第1章 一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試（解析版）

第1章一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點(diǎn)詮釋：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點(diǎn)詮釋：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點(diǎn)詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實(shí)際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

2.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實(shí)際問題的解決.一．一元二次方程的定義（共2小題）1．（2022秋?丹徒區(qū)期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2﹣+2＝0 B．x2+2x+3＝x（x+1） C．2x+3y＝6 D．（a2+2）x2﹣2x+3＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．由原方程變形得到：x+3＝0，該方程是關(guān)于x的一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．方程2x+3y＝6中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D．方程a2+2x＝x2+1是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2022秋?大豐區(qū)期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，則（）A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3【分析】利用一元二次方程定義可得答案．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，∴m﹣3≠0，解得：m≠3．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零．二．一元二次方程的一般形式（共2小題）3．（2022秋?建鄴區(qū)期中）將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【分析】先去括號，再移項(xiàng)，最后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即將方程（x﹣1）2＝6化成一般形式為x2﹣2x﹣5＝0，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）．4．（2021秋?海州區(qū)校級期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，﹣2，1 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1【分析】要確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，首先要把方程化成一般形式．【解答】解：∵方程3x2﹣2x＝1化成一般形式是3x2﹣2x﹣1＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣2，常數(shù)項(xiàng)為﹣1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式．正確記憶一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）是解題關(guān)鍵．三．一元二次方程的解（共2小題）5．（2022秋?邳州市期末）已知關(guān)于x的方程x2+bx+2＝0的一個根為x＝1，則實(shí)數(shù)b的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】根據(jù)題意可得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，解得：a＝﹣3，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的意義是解題的關(guān)鍵．6．（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一個根是0，則k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2【分析】先把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得k2﹣4＝0，解關(guān)于k的方程得k1＝2，k2＝﹣2，然后根據(jù)一元二次方程的定義可確定k的值．【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程-直接開平方法（共2小題）7．（2022秋?蘇州期末）方程x2＝4的根是（）A． B．2 C．或 D．2或﹣2【分析】直接兩邊開平方即可得到答案．【解答】解：兩邊開平方得，x＝±2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．8．（2022秋?宜興市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【分析】利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．五．解一元二次方程-配方法（共2小題）9．（2017秋?灌云縣月考）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上4配方得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2+4x＝3，配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?京口區(qū)校級期末）解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；（2）2x2﹣4x﹣7＝0．【分析】（1）先把方程變形為（x﹣1）2＝4，然后利用直接開平方法解方程；（2）先利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．也考查了直接開平方法．六．解一元二次方程-公式法（共1小題）11．（2022秋?海安市期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1；（2）x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1，（2x﹣1）2＝（x+1）2，（2x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，[（2x﹣1）+（x+1）][（2x﹣1）﹣（x+1）]＝0，∴3x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有：直接開平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）12．