第10講 直線與圓的位置關(guān)系（7種題型）（解析版）

第10講直線與圓的位置關(guān)系（7種題型）1.理解并掌握直線與圓的各種位置關(guān)系；

2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題；一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)．②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見(jiàn)的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．五．弦切角定理（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．六．切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．幾何語(yǔ)言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．一．直線與圓的位置關(guān)系1．（2023?淮陰區(qū)一模）已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線l的距離可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)圓O的半徑和圓心O到直線L的距離的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相離：d＞r；即可選出答案．【解答】解：∵直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)，∴直線l與⊙O相交，∵⊙O的半徑為5，∴點(diǎn)O到直線l的距離＜5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?宜興市期末）已知⊙O的半徑為6cm，點(diǎn)O到直線l的距離為7cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【分析】設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)O到直線l的距離為d，若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離，從而得出答案．【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為7cm，6＜7，∴直線l與⊙O相離．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d＞r時(shí)，直線l和⊙O相離是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∵⊙O的半徑為一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，∴r＝3，∵d＞r，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問(wèn)題可通過(guò)比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．4．（2022秋?江都區(qū)期末）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑為2，下列說(shuō)法正確的是（）A．⊙P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn) B．⊙P與x軸、y軸都沒(méi)有公共點(diǎn) C．⊙P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn) D．⊙P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．【解答】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB＝45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)OP＝x，則x的取值范圍是0＜x≤．【分析】根據(jù)題意，知直線和圓有公共點(diǎn)，則相切或相交．相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC．根據(jù)等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是，所以x的取值范圍是0＜x≤．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC，則圓的半徑OC＝1，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°，∴PC＝OC＝1，∴OP＝，同理，原點(diǎn)左側(cè)的距離也是，且線段的長(zhǎng)度是正數(shù)，∴x的取值范圍是0＜x≤，故答案為：0＜x≤．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，分別得出兩圓與圓相切時(shí)求出OP的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，難度一般，注意兩個(gè)極值點(diǎn)的尋找．6．（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）如圖，半徑為10的⊙M經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B點(diǎn)，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．（1）判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OM，由AC平分∠OAM可得∠OAC＝∠CAM，又MC＝AM，所以∠CAM＝∠ACM，進(jìn)而可得∠OAC＝∠ACM，所以O(shè)A∥MC，可得MC⊥x軸，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，則AN＝BN，且四邊形MNOC是矩形，設(shè)AO＝m，可分別表達(dá)MN和ON，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可建立等式，得出結(jié)論；【解答】解：（1）猜測(cè)⊙M與x軸相切，理由如下：如圖，連接OM，∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM，又∵M(jìn)C＝AM，∴∠CAM＝∠ACM，∴∠OAC＝∠ACM，∴OA∥MC，∵OA⊥x軸，∴MC⊥x軸，∵CM是半徑，∴⊙M與x軸相切．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，∴AN＝BN＝AB，∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，∴四邊形MNOC是矩形，∴NM＝OC，MC＝ON＝10，設(shè)AO＝m，則OC＝12﹣m，∴AN＝10﹣m，在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，∴102＝（10﹣m）2+（12﹣m）2，解得m＝4或m＝18（舍去），∴AN＝6，∴AB＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的定義，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，題目比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理．二．切線的性質(zhì)7．（2023?建鄴區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，5），⊙P與x軸相切，點(diǎn)A，B在⊙P上，它們的橫坐標(biāo)分別是0，9．若⊙P沿著x軸向右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）?A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）【分析】設(shè)⊙P與x軸的切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥y軸于C，連接PD，PA，先根據(jù)切線的性質(zhì)得出圓的半徑為5，再借助勾股定理求出AC的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)B的橫坐標(biāo)確定點(diǎn)B的位置，從而得出點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)滾動(dòng)了90°，求出弧長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)A滾動(dòng)后的坐標(biāo)．