第30講三角函數解答題7種常見題型總結（原卷版）

第30講三角函數解答題7種常見題型總結【題型目錄】題型一：三角恒等變換的應用題型二：三角函數最值值域問題題型三：三角函數的單調性問題題型四：五點法作圖問題題型五：三角函數不等式恒成立問題題型六：三角函數零點根的個數問題題型七：三角函數的應用性問題【典例例題】題型一：三角恒等變換的應用【例1】（2022·江蘇蘇州·高一期末）已知函數.(1)若函數的圖象過點，且，求的值；(2)若，且，求的值.【例2】（2022·重慶八中高三開學考試）已知，，.(1)求的值；(2)求的值.【例3】（2022·全國·高一課時練習）已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【例4】（2022·江蘇·高一開學考試）已知函數．(1)，為銳角，，，求及的值；(2)已知，，，求及的值．【題型專練】1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）已知，．(1)求cos2α的值；(2)若，且，求角β．2．（2022·廣西·桂林市第十九中學高一期中）已知．(1)求和；(2)求．3．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，．求：(1)；(2)．4．（2022·四川自貢·高一期末）已知函數.(1)求函數的周期和單調遞減區(qū)間；(2)將的圖象向右平移個單位，得到的圖象，已知，，求值.5．（2023安徽·高三階段練習（理））已知函數，滿足.(1)求的解析式；(2)將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向右平移個單位長度得到的圖象，若，，求的值.題型二：三角函數最值值域問題【例1】函數且滿足___________.①函數的最小正周期為；②已知，，且的最小值為，在這兩個條件中任選一個，補充在上面橫線處，然后解答問題.（1）確定的值并求函數的單調區(qū)間；（2）求函數在上的值域.【例2】（2022·浙江·高三開學考試）已知函數.(1)求函數的單調遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間［0，］上的最值.【例3】（2022·遼寧撫順·高一期末）函數，函數的最小正周期為.(1)求函數的遞增區(qū)間：(2)將函數的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像，再將函數的圖像上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數的圖像，求函數在上的值域.【例4】（2022·遼寧·高一期末）函數（1）說明函數的圖像是由函數經過怎樣的變換得到的；（2）函數，求函數的值域，并指出的最小正周期（不需要證明）.【例5】（2022·安徽·合肥工業(yè)大學附屬中學高二期末）已知函數．(1)求函數的最小正周期和單調遞減區(qū)間；(2)若將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的兩倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象，求函數在區(qū)間上的值域．【例6】先將函數圖像上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍(橫坐標不變)，再將所得到的圖像橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)得到函數的圖像.（1）求函數的解析式；（2）若，滿足，且，設，求函數在上的最大值.【題型專練】1．（2022·廣西·北海市教育教學研究室高一期末）已知函數的最小正周期為．(1)求的值；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的縱坐標也擴大為原來的2倍，得到函數的圖象，求在區(qū)間上的值域．2．（2022·陜西西安·高一期末）已知函數相鄰兩個零點之間的距離為，且的圖像關于點（，0）對稱．(1)求函數的解析式；(2)將圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再將所得的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，若在[0，m]上的值域為[－1，2]，求m的取值范圍．3．（2022·福建·高二學業(yè)考試）已知函數，求：(1)求函數的最小正周期；(2)求函數在區(qū)間上的值域．(3)描述如何由的圖象變換得到函數的圖象．4．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室高一期中）已知，其中，給出三個條件：①關于直線對稱；②；③圖象沿x軸向左平移個單位可以得到一個偶函數．(1)在這三個條件中任選一個，求；(2)根據（1）所求函數表達式，求在上的值域．5．（2022·福建·莆田一中高一期中）已知函數，其中.函數圖象的一個對稱中心坐標為.(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象，求的最大值以及取得最大值時所有的集合.6．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)容山中學高一期中）已知函數﹒(1)求函數的最小正周期；(2)先將函數的圖像向右平移個單位長度，再將所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，得到函數的圖像，求函數在上的值域.7．（2022·安徽師范大學附屬中學高一學業(yè)考試）已知函數為奇函數，對，恒成立，且.(1)求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2)將函數的圖象向右平移個單位，再把橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，當時，求函數的值域.8．