（2023?鼓樓區(qū)二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．【分析】先移項(xiàng)得到x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6），x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，∴x﹣6＝0或x+4＝0∴x1＝6，x2＝﹣4．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．13．（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）按要求解方程：（1）直接開平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2；（2）配方法：2x2﹣7x﹣4＝0；（3）公式法：3x2+5（2x+1）＝0；（4）因式分解法：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．【分析】（1）先把方程兩邊開方得到2（t﹣3）＝±3（2t﹣3），然后解兩個一次方程即可；（2）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接開平方法解方程；（3）先把方程化為一般式，再計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（4）先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：（1）4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2，2（t﹣3）＝±3（2t﹣3），即2（t﹣3）＝3（2t﹣3）或2（t﹣3）＝﹣3（2t﹣3），所以t1＝，t2＝；（2）2x2﹣7x﹣4＝0，x2﹣x＝2，x2﹣x+（）2＝2+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，解得x1＝4，x2＝﹣；（3）3x2+5（2x+1）＝0，3x2+10x+5＝0，∵a＝3，b＝10，c＝5，∴Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（4）3（x﹣5）2＝2（5﹣x），3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，x﹣5＝0或3x﹣15+2＝0，所以x1＝5，x2＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．八．換元法解一元二次方程（共2小題）14．（2022秋?建湖縣校級月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．【分析】（1）先移項(xiàng)，再配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移項(xiàng)后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0，x2+4x＝6，配方，得x2+4x+4＝6+4，（x+2）2＝10，開方，得x+2＝，x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，或x+4﹣5＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1；（3）3x2﹣1＝4x，3x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0，（x+2﹣3）（x+2﹣5）＝0，x+2﹣3＝0或x+2﹣5＝0，解得：x1＝1，x2＝3．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．15．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：小敏：兩邊同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，則x＝6．小霞：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【分析】小敏：沒有考慮x﹣3＝0的情況；小霞：提取公因式時出現(xiàn)了錯誤．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：×；小霞：×．正確的解答方法：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程時可以采取公式法，因式分解法，配方法以及換元法等，至于選擇哪一解題方法，需要根據(jù)方程的特點(diǎn)進(jìn)行選擇．九．根的判別式（共2小題）16．（2022秋?邗江區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）若方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，請求出m，n的關(guān)系；（2）求證：當(dāng)n＝m﹣2時，方程總有兩個實(shí)數(shù)根．【分析】（1）根據(jù)根的判別式符號進(jìn)行求解；（2）根據(jù)判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）由題意得：Δ＝n2﹣4m?（﹣2）Δ＝n2+8m，∵方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，∴n2+8m＝0，∴n2＝﹣8m；（2）當(dāng)n＝m﹣2時，Δ＝（m﹣2）2+8m＝m2+4m+4，∵m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程始終有兩個實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的判別式．17．（2022秋?泰興市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有兩個實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）取一個合適的k的值，使得方程的解為負(fù)整數(shù)并求出此時方程的解．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根可知△≥0，求出k的值即可；（2）取k＝3或4，代入方程求出x的值即可．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有兩個實(shí)數(shù)，∴Δ＝16﹣4k≥0，∴k≤4；（2）取k＝3或4，若k＝3時x1＝﹣1，x2＝﹣3，若k＝4時x1＝x2＝﹣2．