【解答】解：如圖1，設(shè)⊙P與x軸的切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥y軸于C，連接PD，PA，∴PD⊥x軸，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，5），∴PC＝4，PD＝5，即⊙P的半徑為5，∴PA＝PD＝5，在Rt△PCA中，由勾股定理得：，延長(zhǎng)CP與⊙P相交，此時(shí)交點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為9，而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為9，故交點(diǎn)為點(diǎn)B，∴∠DPB＝90°，如圖2，當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，⊙P滾動(dòng)了90°，∴點(diǎn)B滾動(dòng)的距離為：，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'，此時(shí)A'C'＝AC＝3，P'C'＝PC＝4，點(diǎn)A'的縱坐標(biāo)為P'C'+5＝4+5＝9，點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為PC+A'C'+2.5π＝4+3+2.5π＝7+2.5π，∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（7+2.5π，9），即此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（7+2.5π，9），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．8．（2023?高郵市模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D分別在兩個(gè)半圓上，若過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則∠D與∠E的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠D+∠E＝90° B．∠D+2∠E＝180° C．2∠D﹣∠E＝90° D．2∠D+∠E＝180°【分析】連接BC，OC，AC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠D＝90°﹣∠BAC＝90°﹣∠COE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCE＝90°，求得∠COE＝90°﹣∠E，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BC，OC，AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠BAC，∵OA＝OC，∠COE＝∠BAC+∠ACO，∴∠BAC＝∠ACO＝∠COE，∴∠D＝90°﹣∠BAC＝90°﹣∠COE，∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°，∴∠COE＝90°﹣∠E，∴∠D＝90°﹣∠COE＝90°﹣×（90°﹣∠E），∴2∠D﹣∠E＝90°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?阜寧縣二模）如圖?，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝115°，過(guò)點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為40°．【分析】連接OC、CD，由切線的性質(zhì)得出∠OCP＝90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ODC＝180°﹣∠A＝65°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCD＝∠ODC＝65°，求出∠DOC＝50°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：連接OC、CD，∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝65°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝65°，∴∠DOC＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?寶應(yīng)縣一模）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B，點(diǎn)C在劣弧AB上，∠P＝38°，則∠ACB＝109°．【分析】作所對(duì)的圓周角∠ADB，連接OA、OB，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四邊形的內(nèi)角和計(jì)算出∠AOB＝142°，則根據(jù)圓周角定理得到∴ADB＝71°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算∠ACB的度數(shù)．【解答】解：作所對(duì)的圓周角∠ADB，連接OA、OB，如圖，∵PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠P＝180°，∴∠AOB＝180°﹣38°＝142°，∴∠ADB＝∠AOB＝71°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣71°＝109°．故答案為：109．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．11．（2023?玄武區(qū)一模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC∥PB交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若∠P＝α，則∠PBC的度數(shù)為（）A．90°+α B．90 C．180°﹣α D．180【分析】連接OA，OB，由PA，PB是⊙O的切線，得到∠OAP＝∠OBP＝90°，即可求出∠AOB，由圓周角定理求出∠C，由平行線的性質(zhì)即可求出∠PBC．【解答】解：連接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切線，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP＝360°，∴∠AOB＝180°﹣α，∴∠C＝∠AOB＝90°﹣α，∵AC∥PB，∴∠PBC+∠C＝180°，∴∠PBC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)定理，圓周角定理求出∠C．12．（2023?邗江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半徑為2的⊙O在射線AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙O與△ABC的一邊相切時(shí)，線段CO的長(zhǎng)度為4或．【分析】當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，連接OD，求得∠ADO＝90°，過(guò)C作CE⊥AB于E，得到∠AEC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OC＝AC﹣AO＝4，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接OE，根據(jù)平角的定義得到∠OCE＝60°，于是得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，連接OD，則∠ADO＝90°，過(guò)C作CE⊥AB于E，∴∠AEC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OD＝4，∴OC＝AC﹣AO＝4，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接OE，∵∠ACB＝120°，∴∠OCE＝60°，∵OE＝2．∴，綜上所述，線段CO的長(zhǎng)度為4或，故答案為：4或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023?南通二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，DE是⊙O的切線，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AC交⊙O于點(diǎn)F，AF＝8，AB＝10，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD、OD．