)處的

切線斜率.

因?yàn)?=則/(0)=4=2.

61.

令3/=/，即”=￡.則d/=■山.且當(dāng)x=—亨時(shí)“=—孕’當(dāng)?shù)?=以則有

J54L44

j[Isin3x|dx=|sin/|dr

=yj^Isinf|dz

=sin/d/-[sinrdz

=y[-COS/]|"-COS/]|.=2?

令3]=/,即”=9.則d?r=J山，且當(dāng)x=-■時(shí)“=—竽，當(dāng)z=營(yíng)■，/=法則有

。J4L44

「金Isin3x|dx=I??n/Idr

=sin/d/—「sinfdr

=y[-COS/]I"-y[-COS/]|.

62.

區(qū)域D如圖所示.D既是Y-型區(qū)域,又是X

M區(qū)域，直線y=l-2與拋物線式的交點(diǎn)為

(1?一1).(4.2).為更方便計(jì)算首選區(qū)域D是丫型區(qū)

域.

所以

『力匕-|djj:jrydj

?。伊川;dy

=/j-ib'y+Z)’-ySJdy

-15

8,

區(qū)域D如圖所示，D既是丫一型區(qū)域.又是X

型區(qū)域，直線y=/一2與拋物線，=I的交點(diǎn)為

(1.-1).(4.2).為更方便計(jì)算首選區(qū)域Q是丫一型區(qū)

域.

所以

L

63.29

2

原式=2-(x-x+l)2-(1-1+1)1

lim33

X-1x+lI+12,

64.解法1等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得

ev?y'=y+xy'.

解得

-r

解法2等式兩邊求微分,得

d(c,)=d(xy),

c'dy=ydx+xdy.

解得吼上.

dx

65.

因?yàn)?G)=『c"d，，于是

I

=J>8d(I2尸八力,(_/%Je「.2/d/

=?fc*?(—J1)di=-e'==](c'—1)?

Je4e4

因?yàn)?(z)=[L4?于是

J//(J)ctr=J)8d(I，尸八外,(_///?《，'.2/d,

=?fe,?(—J-1)dj=ve**匚1—1).

Je4w4

|Jxzsinj-dx

x2d(-COST)

=-COST+cojkrdM

z

=-xCOST+2xcosxdx

=-z：cosx+2xdsinj

=-jr:cosx+2xsinx-2sinxdx

66.=-COSJ-+2jrsinx+2COST+C.

|Jx2sinxdx

x2d(-COST)

22

=-xCOST+cosj-d.r

-r2COSJ-+2xcos-rdx

=-COSJ+2j-dsinj

-j-'cosx+2xsinx-2sinxir

-j-2cosx+2j-sinx+2cosx+C.

先沿〉方向積分，區(qū)域Q可表示成/1則

J￡<Lrdy=J：cLrj；4d>

■P+4r=27

67.614I||64,

先沿y方向積分，區(qū)域D可表示成」i則

IX

J￡dzdy=J；dHj；4dy

11”

=1得m產(chǎn)

127

五”)li=64-

]

除式=—arctan-rd(xJ)

=jx-arctanx-yP，?金尹必

=?”3皿一身（1一擊盧

yx:arctanx-(j-arctarkr)卜(：

68.

d(i')

l^arctanx-jp?《p

^l^arctanx-ljp-p^Jdx

yx:arctanx-j-arctarkr)+C.

令，7-tri

原式--------jln(z-I)>2rd/

=|ln(I4-r)d(r)=/J?ln(14-r

69.

令萬(wàn)?，f1

原式111Jln(z+1)?2fd/

=Iln(14-r)d(r)=t1?ln(14-z)

=地一(三*山-42_￡(，_]+￡)dr

=In2-儻C-1)“’4-ln(r-b1)

=In2-(0——-)—(In20)

由求導(dǎo)公式,得半u匕-(1+/；)了=_uiz

dy(arctan/)]

IT?

于氐翳=■9=必1=2(—).

70.FT?

由求導(dǎo)公式,得孚二^1四+，；)1'=].LI±Z

ay(arctan/)__j

r+?