【點(diǎn)評】此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，求出k的值；一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）18．（2023?南京三模）若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的兩個根，則（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】先計(jì)算根的判別式的值得到Δ＝a2+8＞0，則根據(jù)根的判別式的意義可對A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝a，x1x2＝﹣2＜0，則可對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；然后利用a的符號不能確定可對B選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，即x1≠x2，所以A選項(xiàng)符合題意；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝a，x1x2＝﹣2＜0，∴方程的兩個根異號，所以C選項(xiàng)不符合題意；∵a的符號不能確定，∴B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．19．（2022秋?太倉市期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩根，求代數(shù)式a2+2a+b﹣5的值．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2＝2﹣a，利用降次方法得到a2+2a+b﹣5＝a+b﹣3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝﹣1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2＝0的根，∴a2+a﹣2＝0，即a2＝2﹣a，∴a2+2a+b﹣5＝2﹣a+2a+b﹣5＝a+b﹣3，∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b﹣5＝﹣1﹣3＝﹣4．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．20．（2022秋?大豐區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0）（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)a的值．【分析】（1）求出Δ＝b2﹣4ac即可證出結(jié)論；（2）利用求根公式解方程，然后利用有理數(shù)的整除性確定a的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（a﹣2），＝4a2﹣8a+4﹣4a2+8a，＝4＞0；∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：，x1＝1，．∵方程的根均為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴a＝±1或a＝±2，∴正整數(shù)a為1，2．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0時，方程由兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根．一十一．一元二次方程的應(yīng)用（共2小題）21．（2022秋?常州期末）常州大劇院舉辦文藝演出．經(jīng)調(diào)研，如果票價(jià)定為每張50元，那么1200張門票可以全部售出；如果票價(jià)每增加1元，那么售出的門票將會減少20張．要使門票收入達(dá)到60500元，票價(jià)應(yīng)定為多少元？【分析】可設(shè)票價(jià)應(yīng)定為x元，根據(jù)票價(jià)×銷售的票數(shù)＝獲得門票收入，即可列出一元二次方程解題．【解答】解：設(shè)票價(jià)應(yīng)定為x元，由題意得：x[1200﹣20（x﹣50）]＝60500，解得：x1＝x2＝55．答：票價(jià)應(yīng)定為55元．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程式解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?江陰市期末）某校為表彰“學(xué)生節(jié)”中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生，計(jì)劃購買古典詩詞和散文兩類圖書作為獎品．已知古典詩詞類圖書每本60元，散文類圖書每本40元．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，商家決定對古典詩詞類圖書推出銷售優(yōu)惠活動，但是散文類圖書售價(jià)不變．若購買古典詩詞類圖書不超過40本時，均按每本60元價(jià)格銷售；超過40本時，每增加2本，單價(jià)降低1元．（1）如果購買古典詩詞類圖書46本，則每本古典詩詞類圖書的單價(jià)是57元；（2）如果該校共購進(jìn)圖書100本，用去購書款4750元．求該校購進(jìn)古典詩詞類圖書多少本？【分析】（1）利用每本古典詩詞類圖書的單價(jià)＝60﹣1×，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該校購進(jìn)古典詩詞類圖書x本，則購進(jìn)散文類圖書（100﹣x）本，分x≤40及x＞40兩種情況考慮，當(dāng)x≤40時，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出x的值，結(jié)合x為正整數(shù)，可得出該情況不符合題意，舍去；當(dāng)x＞40時，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：60﹣1×＝60﹣1×＝60﹣3＝57（元）．故答案為：57；（2）設(shè)該校購進(jìn)古典詩詞類圖書x本，則購進(jìn)散文類圖書（100﹣x）本．當(dāng)x≤40時，60x+40（100﹣x）＝4750，解得：x＝，又∵x為正整數(shù)，∴x＝不符合題意，舍去；當(dāng)x＞40時，（60﹣1×）x+40（100﹣x）＝4750，整理得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30（不符合題意，舍去），x2＝50．答：該校購進(jìn)古典詩詞類圖書50本．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程（一元二次方程）是解題的關(guān)鍵．一十二．配方法的應(yīng)用（共1小題）23．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．