統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學一輪復習第1章集合常用邏輯用語不等式第4節(jié)不等關系與不等式教師用書教案北師大版

PAGE不等關系與不等式[考試要求]1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系.2.了解不等式(組)的實際背景．1．兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞ba，b∈R，,a－b＝0?a＝ba，b∈R，,a－b＜0?a＜ba，b∈R；))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1?a＝ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＜1?a＜ba∈R，b＞0.))2．不等式的性質(1)對稱性：a>b?b<a；(雙向性)(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(單向性)(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)(4)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d；(單向性)(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；(單向性)a>b，c<0?ac<bc；(單向性)(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd；(單向性)(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(單向性)(8)開方法則：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n≥2，n∈N)．(單向性)提示：同向不等式可相加，不能相減．eq\a\vs4\al([常用結論])1．倒數(shù)性質(1)a＞b，ab＞0?；(2)a＜0＜b?；(3)a＞b＞0，d＞c＞0?.2．分數(shù)性質若a＞b＞0，m＞0，則(1)真分數(shù)性質：(b－m＞0)；(2)假分數(shù)性質：(b－m＞0)．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a＞b，則ac2＞bc2.()(2)若ac2＞bc2，則a＞b.()(3)若eq\f(a,b)＞1，則a＞b.()(4)若a＋c＞b＋c，則a＞b.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材習題衍生1．設a，b，c∈R，且a＞b，則()A．ac＞bc B．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C．a2＞b2 D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，解除A，B，C，故選D.]2．若a＞b＞0，c＜d＜0，則()A．ad＞bc B．ad＜bcC．ac＞bd D．ac＜bdD[c＜d＜0?－c＞－d＞0，則有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故選D.]3．設b＜a，d＜c，則下列不等式中肯定成立的是()A．a－c＜b－d B．ac＜bdC．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋cC[由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故選C.]4．設a＝eq\r(7)＋eq\r(10)，b＝eq\r(3)＋eq\r(14)，則a與b的大小關系為()A．a＝b B．a＞bC．a＜b D．無法推斷B[a2＝17＋2eq\r(70)，b2＝17＋2eq\r(42)，由2eq\r(70)＞2eq\r(42)，知a2＞b2，又a＞0，b＞0，所以a＞b，故選B.]考點一比較兩個數(shù)(式)的大小比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小的三種方法(1)當兩個數(shù)(或式子)正負未知且為多項式時，用作差法．步驟：①作差；②變形；③推斷差的符號；④下結論．變形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．(2)作商法：適用于分式、指數(shù)式、對數(shù)式，要求兩個數(shù)(或式子)為正數(shù)．步驟：①作商；②變形；③推斷商與1的大??；④下結論．(3)特殊值法：對于比較困難的代數(shù)式比較大小，利用不等式的性質不易比較大小時，可以采納特殊值法比較．[典例1](1)若0＜x＜1，p，q∈N*，則M＝1＋xp＋q與N＝xp＋xq的大小關系為()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不確定(2)若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，則a________b．(填“＞”或“＜”)(1)A(2)＜[(1)(1＋xp＋q)－(xp＋xq)＝(1－xp)＋xq(xp－1)＝(1－xp)(1－xq)，∵0＜x＜1，p，q∈N*，∴1－xp＞0,1－xq＞0，∴(1－xp)(1－xq)＞0，∴1＋xp＋q＞xp＋xq，即M＞N，故選A.(2)法一：(作商法)易知a＞0，b＞0，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89＞1，所以b＞a.法二：(作差法)b－a＝eq\f(ln3,3)－eq\f(ln2,2)＝eq\f(1,6)(2ln3－3ln2)＝eq\f(1,6)(ln9－ln8)＞0.所以b＞a.]eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(aA．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴2．設a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，則A，B的大小關系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞BB[因為A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2eq\r(ab)＋b－(a＋b)＝2eq\r(ab)≥0，所以A≥B.故選B.]考點二不等式性質的應用1.推斷不等式是否成立的方法(1)不等式性質法：干脆利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質時要特殊留意前提條件．(2)特殊值法：利用特殊值解除錯誤答案．(3)單調性法：當干脆利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調性進行推斷．2．利用不等式的性質求取值范圍的方法(1)已知x，y的范圍，求F(x，y)的范圍．可利用不等式的性質干脆求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范圍，求F(x，y)的范圍．可利用待定系數(shù)法解決，即設F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質求得F(x，y)的取值范圍．推斷不等式是否成立[典例2－1](1)若a＞b＞0，c＜d＜0，則肯定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)(2)(2024·全國卷Ⅱ)若a＞b，則()A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|(1)B(2)C[(1)由c＜d＜0得eq\f(1,d)＜eq\f(1,c)＜0，則－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，∴－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)，∴eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，故選B.(2)由函數(shù)y＝lnx的圖像(圖略)知，當0＜a－b＜1時，ln(a－b)<0，故A錯誤；因為函數(shù)y＝3x在R上單調遞增，所以當a>b時，3a>3b，故B錯誤；因為函數(shù)y＝x3在R上單調遞增，所以當a>b時，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正確；當b<a<0時，|a|<|b點評：本例第(1)題也適合用特殊值法求解．求代數(shù)式的取值范圍[典例2－2](1)已知－1＜x＜4,2＜y＜3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．(2)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．(1)(－4,2)(1,18)(2)(3,8)[(1)∵－1＜x＜4,2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，∴－4＜x－y＜2；由－1＜x＜4,2＜y＜3得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，∴1＜3x＋2y＜18.(2)設2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，則2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2,λ－μ＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)．由－1＜x＋y＜4得－2＜－eq\f(1,2)(x＋y)＜eq\f(1,2)，由2＜x－y＜3得5＜eq\f(5,2)(x－y)＜eq\f(15,2).∴3＜2x－3y＜8.]點評：x＋y，x－y,2x－3y看作三個整體，整體中x，y相互制約．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由a＞b＞0得a2＞b2，∴a2＋a＞b2＋b.反之由a2＋a＞b2＋b可得(a2＋a)－(b2＋b)＞0，即(a－b)(a＋b＋1)＞0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0,a＋b＋1＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＜0,a＋b＋1＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,a＋b＋1＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜b,a＋b＋1＜0，))無法推出a＞b＞0.因此，“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的充分不必要條件，故選A.]2．已知－1＜x＜y＜3，則x－y的取值范圍是________．(－4,0)[由－1＜x＜y＜3得，－1＜x＜3，－3＜－y＜1.∴－4＜x－y＜4，又x＜y.所以x－y＜0.∴－4＜x－y＜0.]3．已知角α，β滿意－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，則3α－β的取值范圍是___