先證明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，從而可證明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積得出答案．【解答】（1）證明：連接AD、OD、DF．∵DE是圓O的切線，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；（2）解：連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∵AF＝8，AB＝10，∴BF＝，∴FC＝AC﹣AF＝2，在Rt△BFC中，BC＝，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BD＝DC，AD⊥BC，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴，∵OD＝AB＝5，∴，∴BD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．切線的判定14．（2022秋?東?？h校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，以3cm為半徑作⊙A，當(dāng)AB＝6cm時(shí)，BC與⊙A相切．【分析】當(dāng)BC與⊙A相切，點(diǎn)A到BC的距離等于半徑即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB＝AC，∠B＝30°，∴AD＝AB，即AB＝2AD．又∵BC與⊙A相切，∴AD就是圓A的半徑，∴AD＝3cm，則AB＝2AD＝6cm．故答案是：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定．此題利用了切線的定義和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB的長(zhǎng)度的．15．（2022秋?江陰市期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．等弧所對(duì)的圓心角相等 B．相等的弦所對(duì)的弧相等 C．過(guò)三點(diǎn)一定可以確定一個(gè)圓 D．垂直于半徑的直線是圓的切線【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)A選項(xiàng)、B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)確定圓的條件對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)切線的判定定理對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A．等弧所對(duì)的圓心角相等，所以A選項(xiàng)符合題意；B．在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．過(guò)不共線的三點(diǎn)一定可以確定一個(gè)圓，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和確定圓的條件．16．（2022秋?棲霞區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 C．垂直于半徑的直線是圓的切線 D．同弧所對(duì)的圓周角相等【分析】根據(jù)等弧的概念、確定圓的條件、切線的判斷定理、圓周角定理判斷即可．【解答】解：A、能夠互相重合的弧是等弧，長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，不符合題意；B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，不符合題意；C、經(jīng)過(guò)半徑的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，不符合題意；D、同弧所對(duì)的圓周角相等，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等弧的概念、確定圓的條件、切線的判斷定理、圓周角定理，正確理解相關(guān)的概念和定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023?沛縣模擬）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．【分析】連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可．【解答】如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直線BD與⊙O相切．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明OD⊥BD．18．（2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，O為△ABC的外心，四邊形OCDE為正方形．以下結(jié)論：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直線DE與△ABC的外接圓相切．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據(jù)三角形的外心得出OA＝OC＝OA，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐個(gè)判斷即可．【解答】解：連接OB、OD、OA，∵O為銳角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四邊形OCDE為正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本選項(xiàng)符合題意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本選項(xiàng)不符合題意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直線DE與△ABC的外接圓相切．故本選項(xiàng)符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，正方形的性質(zhì)和三角形的外心與外接圓，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正方形的四邊都相等．四．切線的判定與性質(zhì)19．（2023?邗江區(qū)二模）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O過(guò)B、C兩點(diǎn)，且AB是⊙O的切線，連接AO交劣弧BC于點(diǎn)P．（1）證明：AC是⊙O的切線；（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)定理得到∠ABO＝∠ACO＝90°，再利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OA＝4+r，在Rt△OAB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°．在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OA＝4+r．在Rt△OAB中，∵OB2+AB2＝OA2，∴r2+82＝（r+4）2，解得：r＝6．∴⊙O的半徑為6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A的直線與DC交于點(diǎn)C，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠AOD＝2∠ADC B．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC C．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切線 D．如果AD＝2CD，那么AD＝AO【分析】A．由切線性質(zhì)得∠ADC＝90°﹣∠ADO，再由等腰三角形性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理得∠AOD＝180°﹣2∠ADO，便可得出∠AOD與∠ADC的數(shù)量關(guān)系；B．由角平分線與等腰三角形的性質(zhì)得AC∥OD，便可判斷B的正誤；C．證明△OAC≌△ODC，得∠OAC＝∠ODC＝90°，便可判斷C的正誤；D．當(dāng)AD＝2CD，且AC⊥CD時(shí)，AC∥OD，可得∠CAD＝∠ODA＝30°，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，便可AD＝OA；若AD＝2CD，但AC與CD不垂直時(shí)，∠ADC就不不一定等于30°，此時(shí)AD≠AO，便可判斷D的正誤．【解答】解：A．∵DC是⊙O的切線，∴∠ODC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠AOD＝180°﹣2∠ADO＝2（90°﹣∠ADO），∴∠AOD＝2∠ADC，故選項(xiàng)正確，不合題意；B．