【分析】（1）仿照例題的思路，配成兩個完全平方式，然后利用偶次方的非負(fù)性，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）仿照例題的思路，配成兩個完全平方式，再利用偶次方的非負(fù)性，先求出a，b的值，然后分兩種情況，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值為﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當(dāng)c＝5時，△ABC的周長為5+5+4＝14，當(dāng)c＝4，△ABC的周長為5+4+4＝13，所以△ABC的周長為13或14．【點(diǎn)評】本題考查了配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．一十三．高次方程（共2小題）24．（2022?揚(yáng)州一模）已知x1、x2、x3為方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三個實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜0【分析】由x3+3x2﹣9x﹣4＝0可得x2+3x﹣9＝則x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此畫出函數(shù)圖象求解即可．【解答】解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，當(dāng)x＝0時，﹣4≠0，∴x2+3x﹣9﹣＝0，∴x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由函數(shù)圖象可知x1x2x3＞0，x1+x2+x3＜0，根據(jù)已知條件無法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合，正確理解題意得到x1、x2、x3可以看作是拋物線y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?鎮(zhèn)江月考）閱讀理解：回顧我們學(xué)過的各類方程的解法，不難發(fā)現(xiàn)：各類方程的解法雖各不相同，但是它們的一個共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，即化未知為已知．用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，我們可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解一元一次方程x＝0和一元二次方程x2+x﹣2＝0，可得x＝0，x＝﹣2，x＝1；操作嘗試：解一元三次方程x4+x3﹣x2＝0．【分析】先通過因式分解把方程化為兩個二次方程，再利用公式法求解二次方程．【解答】解：x4+x3﹣x2＝0，∴x2（x2+x﹣1）＝0．∴x2＝0，x2+x﹣1＝0．當(dāng)x2＝0時，x1＝x2＝0；當(dāng)x2+x﹣1＝0時，x＝．∴x3＝，x4＝．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂題例掌握一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．一十四．無理方程（共2小題）26．（2022秋?邳州市期中）我們已探索過二元一次方程組、分式方程及一元二次方程方程的解法，在學(xué)習(xí)過程中感受到轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想及檢驗(yàn)反思的數(shù)學(xué)方法．（1）你能否用這些數(shù)學(xué)思想方法來探索方程﹣x+＝﹣1的解？（2）在求解的過程中，你有何疑惑，請嘗試解決這些疑惑？【分析】（1）根據(jù)兩邊分別平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，結(jié)果一定要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)解題過程解答．【解答】解：（1）解：移項(xiàng)，得：＝x﹣1，方程兩邊平方，得x+5＝x2﹣2x+1，即x2﹣3x﹣4＝0，解方程，得x＝﹣1或x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的解；（2）疑惑是：如何把無理方程化為有理方程，通過兩邊平方解決．【點(diǎn)評】本題考查了無理方程，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?太倉市期中）閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．解：∵x2＝|x|2，∴方程即為：|x|2+|x|﹣2＝0，設(shè)|x|＝t，原方程轉(zhuǎn)化為：t2+t﹣2＝0解得，t1＝1，t2＝﹣2，當(dāng)t1＝1時，即|x|＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；當(dāng)t2＝﹣2時，即|x|＝﹣2，不成立．∴綜上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．以上解方程的過程中，將其中|x|作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)t，從而將原方程化為關(guān)于t的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．（1）已知方程：x2+﹣2x﹣﹣1＝0，若設(shè)x+＝m，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于m的方程是m2﹣2m﹣3＝0；（2）仿照上述方法，解方程：﹣﹣5＝0．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式由x+＝m，得，再變形原方程便可；（2）設(shè)，則，得m2﹣m﹣6＝0，再解一元二次方程，最后代入所設(shè)代數(shù)式解方程便可．【解答】解：（1）設(shè)x+＝m，則，∴x2+﹣2x﹣﹣1＝0可化為：m2﹣2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣2m﹣3＝0，故答案為：m2﹣2m﹣3＝0；（2）設(shè)，則，原方程可化為：m2﹣1﹣m﹣5＝0，整理得m2﹣m﹣6＝0，（m﹣3）（m+2）＝0，m﹣3＝0或m+2＝0，∴m＝3或﹣2，當(dāng)m＝3時，，解得x＝，當(dāng)m＝﹣2時，（無解），檢驗(yàn)，當(dāng)x＝時，左邊＝8﹣3﹣5＝0＝右邊，∴x＝是原方程的解，故原方程的解為：x＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了換元法，無理方程，關(guān)鍵掌握換元法的思想方法．一十五．一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共2小題）28．（2022秋?連云港期末）一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的兩實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，則下列選項(xiàng)中a可以取的值是（）A．