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．(1)求的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；(2)若的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到，求函數在上的值域．題型三：三角函數的單調性問題【例1】（2022·全國·高一課時練習）已知函數為奇函數．(1)求實數的值；(2)若，求函數的單調遞增區(qū)間．【例2】（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三開學考試）已知函數(1)求函數的最小正周期及對稱軸方程；(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變?橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，求在[0，2π]上的單調遞減區(qū)間.【例3】（2022·陜西咸陽·高一期末）已知函數（），且函數的最小正周期為.(1)求的解析式；(2)先將的圖象上所有點向左平移m（）個單位長度，再把所有點的橫坐標縮小到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象，若的圖象關于直線對稱，求當m取最小值時，函數的單調遞增區(qū)間.【例4】（2022·重慶八中高三階段練習）已知函數的最小值為.(1)求函數的最大值；(2)把函數的圖象向右平移個單位，可得函數的圖象，且函數在上為增函數，求的最大值.【例5】（2022·湖南懷化·高二開學考試）已知函數的圖象關于直線對稱.(1)若的最小正周期為，求的解析式.(2)若是的零點，是否存在實數，使得在上單調？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.【題型專練】1．（2022·全國·高一課時練習）已知下列三個條件：①函數為奇函數；②當時，；③是函數的一個零點．從這三個條件中任選一個填在下面的橫線處，并解答下列問題．已知函數，______．(1)求函數的解析式；(2)求函數在上的單調遞增區(qū)間．2．（2022·山東濱州·高二期末）已知函數的最小值為1.(1)求常數的值；(2)當時，求函數的單調遞增區(qū)間.3．（2022·全國·高一課時練習）已知點，是函數圖象上的任意兩點，且角的終邊經過點，當時，的最小值為．(1)求函數的解析式；(2)求函數圖象的對稱中心及在上的單調減區(qū)間．4．（2021·四川省武勝烈面中學校高二開學考試（理））已知函數，其中.(1)求最小正周期；(2)若函數，且對任意的，當時，均有成立，求正實數的最大值.5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)當時，函數的圖象關于直線對稱，求的值；(2)在第一問的條件下，將的圖像向右平移個單位得到函數，求在上的單調遞增區(qū)間．6．（2022·山東省郯城第一中學高一階段練習）已知函數的最小正周期為，且點是該函數圖象上的一個最高點.(1)求函數的解析式；(2)把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，在上是增函數，求的取值范圍.題型四：五點法作圖問題【例1】（2022·全國·高一課時練習）某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據．(1)求函數的解析式，并補全表中數據；(2)將圖象上所有點向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象．若圖象的一個對稱中心為，求的最小值．【例2】（2022·全國·高一課時練習）某同學用“五點法”畫函數（，）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表．0050(1)請將上表數據補充完整并求出函數的解析式；(2)若，求函數圖象的對稱中心及對稱軸；(3)若，求函數的單調區(qū)間．【題型專練】1．（2022·全國·高一單元測試）設，函數的最小正周期為，且．(1)求和的值；(2)在給定坐標系中作出函數在上的圖像；(3)若，求的取值范圍．2．（2023·全國·高三專題練習）某同學用“五點法”畫函數在某一周期內的圖像時，列表并填入的部分數據如下表：x001010000(1)請?zhí)顚懮媳淼目崭裉?；畫出函數在此周期內的圖像，并寫出函數的解析式；(2)若關于x的方程在區(qū)間上有解，求實數m的取值范圍？(3)將函數的圖像向右平移個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，若函數在區(qū)間上恰有10條對稱軸，求的取值范圍？題型五：三角函數不等式恒成立問題【例1】（2022·全國·高一課時練習）設函數．(1)求函數的定義域和單調區(qū)間;(2)求不等式的解集．【例2】（2022·貴州黔東南·高一期末）已知函數．(1)求函數的最小正周期；(2)現(xiàn)將圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變；再向右平移個單位長度得到的圖像，若當時，恒成立，求實數m的取值范圍．【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數的部分圖象如圖所示.(1)求函數的解析式；(2)先將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象.（i）若，當時，的值域為，求實數m的取值范圍；（ii）若不等式對任意的恒成立，求實數t的取值范圍.【題型專練】1．（2022·湖南·湘潭一中高一期末）已知函數，.