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∵∠OAD﹣∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∵DC是⊙O的切線，OD為半徑，∴OD⊥CD，∴AC⊥DC，故選項(xiàng)正確，不合題意；C．∵CO⊥AD，∴，∴∠AOC＝∠DOC，∵OA＝OD，OC＝OC，∴△OAC≌△ODC（SAS），∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∴AC也是⊙O的切線，故選項(xiàng)正確，不合題意；D．當(dāng)AD＝2CD，且AC⊥CD時(shí)，AC∥OD，則∠CAD＝∠ODA＝30°，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，∴AK＝DK＝OA，此時(shí)AD＝，若AD＝2CD，但AC與CD不垂直時(shí)，∠ADC就不一定等于30°，此時(shí)AD≠AO，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)與定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，綜合應(yīng)用這些知識(shí)解題是關(guān)鍵．五．弦切角定理21．（2022?江陰市校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】連接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切線的性質(zhì)求得∠DBC，最后由切線長(zhǎng)定理求得∠D的度數(shù)．【解答】解：連接BC，∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．解法二：連接OC，BC．∵DB，DC是⊙O的切線，B，C是切點(diǎn)，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°，∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、弦切角定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．六．切線長(zhǎng)定理22．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC＝AP，BP＝BD，求出BP的長(zhǎng)即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，兩次運(yùn)用切線長(zhǎng)定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?濱海縣期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝8，CD＝12，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40．【分析】根據(jù)圓外切四邊形的對(duì)邊之和相等求出AD+BC，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AD+BC＝AB+CD＝20，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝40，故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，掌握?qǐng)A外切四邊形的對(duì)邊之和相等是解題的關(guān)鍵．24．（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長(zhǎng)為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長(zhǎng)；（2）∠COD的度數(shù)．【分析】（1）可通過(guò)切線長(zhǎng)定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形PCD的周長(zhǎng)等于PA+PB的結(jié)論，即可求出PA的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠ACD和∠BDC的度數(shù)和，然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得出∠DCO和∠ODE的度數(shù)和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠COD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圓O的切線，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周長(zhǎng)＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的長(zhǎng)為6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圓O的切線，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，切線長(zhǎng)定理提供了很多等線段，分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出圖形的各對(duì)相等切線長(zhǎng)．25．（2021秋?泰州月考）如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度數(shù)；（2）BE+CG的長(zhǎng)；（3）⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC+∠BCD＝180°，則有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，進(jìn)而由切線長(zhǎng)定理即可得到BE+CG的長(zhǎng)；（3）最后由三角形面積公式即可求得OF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）連接OF；根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵BC與⊙O相切于點(diǎn)F，∴OF⊥BC，∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．∴OF＝4.8cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是綜合運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)定理．注意：求直角三角形斜邊上的高時(shí)，可以借助直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．七．切割線定理26．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點(diǎn)分別為E，C，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得AE＝AC，根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)，從而得到BE的長(zhǎng)，再利用切割線定理得BE2＝BD?BC，從而可求得BD的長(zhǎng)，也就得到了半徑的長(zhǎng)．【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13，∴BE＝8；∵BE2＝BD?BC，∴BD＝，∴CD＝，∴圓的半徑是，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理、勾股定理和切割線定理．27．（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）如圖，P是⊙O的直徑BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，若PC＝2，BC＝6，則PA的長(zhǎng)為（）A．無(wú)限長(zhǎng) B． C．4 D．【分析】由已知可求得PB的長(zhǎng)，再根據(jù)切割線定理得PA2＝PC?PB即可求得PA的長(zhǎng)．【解答】解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC?PB＝16，∴PA＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切割線定理的運(yùn)用．八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心28．