12 B．16 C．20 D．24【分析】分別代入數(shù)值解方程，逐一判斷即可解題．【解答】解：當(dāng)a＝12時，方程為x2﹣8x﹣12＝0，解得不是整數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＝16時，方程為x2﹣8x﹣16＝0，解得不是整數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＝20時，方程為x2﹣8x﹣20＝0，解得x＝10或x＝﹣2是整數(shù)，故C選項(xiàng)符合題意；當(dāng)a＝24時，方程為x2﹣8x﹣24＝0，解得不是整數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意；解法二：x＝4±，由選項(xiàng)可知，a＝20，符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根，解題的關(guān)鍵是利用特殊值法解決問題．29．（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p，q都是實(shí)數(shù)．（1）若q＝0時，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，求實(shí)數(shù)p的值．（2）若方程有三個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．（3）是否同時存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4＝3（）4？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，x1x2＝5﹣3p2，代入可得關(guān)于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三個不同的實(shí)數(shù)根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣2p，x1x2＝10﹣7p2，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，進(jìn)而得到關(guān)于p的方程，解出p即可求出q的值；（3）方程有四個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，由（2）知0＜q＜4p2﹣5，不妨設(shè)x1，x2是方程x2+2px﹣3p2+5﹣q＝0的兩根，x3，x4是方程x2+2px﹣3p2+5+q＝0的兩根，可得3p4＝3p4×1＝p4×2＝3p3×p＝p3×3p＝3p2×p2，進(jìn)行討論即可求解．【解答】解：（1）若q＝0，則方程為x2+2px﹣3p2+5＝0．因該方程有兩個不同的實(shí)數(shù)x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，x1x2＝5﹣3p2，解得p2＞；由，得+＝＝＝，解得p＝5或﹣．（注意5﹣3p2≠0）因?yàn)閜2＞，所以p＝5．（2）顯然q＞0．方程可寫成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因該方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y1＝x2+2px﹣3p2+5與y2＝±q的圖象有三個不同的交點(diǎn)，可得：x3＝﹣p，﹣q＝＝5﹣4p2，即q＝4p2﹣5，因?yàn)閤1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的兩根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．則x1+x2＝﹣2p，x1x2＝10﹣7p2，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得+＝+＝＝0，解得p2＝2＞，所以p＝﹣或，q＝4p2﹣5＝3．（3）存在．方程有四個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，由（2）知0＜q＜4p2﹣5，不妨設(shè)x1，x2是方程x2+2px﹣3p2+5﹣q＝0的兩根，x3，x4是方程x2+2px﹣3p2+5+q＝0的兩根，則x1+x2＝﹣2p，x1x2＝﹣3p2+5﹣q，x3+x4＝﹣2p，x3x4＝﹣3p2+5+q，則x1+x2+x3+x4＝﹣4p，x1x2x3x4＝（﹣3p2+5﹣q）（﹣3p2+5+q）＝（3p2﹣5+q）（3p2﹣5﹣q），因?yàn)閤1x2x3x4＝3（）4，所以（3p2﹣5+q）（3p2﹣5﹣q）＝3p4，因?yàn)镻是質(zhì)數(shù)，p≥2，3p2﹣5+q＞3p2﹣5﹣q＞0，所以3p2﹣5+q＞p2＞p2，3p4＝3p4×1＝p4×2＝3p3×p＝p3×3p＝3p2×p2，則，則3p4﹣6p2+11＝0無解，則，則3p4﹣6p2+13＝0無解，則，則3p3﹣6p2+p+10＝0，解得p＝﹣1，則，則p3﹣6p2+3p+10＝0，解得p＝﹣1，2，5，則，則2p2﹣10＝0，解得p＝±．故p＝2，5，所以存在滿足條件的p，q．當(dāng)p＝2時，q＝1；當(dāng)p＝5時，q＝55．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列方程屬于一元二次方程的是（）A．1﹣x＝2x B．x+2y＝3 C．2x2﹣x+1＝0 D．【分析】一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案．【解答】解：A、未知數(shù)的最高次數(shù)是1，故本選項(xiàng)不符合題意；B、方程含有兩個未知數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．（3分）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【分析】先把x2+2x＝5（x﹣2）化簡，然后根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，則a＝1，b＝﹣3，c＝10，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a叫二次項(xiàng)系數(shù)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)，c叫常數(shù)項(xiàng)．3．（3分）下列配方有錯誤的是（）A．x2﹣4x﹣1＝0，化為（x﹣2）2＝5 B．x2+6x+8＝0，化為（x+3）2＝1 C．2x2﹣7x﹣6＝0，化為（x﹣）2＝ D．