2

于是.d*7x=rG(i；^-zn)/)4T=—-2(1H—/2)=2(，-I+D.

rr7

Cxsin(lnj-)]|—J

sin(lnx)d.r=xdsin(ln.r)

-Jcos(ln.r)dx

esinl-[J*COS(Inj)J+xdcos(ln.r)

esinl-ecosl+1—Jsin(lnj-)dj-?

sin(liLr)clj-=y[e(sinl-cosl)+】1?

71.

||sin(lnj-)d.r=[xsindor)]|—jxdsin(ln.r)

=esinl-Jcos(ln.r)dx

=esinl-fj-cosdnj-)]+|j-dcos(ln.r)

=esinl—ecosl+1-Jsin(lar)dj-?

sin(ln.r)d.r=一cosl〉+1].

72.

/(x)(Lr=/(x)dx+「/Ddr

JTJTJo

=ln(l+er)

=卜2一出《1+」)+外：春水2公

=ln2—ln(1-4-e')4-yarctan2x|

o

IT/(x)djr=/(z)cLr+7/(x)dj

JT-1o

0r1」

r+

=ln(l+e)2

一］.0l+4x

一卜2一出《1+」)+外：春水2?

=ln2—ln(1-4-e1)4-yarctan2j'

=In2—ln(14-e1)4-

o

dzdzdudzdvdzdzdzdudzdv.dz

擊二防區(qū)+恭石十萬(wàn)擊=防區(qū)+石石+§7

=ve'-wsin/+cos/=ve'-wsin/+cos/

=e1cos/一e^sin/+cost=efcos/-e'sin/4cos/

73.=er(cosz—sin/)+cos/.=er(cos/-sinr)-bcos；.

S="'(??H哈)+“'(分(~5)

=，偉)+喈)力

翻■{;)+*停)?用卜喑

74.

B="（力田+北0），（T）

=，?。?房（3）一:/（力，

圻/⑸+"俘）,（亨+4廳）,+

一俘）-，，停）+港）?

設(shè)“=COST.則d”=-sin/dz.當(dāng)”=0時(shí)”1,當(dāng)*=5時(shí),u=0

設(shè)u=cosj--則du=-sinj-dj-，當(dāng)*=0時(shí)“=1,當(dāng)工=辛?xí)r.u=0

*,?原式——￡l?d“=~—|=-y-.

76.

積分區(qū)域D如圖所示，D的邊界1+y=l、/+y

=4用極坐標(biāo)表示分別為r=1?「=2,故積分區(qū)域2在極坐標(biāo)

系下為

(",0)|04夕&2“.14廠42},

故

222

ljxdxd<y=1d@rcos6kdr

七，

r??f2

=Jcos:OddrJdr

,1■/:

:

o7icos8d8

=cos2OdO

2cos'Odd

',（1+cos2G此

oJ0

15K

=]（6+[sin2。）

O44

積分區(qū)域D如圖所示,D的邊界1+y=

=4用極坐標(biāo)表示分別為r=l,r=2,故枳分區(qū)域D在極坐標(biāo)

系下為

|04642芯?14廠42},

故

『/d/dy=Jd@r2cos2dr

ri

=Icos:，OdOrJdr

cos20A0

04

與jcosz0A0

cos*0d8

(1+cos20)d&

OJ0

a+%in26)15K

4

方程兩邊關(guān)于上求導(dǎo),得

/(x)=2"+?in2x+J--COS2J?24-4-(-sin2j->?2

M

=2J4-2JCOS2J,.

=2+2cos2N4-2JT?(—2sin2/)

=2(1+CO52Z)-4xsin2x.

所以?/'(：)=2(1-f-cos-)—4X—■Xsin/=2—

77.

方程兩邊關(guān)于上求導(dǎo)?得

/(x>=2"+sin2r+jr-COS2T?2+-sin2j-)?2

M

=2J4-2XCOS2J,.

//<x)=2+2cos2“4-2J-?(—2sin21)

=2(1+cos2x)-4xsin2x.

所以/6)2(1+co*5)-4X手XsinJ

44I

介+y(]+工?+y)

78.

.??臣=-7777.____1__________2x_

a”l+xl+y22+.

=__________￡__________.e?rcunJJrJ

J1十.2(14-x1+J?)