（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)CP交⊙O于點(diǎn)D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是3，CD＝8，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）由圓周角定理得出∠ACB＝90°，由內(nèi)心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DPB＝∠DBP，即可得出結(jié)論；（2）連接AD，由圓周角定理得出∠ABD＝45°，證出△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AB＝6，由勾股定理可求BH的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP，∴∠DPB＝∠DBP，∴BD＝DP；（2）解：連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，如圖所示：∵AB是直徑，∠ABD＝45°，∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×6＝6，∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，∴∠BCH＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC＝BH，∵BD2＝DH2+BH2，∴36＝（8﹣BH）2+BH2，∴BH＝4±，∴BC＝4±2．29．（2023?泗陽(yáng)縣一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為八步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為十五步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問(wèn)題中，該內(nèi)切圓的直徑長(zhǎng)是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【分析】由勾股定理可求得斜邊長(zhǎng)，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，利用面積相等可得到關(guān)于r的方程，可求得內(nèi)切圓的半徑，則可求得內(nèi)切圓的直徑．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC?BC＝×8×15＝60，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，及OA、OB、OC，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴內(nèi)切圓的直徑為6步，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)切圓，連接圓心和切點(diǎn)，把三角形的面積分成三個(gè)三個(gè)角形的面積得到關(guān)于r的方程是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?常州期末）下列有關(guān)圓中的結(jié)論，錯(cuò)誤的是（）A．同圓或等圓的半徑相等 B．一個(gè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，都能與原來(lái)的圖形重合 C．任意三點(diǎn)都能確定一個(gè)圓 D．任意三角形都有內(nèi)切圓【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓，逐項(xiàng)判斷即可求解．【解答】解：A、同圓或等圓的半徑相等，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、一個(gè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，都能與原來(lái)的圖形重合，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、任意不在同一條直線上三點(diǎn)都能確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、任意三角形都有內(nèi)切圓，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?秦淮區(qū)期末）以下列三邊長(zhǎng)度作出的三角形中，其內(nèi)切圓半徑最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10【分析】由于三角形面積S＝×周長(zhǎng)×內(nèi)切圓半徑，而四個(gè)選項(xiàng)中的三角形的周長(zhǎng)相等，都等于24，要比較內(nèi)切圓半徑的大小，只需要比較三角形面積的大小即可，分別求出各個(gè)選項(xiàng)中三角形的面積即可．【解答】解：由于三角形面積S＝×周長(zhǎng)×內(nèi)切圓半徑，而四個(gè)選項(xiàng)中的三角形的周長(zhǎng)相等，都等于24，要比較內(nèi)切圓半徑的大小，只需要比較三角形面積的大小即可，如圖，選項(xiàng)A中的三角形面積S＝×8×4＝16＝，選項(xiàng)B中的三角形面積S＝×4×＝8＝，選項(xiàng)C中的三角形中，設(shè)BD＝x，則AD＝10﹣x，由勾股定理得，92﹣（10﹣x）2＝CD2＝52﹣x2，解得x＝，∴CD＝＝，∴選項(xiàng)C中的三角形面積S＝×10×＝6＝，選項(xiàng)D中的三角形面積S＝＝24＝，由于＜＜＜，所以選項(xiàng)B中的三角形面積最小，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓，掌握三角形面積S＝×周長(zhǎng)×內(nèi)切圓半徑以及三角形的面積公式和勾股定理是解決問(wèn)題的前提．32．（2022秋?惠山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝150°；③若點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，則∠BGD＝90°；④AE＝DE＝DB．其中，一定正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對(duì)③進(jìn)行判斷；通過(guò)證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：∵E是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正確；如圖，連接BE，CE，∵E是△ABC的內(nèi)心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②錯(cuò)誤；∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，故③正確；如圖，連接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，若AE＝DE，則CA＝CD，顯然不可能，故④錯(cuò)誤．∴一定正確的①③，共2個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心與外心．33．（2023?靖江市模擬）等腰三角形的底邊長(zhǎng)為12，腰長(zhǎng)為10，該等腰三角形內(nèi)心和外心的距離為．【分析】利用等腰三角形的內(nèi)心與外心的性質(zhì)得到A，O′，O，E在一條直線上，利用S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC求得三角形的內(nèi)切圓的半徑，利用勾股定理求得外接圓的半徑，則等腰三角形內(nèi)心和外心的距離為為兩個(gè)半徑之差．【解答】解：由題意：△ABC為等腰三角形，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O′為它的外接圓，⊙O與三邊相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OB，如圖，∵AB＝AC，∴AO所在的直線垂直平分BC，平分∠BAC，∴A，O′，O，E在一條直線上，∴AE⊥BC，BE＝EC＝6，∴AE＝＝＝8．由題意：O′A＝O′B＝O′C，OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，設(shè)O′A＝O′B＝O′C＝R，OD＝OE＝OF＝r，則O′E＝8﹣R，∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，∴BC?AE＝AB?OD+BC?OE+AC?OF，∴12×8＝×10r+12r+10r，∴r＝3．∴OE＝3．在Rt△O′BE中，∵BE2+O′E2＝O′B2，∴62+（8﹣R）2＝R2，解得：R＝．∴O′E＝8﹣＝，∴OO′＝OE﹣O′E＝．