3x2﹣4x﹣2＝0，化為（3x+2）2＝6【分析】根據(jù)配方法的一般步驟對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A、由x2﹣4x﹣1＝0可化為（x﹣2）2＝5，所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確；B、由x2+6x+8＝0可化為（x+3）2＝1，所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確；C、先化為x2﹣x＝3，則可化為（x﹣）2＝，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確；D、先化為x2﹣x＝，則可化為（x﹣）2＝，所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．4．（3分）關(guān)于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值是（）A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣2【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，且兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則x1+x2＝﹣＝﹣（k2﹣4）＝0，即k＝±2，當(dāng)k＝2時，方程無解，故舍去．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．5．（3分）若關(guān)于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有實(shí)數(shù)根，則x2+2x的值為（）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2【分析】設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，則原方程可化為y2+2y﹣8＝0，解得y的值，即可得到x2+2x的值．【解答】解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，則原方程可化為y2+2y﹣8＝0，解得：y1＝﹣4，y2＝2，當(dāng)y＝﹣4時，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程無解，∴x2+2x的值為2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了換元法解一元二次方程，的關(guān)鍵是把x2+2x看成一個整體來計(jì)算，即換元法思想．6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0，其中較大的一個根為x1，下列最接近x1的范圍是（）A．3＜x1＜4 B．3＜x1＜3.5 C．3.5＜x1＜3.7 D．3.7＜x1＜4【分析】先利用求根公式解方程得到x1＝1+，x2＝1﹣，然后利用無理數(shù)的估算進(jìn)行判斷．【解答】解：△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝28，x＝＝1±，所以x1＝1+，x2＝1﹣，而2.5＜＜2.7，所以3.5＜1+＜3.7．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≠0 D．0＜m＜1【分析】利用判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．8．（3分）已知無論x取何值，等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，則關(guān)于代數(shù)式a3b+ab3﹣2的值有下列結(jié)論：①交換a，b的位置，代數(shù)式的值不變；②該代數(shù)式的值是非正數(shù)；③該代數(shù)式的值不會小于﹣2，上述結(jié)論正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，表示出a+b＝2，ab＝n，將a3b+ab3﹣2化簡為ab[（a+b）2﹣2ab]﹣2，將a+b，ab的值代入然后配方可得．【解答】解：∵等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，即x2+（a+b）x+ab＝x2+2x+n恒成立，∴，∴a3b+ab3﹣2＝ab（a2+b2）﹣2＝ab[（a+b）2﹣2ab]﹣2＝n[22﹣2n]﹣2＝4n﹣2n2﹣2＝﹣2n2+4n﹣2＝﹣2（n﹣1）2≤0，∵﹣2（n﹣1）2中只與n有關(guān)，故①正確；根據(jù)偶次冪為非負(fù)數(shù)得：﹣2（n﹣1）2≤0，故②正確，③錯誤；故選：A．【點(diǎn)評】本題以恒等式為背景考查了配方法的應(yīng)用和偶次冪為非負(fù)數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)恒等式求出a+b，ab的值，將a+b，ab的值代入a3b+ab3﹣2配方化簡即可．9．（3分）2018年，宣城市全年居民人均可支配收入26112元，2020年全年居民人均可支配收入為30746元，設(shè)宣城市2018年至2020年全年居民人均可支配收入的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．26112（1+2x）＝30746 B．26112（1+x）2＝30746 C．26112（1﹣2x）＝30746 D．26112（1﹣x）2＝30746【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2018年全年居民人均可支配收入×（1+增長率）2＝2020年全年居民人均可支配收入，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：設(shè)宣城市2018年至2020年全年居民人均可支配收入的年平均增長率為x，由題意得：26112（1+x）2＝30746，故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．10．（3分）三角形的兩邊長分別為2和7，第三邊是方程x2﹣10x+21＝0的解，則第三邊的長為（）A．7 B．3 C．7或3 D．無法確定【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝7，x2＝3，然后利用三角形三邊的關(guān)系確定三角形第三邊的長．【解答】解：x2﹣10x+21＝0，（x﹣7）（x﹣3）＝0，x﹣7＝0或x﹣3＝0，所以x1＝7，x2＝3，因?yàn)?+3＝5＜7，所以三角形第三邊的長為7．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關(guān)系．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）若ax2﹣9x+5＝0是一元二次方程，則不等式3a+6＞0的解集是a＞﹣2且a≠0．【分析】首先利用一元二次方程的定義得出a的取值，進(jìn)而解不等式得出答案．【解答】解：∵ax2﹣9x+5＝0是一元二次方程，∴a≠0，∵不等式3a+6＞0，∴a＞﹣2，則a＞﹣2且a≠0．故答案為：a＞﹣2且a≠0．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的定義以及不等式解法，正確得出a的取值范圍是解題關(guān)鍵．12．（3分）解方程2（x﹣1）2＝8，則方程的解是x1＝3，x2＝﹣1．