(1)求函數的最小值；(2)把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求不等式的解集.2．（2022·全國·高一課時練習）已知函數圖象的一個對稱中心為，其中為常數，且.(1)求函數的解析式；(2)已知函數，若對任意的，均有，求實數的取值范圍.3．（2022·北京延慶·高一期末）已知函數.(1)求函數的單調遞增區(qū)間和圖像的對稱中心；(2)當時，求的值域；(3)求不等式的解集.4．（2022·遼寧·建平縣實驗中學高一階段練習）請從“①函數的圖象關于直線對稱；②函數的圖象關于點對稱；③對任意實數，恒成立”這三個條件中任選一個，補充到下面橫線處，并作答．已知函數（，），其圖象中相鄰的兩個對稱中心間的距離為，且______．(1)求的解析式(2)將的圖象向左平移個單位長度，得到曲線，若在區(qū)間上存在滿足，求實數的取值范圍．5．（2022·吉林·梅河口市第五中學高一期末）已知函數，．(1)求函數的最小正周期以及函數在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)將函數圖象的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若，求實數的取值范圍．題型六：三角函數零點根的個數問題【例1】（2022·陜西西安·高一期末）已知函數是偶函數.(1)求的值；(2)將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，最后向上平移1個單位長度后，得到的圖象，若關于的方程在有兩個不同的根，求實數的取值范圍.【例2】（2022·重慶八中高一期末）函數的一段圖象如下圖所示.(1)求函數的解析式；(2)將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象.求直線與函數的圖象在內所有交點的橫坐標之和.【例3】（2022·廣東梅州·高一期末）已知函數最小正周期為.(1)求的值：(2)將函數的圖象先向左平移個單位，然后向上平移1個單位，得到函數，若在上至少含有4個零點，求b的最小值.【例4】（2022·河南駐馬店·高一期末）已知函數，且的最小正周期為，將的圖像沿x軸向左平移個單位，得到函數，其中為的一條對稱軸．(1)求函數與的解析式；(2)若方程在區(qū)間有解，求實數t的取值范圍．【例5】（2022·全國·高一）已知函數(1)求函數的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)把的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，已知關于x的方程在上有兩個不同的解.①求實數m的取值范圍；②證明：.【例6】（2022·湖北恩施·高一期中）已知函數的最小正周期為．(1)求f（x）的單調增區(qū)間；(2)將f（x）的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，若在[0，b]（）上至少含有2022個零點，求b的最小值．【例7】已知函數（1）當時，求的單增區(qū)間；（2）將函數的圖像向右平移個單位后得到函數，若關于的方程在上有解，那么當取某一確定值時，方程所有解的和記為，求所有可能值及相應的取值范圍.【例8】（2022·山東濰坊·高二開學考試）已知數的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域；(3)對于第（2）問中的函數，記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值.【題型專練】1．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數的部分圖象如圖．(1)求f（x）的表達式；(2)將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數g（x）的圖象．若關于x的方程在上有兩個不同的實數解，求實數m的取值范圍．2．（2022·福建福州·高一期末）已知函數為奇函數，且當時，.(1)求f（x）的解析式；(2)將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，記方程在上的根從小到大依次為，試確定n的值，并求的值.3．（2022·內蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數的部分圖象如圖所示．(1)求函數的解析式：(2)將函數的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），然后將所得圖象上每一個點都向下平移1個單位（橫坐標不變），得到函數的圖象，若方程在上有實數根，求實數m的取值范圍．4.（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)若不等式對任意恒成立，求整數m的最大值；(2)若函數，將函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數的圖象，若關于x的方程在上有2個不同實數解，求實數k的取值范圍．5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數部分圖象如圖所示．(1)求函數的解析式．(2)若將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，然后再向右平移個長度單位，得到函數的圖象關于y軸對稱，求的最小值．(3)設函數在區(qū)間上有兩個不同的零點，求．6．（2022·江西省萬載中學高一階段練習）已知函數.(1)若，，求的對稱中心；(2)已知，函數圖象向右平移個單位得到函數的圖象，是的一個零點，若函數在（m，且）上恰好有10個零點，求的最小值；7．（2022·遼寧·沈陽二中高一階段練習）已知函數．