該等腰三角形內(nèi)心和外心的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓與內(nèi)切圓，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用三角形的面積公式求得三角形的內(nèi)切圓的半徑是解題的關(guān)鍵．一．選擇題1．（2023?常州模擬）如果⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為d，且d＝7cm，那么⊙O和直線l的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的內(nèi)容判斷即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為d，且d＝7cm，∴6＜7，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，正確記憶直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?太倉(cāng)市期末）如圖，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，連接AO與⊙O交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接BD，CD．若∠A＝36°，則∠BDC的度數(shù)為（）?A．32° B．18° C．27° D．36°【分析】連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠ABO＝90°，由圓周角定理可得出答案．【解答】解：連接OB，∵AB為⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，∴∠BDC＝∠AOB＝27°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠OBA＝90°是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?徐州期末）如圖，已知⊙C的半徑為，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為（）A．5 B． C． D．6【分析】連接CQ、CP，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理求出PQ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CH，根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：連接CQ、CP，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵PQ是⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，∴PQ＝＝，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，PQ取最小值，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴CH＝BC?sinB＝3，∴PQ的最小值為：＝5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．4．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若∠D＝54°，則A的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．23° D．27°【分析】連接OC，由切線的性質(zhì)得∠OCD＝90°，則∠COD＝90°﹣∠D＝36°，由圓周角定理得∠A＝∠COD＝18°，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝54°，∴∠COD＝90°﹣∠D＝90°﹣54°＝36°，∴∠A＝∠COD＝×36°＝18°，∴A的度數(shù)為18°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、圓周角定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵5．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點(diǎn)，∠CDB＝25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E等于（）A．40° B．50° C．60° D．30°【分析】連接OC，由CE為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)求出∠COE的度數(shù)，即可求出∠E的度數(shù)．【解答】解：連接OC，∵CE為圓O的切線，∴OC⊥CE，∴∠COE＝90°，∵∠CDB與∠BAC都對(duì)，且∠CDB＝25°，∴∠BAC＝∠CDB＝25°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∵∠COE為△AOC的外角，∴∠COE＝50°，則∠E＝40°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2023?海陵區(qū)一模）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A（2，﹣2）是垂直于y軸的直線l上的一點(diǎn)，⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且與直線l相切于點(diǎn)A，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A． B．1 C．2 D．4【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到MA⊥AB，求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，設(shè)M（2，m），過(guò)M作MH⊥y軸于H，連接MP，MA，則OH＝m，MA＝2+m，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線AB是⊙M的切線，∴MA⊥AB，∵AB⊥y軸，∴MA∥y軸，∵點(diǎn)A（2，﹣2），∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，設(shè)M（2，m），過(guò)M作MH⊥y軸于H，連接MP，MA，則OH＝m，MA＝2+m，MH＝2，∴MP＝2+m，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），∴OP＝2，∴PH＝2﹣m，在Rt△PMH中，PH2+MH2＝MP2，即（2﹣m）2+22＝（2+m）2，解得m＝，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，OP與⊙O相交于點(diǎn)C，若∠P＝40°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAP＝90°，從而得到∠AOC＝50°，再由圓周角定理，即可求解．【解答】解：∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠ABC＝25°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，AC是⊙O的直徑，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A，B，若∠CBP＝140°，則∠P的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．75° D．70°【分析】由切線的性質(zhì)得到∠PBO＝∠PAO＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠OBC＝50°，由三角形的外角性質(zhì)得到∠AOB＝∠C+∠OBC＝100°，由四邊形內(nèi)角和是360°，即可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：連接OB，∵PB，PA分別切⊙O于B，A，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∵∠PBC＝140°，∴∠OBC＝∠PBC﹣∠PBO＝140°﹣90°＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC＝50°，∴∠AOB＝∠C+∠OBC＝100°，∴∠P+∠AOB+∠PAB+∠PBA＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)定理．9．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D．若CD＝PB＝2，則BE長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作CH⊥PB于H，由垂徑定理得到CE的長(zhǎng)，從而求出PH的長(zhǎng)，由勾股定理求出CH的長(zhǎng)，即可求出BE的長(zhǎng)．