【分析】先把方程變形為（x﹣1）2＝4，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1．故答案為x1＝3，x2＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．13．（3分）方程的解是x＝1．【分析】根據(jù)解無理方程的一般步驟解出方程．【解答】解：方程兩邊平方，得2x﹣1＝1，解得，x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時，2x﹣1＝1＞0，所以原方程的解為x＝1，故答案為：x＝1．【點(diǎn)評】本題考查的是無理方程的解法，解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．14．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一個根是1，則另一根為﹣3．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，把x1＝1代入，可求x2，進(jìn)而可求m．【解答】解：根據(jù)題意可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，∵x1＝1，∴1+x2＝﹣m，x2＝﹣3，∴m＝2．故答案為：﹣3【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．15．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的值可以為3（答案不唯一）．（寫出一個即可）【分析】先根據(jù)根的判別式求出k的范圍，再在范圍內(nèi)取一個符合的數(shù)即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k）＝16+4k＞0，解得k＞﹣4，取k＝3，故答案為：3（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，能根據(jù)根的判別式的內(nèi)容得出關(guān)于k的不等式是解此題的關(guān)鍵．16．（3分）若實(shí)數(shù)a，b滿足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8＝0，則a+b＝﹣1或2．【分析】設(shè)a+b＝x，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，通過解該一元二次方程來求x即（a+b）的值．【解答】解：設(shè)a+b＝x，則由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8＝0，整理，得4x2﹣4x﹣8＝0，即x2﹣x﹣2＝0，分解得：（x+1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．則a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．【點(diǎn)評】本題主要考查了換元法，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實(shí)行等量替換．17．（3分）如圖，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一動點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，同時另一動點(diǎn)M由點(diǎn)A沿AB方向以2cm/s的速度也向B點(diǎn)運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時另一點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△MNB的面積為24cm2時運(yùn)動的時間t為2秒．【分析】根據(jù)題意可知CN＝tcm，AM＝2tcm，進(jìn)而可得出BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm，根據(jù)△MNB的面積為24cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意可知CN＝tcm，AM＝2tcm，∴BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm，∵△MNB的面積為24cm2，∴×（12﹣2t）×（8﹣t）＝24，整理得：t2﹣14t+24＝0，解得：t1＝2，t2＝12（不合題意，舍去）．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18．（3分）若代數(shù)式x2﹣4x+1的值與﹣3x+2的值相等，則x的值為x1＝，x2＝．【分析】先列方程，再把方程化為一般式，然后利用公式法解方程．【解答】解：根據(jù)題意得x2﹣4x+1＝﹣3x+2，整理得x2﹣x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案為：x1＝，x2＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．三．解答題（共6小題，滿分46分）19．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝懈饕辉畏匠蹋海?）x（x﹣2）＝15；（2）3x2+6x﹣8＝0（用配方法）；（3）（x+2）2﹣10（x+2）+21＝0；（4）3x2﹣5x+2＝0；（5）（x+2）2+（x﹣1）2＝6．【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比較簡便；（2）先把常數(shù)項(xiàng)移到等號的另一邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，配方，利用直接開平方法求解；（3）把（x+2）看成一個整體，利用因式分解的十字相乘法求解比較簡便；（5）先整理方程，用公式法比較簡便．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝15，整理，得a2﹣2a﹣15＝0，∴（a﹣5）（a+3）＝0．∴a﹣5＝0或a+3＝0．∴a1＝5，a2＝﹣3；（2）3x2+6x﹣8＝0（用配方法），移項(xiàng)，得3x2+6x＝8，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+2x＝，配方，得x2+2x+1＝，∴（x+1）2＝．∴x+1＝±．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（3）（x+2）2﹣10（x+2）+21＝0，∴[（x+2）﹣7][（x+2）﹣3]＝0，即（x﹣5）（x﹣1）＝0．∴x﹣5＝0或x﹣1＝0．∴x1＝5，x2＝1；（4）3x2﹣5x+2＝0，（3x﹣2）（x﹣1）＝0，3x﹣2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝1；（5）（x+2）2+（x﹣1）2＝6，方程整理，得2x2+2x﹣1＝0