(1)若不等式對任意恒成立，求整數m的最大值；(2)若函數，將函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數的圖象，若關于x的方程在上有解，求實數k的取值范圍．（參考公式：．）8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖像關于直線對稱，且在區(qū)間上單調遞增；(1)求解析式．(2)若，將函數的圖象所有的點向右平移個單位長度，再把所得圖像上各點橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象；若在上恰有兩個零點，求的取值范圍．9．（2022·上海市建平中學高一階段練習）已知函數．(1)將函數形式化簡為的形式，寫出其振幅、初相與最小正周期；(2)求函數的最小值與此時所有的取值；(3)將函數的圖像向右移動個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的倍得到的圖像，如果在區(qū)間上至少有100個最大值，那么求的取值范圍．10．（2022·河南·永城市苗橋鄉(xiāng)重點中學高一期末）已知函數的部分圖象如圖所示．(1)求函數的解析式：(2)將函數的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數的圖象．①當時，求函數的值域；②若方程在上有三個不相等的實數根，求的值．題型七：三角函數的應用性問題【例1】（2022·全國·高一課時練習）某旅游景區(qū)每年都會接待大批游客，為了控制經營成本，減少浪費，某酒店計劃適時調整投入．為此他們統(tǒng)計了歷年中每個月入住的游客人數，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來酒店入住的游客人數呈周期性變化且在第一季度內有對稱性特征，并且具有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人數基本相同；②入住酒店的游客人數在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住酒店的游客約為100人，隨后逐月遞增，在8月份達到最多．(1)函數模型和中用哪一個來描述一年中入住酒店的游客人數與月份之間的關系更合適，為什么?并求出的解析式；(2)在（1）中選擇的基礎上，試確定酒店在哪幾個月份要準備至少400份（每人一份）食物．【例2】（2022·江蘇省如皋中學高一期末）建設生態(tài)文明是關系人民福祉、關乎民族未來的長遠大計．某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應國家節(jié)能減排的號召，在氣溫低于時，才開放中央空調，否則關閉中央空調．如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關系．(1)求的表達式；(2)請根據(1)的結論，求該商場的中央空調在一天內開啟的時長．【例3】（2022·陜西渭南·高一期末）一半徑為的水輪（如圖所示），水輪圓心O離水面，已知水輪逆時針轉動，每轉一圈，且當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間.(1)試建立適當的坐標系，將點P距離水面的高度表示為時間的函數；(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？【例4】（2022·廣西桂林·高一期末）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數，下面是該港口的水深數據：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數模型：，你認為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應關系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？【例5】（2022·浙江省杭州學軍中學高二開學考試）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設置有個座艙，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當到達最高點時距離地面米，勻速轉動一周大約需要分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時.(1)經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數關系式滿足（其中），求摩天輪轉動一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔5個座艙，在摩天輪轉動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.【題型專練】1．（2022·江蘇蘇州·高一期中）某港口海水的深度是時間t（時）（）的函數，記為.已知某日海水深度的數據如下：t（時）0246810121416182022249.512.51412.59.58.09.512.514.012.59.58.09.5經長期觀察，的曲線可近似地看成函數的圖象.(1)根據以上數據，求出函數的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5或5以上時認為是安全的（船舶停靠時，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底離水面的距離）為7.5，如果該船希望在同一天內安全進出港，請問：它至多能在港內停留多長時間（忽略進出港所需時間）？2．（2022·全國·高一）某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