【解答】解：作CH⊥PB于H，∵直徑AB⊥CD于H，∴CE＝DE＝CD＝，∵PC，PB分別切⊙O于C，B，∴PB＝PC＝CD＝2，直徑AB⊥PB，∴四邊形ECHB是矩形，∴BH＝CE＝，BE＝CH，∴PH＝PB﹣BH＝2﹣＝，∴CH＝＝＝3，∴BE＝CH＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出CH的長(zhǎng)．10．（2022秋?丹徒區(qū)期末）我們知道：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等．[問(wèn)題解決]如圖，現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為20m的正方形空地ABCD，在AB邊取一點(diǎn)M，以MB長(zhǎng)為直徑，在這個(gè)正方形的空地內(nèi)建一個(gè)半圓形兒童游樂(lè)場(chǎng)，過(guò)點(diǎn)C劃出一條與這個(gè)半圓相切的分割線，正方形ABCD位于分割線右下方的部分作為娛樂(lè)區(qū)，娛樂(lè)區(qū)的最大面積等于（）A．180m2 B．110m2 C．250m2 D．200m2【分析】當(dāng)半圓面積最大，即M與A重合時(shí)，娛樂(lè)區(qū)的面積最大，由切線長(zhǎng)定理得到CH＝CB＝20（m），PA＝PH，由勾股定理列出關(guān)于PA的方程，求出PA的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【解答】解：當(dāng)半圓面積最大，即M與A重合時(shí)，娛樂(lè)區(qū)的面積最大，PC與半圓相切于H，交AD于P，∵四邊形ABCD是正方形，∴PA⊥AB，CB⊥AB，∴PA，PB分別是半圓的切線，∴CH＝CB＝20（m），PA＝PH，設(shè)PA＝xm，則PH＝xm，PD＝（20﹣x）m，PC＝（x+2）m，在Rt△PDC中，PC2＝PD2+DC2，∴（x+20）2＝（20﹣x）2+202，∴x＝5，∴PA＝5（m），∴娛樂(lè)區(qū)的最大面積＝梯形ABCP的面積＝（AP+BC）?AB＝×（5+20）×20＝250（m2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是掌握切線長(zhǎng)定理．二．填空題11．（2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，則∠ICA的度數(shù)是20°．【分析】根據(jù)點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，推出∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，所以∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，推出∠ICA＝∠ACB＝＝20°．【解答】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA＝∠ACB＝＝20°．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，正確利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023?贛榆區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是40°．【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，∴∠PAB＝90°，∵∠B＝∠AOC，∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠AOC＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是邊E上的高，⊙E，⊙F分別是△ACD，△BCD的內(nèi)切圓，則⊙E與⊙F的面積比為．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)三角形面積公式求出CD，由三角形內(nèi)切圓圓心到三條邊的距離相等以及三角形的面積公式求出兩個(gè)圓的半徑，再求出面積比即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝，設(shè)⊙E的半徑為r，⊙F的半徑為R，則S△ACD＝AD?CD＝（AC+CD+AD）?r，即×＝（3++）r，∴r＝，同理R＝，∴⊙E與⊙F的面積比為＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓，掌握勾股定理以及三角形內(nèi)切圓的圓心到三角形三邊距離相等是正確解答的前提．14．（2022秋?江陰市期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，則∠DGF的度數(shù)是55°．【分析】連接OD，OF．由三角形內(nèi)角和定理可求得∠A＝70°，由切線的性質(zhì)可知：∠ODA＝90°，∠OFA＝90°，從而得到∠A+∠DOF＝180°，故可求得∠DOF＝110°，由圓周角定理可求得∠DGF＝55°．【解答】解：如圖，連接OD，OF，∵∠B＝65°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵AB是圓O的切線，∴∠ODA＝90°．同理∠OFA＝90°．∴∠A+∠DOF＝180°．∴∠DOF＝110°．∴∠DGF＝55°．故答案為：55．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、三角形、四邊形的內(nèi)角和、圓周角定理，求得∠DOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（2023?沭陽(yáng)縣一模）如圖⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN與⊙O相切與G點(diǎn)，與AC，BC相交于M，N點(diǎn)，則△CMN的周長(zhǎng)等于14．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且與MN相切于點(diǎn)G；根據(jù)切線長(zhǎng)定理，設(shè)BF＝BD＝x，AD＝AE＝y(tǒng)，CF＝CE＝z，ME＝MG，NG＝NF；∵AB＝6，BC＝9，AC＝11，∴．解得，∴△CMN的周長(zhǎng)＝CE+CF＝7+7＝14，故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC切⊙O于點(diǎn)C，若∠D＝36°，則∠A的度數(shù)為27°．【分析】如圖所示，連接OC，利用切線的性質(zhì)得到∠OCD＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠DOC＝54°，即可利用圓周角定理求出∠A的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，連接OC，∵DC是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝36°，∴∠DOC＝180°﹣∠D﹣∠OCD＝54°，∴，故答案為：27°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．三．解答題17．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P．（1）求證：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半徑5，AC＝8，求線段BD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和切線的性質(zhì)解答即可；（2）通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】（1）證明：∵AM是⊙O的切線，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB．（2）解：如圖，連接AD，∵AB是直徑，∴∠CDB+∠ADC＝90°，∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023?崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，連接OA，OC，AC．