79.因?yàn)閥,=4x3sinx+x4cosx,所以dy=(4x3sinx+x4cosx)dx

80.

fa/=2[arcsinzcK1)

J/TT7J

=2[+/arcsidrt2vT—x]+C.

ja^-*IVrdj=2[arcsin-rd(4+1)

J/TT7J

=2[Mm&rcsirtrt24—1]+C.

g(j')在.r=a處連續(xù)?于是li叫(z)=M(a).

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.知

lim￡'i)二幺。1=lim在二"‘屋"匕9=limg(x)=g(a)存在.

-X-ai??x-a1一”

81.故/(工)在：〃處可導(dǎo)且/'(a)—*(&).

g(x)在/=a處連續(xù),于是li呼(>r)=g(a).

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義,知”

1淅這二42=?七一°=limg(x)=x(a)存在.

LaT-aJ??x-a

故/(x)在x=a處可導(dǎo)且/'(a)=X(a).

82.

由所給累次枳分畫出原二重積分的枳分區(qū)域D的示意圖,如圖所示?據(jù)此將D

視作Y型區(qū)域?即

D=((/?,)|04y41“42一田.

因此

|dj-j/(*.y)dy+1cLrjof(x.y)dy/(z,y)<Lr.

由所給累次枳分同出原二重積分的枳分區(qū)域。的示意圖?如圖所示?據(jù)此將D

視作Y-型區(qū)域.即

D=((?r?y)|O4y&l42一田?

因此

/(?r?y)dy+/<x.y)dy=(dyj/(/,y)dx.

，，

|2/—zdz=Jyi-(x-i)2d(x-i)vT-rd/

個(gè)，=MinAJ,cosZ-cos/idA

1(1+cos2/i)dh

2

=,dh+cos2Ad(2A)

=子+4-sin2/iI=

83.44IT4

1°/P=Td/

q\一(工一1)'d(z—1)=(

今■，

=“nAJ±cosA?cos/idA

2.

(1+cos2A)dA

2

T1嚴(yán)+由cos2Ad(2A)

=/％由2仁=n

84.

該胭屬于=fs型的微分方程?可通過(guò)連續(xù)枳分求得通解?

對(duì)＜=Z+1兩邊積分?得y"=1/+i+a?將初始條件/⑹-1代人?得3

1?即

『—彳M-4-x4-1.

兩邊再枳分.得y'=+［尸+i+G，將/(0)=0代人?得a-0?即

0L

?11119j

,=丁+丁+

兩邊再積分?得y=%+1/+#+&?將y(o)=2代人?得a

故所求特科為

v=~+*+，+2?

4404

該超屬于y-=/(X)型的微分方程?可通過(guò)連續(xù)枳分求得通解.

對(duì)/="十】?jī)蛇叿e分?得y"=)，+i+G?將初始條件/⑹-1代人?得a=

1?即

兩邊再枳分,得y=1z+*+G.將/0)=0代人?得a-o.w

?13?19j

y=石”+短+

兩邊再積分?得y=1/十#+a?將y(0)=2代人?得C,-2

故所求特解為

將微分方程改寫為半+y=L

ckrjrlnjrx

這是一階線性微分方程?我們用公式法求解.

dj-+C'

.

=亡付"+。)

將y(c)=1代入?解得C=4??所以特解為

歲?=/(后+土卜

85.

將微分方程改寫為半+1—y='

dxxln-rx

這是一階線性微分方程?我們用公式法求解.

y=對(duì)志山［J十J比“dz+C

=i￡(fJlnjdj+C)

7屁+高

將y(e)=1代入，解得C=9.所以特解為

歹=/(&+油力

方程可化為學(xué)十*aor=seer+tanr這是一階線性微分方程,利用通解公式

dr

(seer+ianx)eJta*u4,dx+C

seuttanx+c]

COJkT(lr

+*+C)

86.siar+CCO^JT+1.

方程可化為乎+JUILT=2+lanr這是一階線性微分方程?利用通解公式

dr

(seer+ianx)JicLr+C]

sear+janxj了+《?

cosx]

8叩…熹+C)

sinx+Ccosr+1.

里二一，二

由于sin,acos/—cosZ4-/sin/=/nin/.

dfdt