（1）求證：∠AOC＝2∠PAC；（2）連接OB，若AC∥OB，⊙O的半徑為5，AC＝6，求AP的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)O作OH⊥AC于H，得到∠OHA＝90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AOH＝PAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接OB，延長(zhǎng)AC交PB于E，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PB，PA＝PB，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OH＝BE，HE＝OB＝5，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：過(guò)O作OH⊥AC于H，∴∠OHA＝90°，∴∠AOH+∠OAC＝90°，∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OAC+∠PAC＝90°，∴∠AOH＝PAC，∵OA＝OC，∴∠AOC＝2∠AOH，∴∠AOC＝2∠PAC；（2）解：連接OB，延長(zhǎng)AC交PB于E，∵PA，PB是⊙O的切線，∴OB⊥PB，PA＝PB，∵AC∥OB，∴AC⊥PB，∴四邊形OBEH是矩形，∴OH＝BE，HE＝OB＝5，∵OH⊥AC，OA＝OC，∴AH＝CH＝AC＝3，∴OH＝＝4，∴BE＝OH＝4，AE＝AH+HE＝8，∵PA2＝AE2+PE2，∴PA2＝82+（PA﹣4）2，∴PA＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交⊙O于點(diǎn)F．連接CE、EF，若AC是⊙O的切線．（1）求證：∠BAC＝∠CEF；（2）若AB＝10，AC＝6，CE＝EF，求直徑CD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)圓周角等于直角即可證明結(jié)論；（2）連接FD，并延長(zhǎng)和AB相交于G，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，∵∠FCB＝∠DEF，∴∠B＝∠DEF，又∠BAC+∠B＝90°，∵CD是圓O的直徑，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（2）連接FD，并延長(zhǎng)和AB相交于G，∵CE＝EF，∴∠EFC＝∠ECF，∵四邊形CEDF為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，AC＝AG＝6，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，在Rt△BDG中，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，DG＝CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一．選擇題1．已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】連接OC，根據(jù)切線性質(zhì)求出∠OCD＝90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠OCA＝∠A＝25°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠COD，在△OCD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：連接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝25°，∴∠CAB＝∠OCA＝25°，∴∠COD＝∠CAB+∠OCA＝50°，∵CD切⊙O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．2．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【分析】利用三角形內(nèi)心性質(zhì)得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，則根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠OBC+∠OCB=12（180°﹣∠A），然后利用三角形內(nèi)角和得到∠BOC＝90°【解答】解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝90°+12∠故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．3．如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的半徑是6，圓心O到直線l的距離是3，6＞3，∴直線l與⊙O相交．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d＜r時(shí)直線l和⊙O相交是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，以點(diǎn)O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓 C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑的圓與直線a相切．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．5．等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2【分析】如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為r，作AH⊥BC于H，利用等邊三角形的性質(zhì)得AH平分∠BAC，則可判斷點(diǎn)O在AH上，所以O(shè)H＝r，連接OB，再證明OA＝OB＝2r，則AH＝3r，所以O(shè)H：OA：AH＝1：2：3．【解答】解：如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)⊙O的半徑為r，作AH⊥BC于H，∵△ABC為等邊三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴點(diǎn)O在AH上，∴OH＝r，連接OB，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為1：2：3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．二．填空題6．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），直線AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，1）或（3，1）【分析】設(shè)⊙O交y軸于點(diǎn)C，連接OB、BC，可證明△OBC為等邊三角形，過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，利用直角三角形的性質(zhì)可求得BD、OD，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)⊙O交y軸于點(diǎn)C，連接OB、BC，過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，∵半徑為2，A（0，4），∴OC＝2，∴C為OA中點(diǎn)，∴AB切⊙O于點(diǎn)B，∴OB⊥AB，∴BC＝OC＝2，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠BOD＝30°，在Rt△BOD中，BD=12OB＝1，OB=3∴兩切點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）或（3故答案為：（-3，1）或（3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵．7．已知正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R＝1：2．【分析】作出輔助線OD、OE，證明△AOD為直角三角形且∠OAD為30°，即可求出OD、OA的比．【解答】解：如圖，連接OD、OE；因?yàn)锳B、AC切圓O與E、D，所以O(shè)E⊥AB，OD⊥AC，在Rt△AEO和Rt△ADO中，AO=AOEO=DO∴△AEO≌△ADO（HL），故∠DAO＝∠EAO；又∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝60°×1∴OD：AO＝1：2．等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比是1：2．故答案為：1：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形內(nèi)心與外心的知識(shí)，找到直角三角形，將三角形內(nèi)切圓和三角形外接圓聯(lián)系起來(lái)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC與⊙O交于點(diǎn)D，若BC＝3，AD=165，則AB的長(zhǎng)為【分析】利用切割線定理、切線的性質(zhì)、勾股定理即可得出．【解答】解：∵BC是⊙O的切線，∴BC2＝CD?CA，即32＝CD?（CD+DA），即32＝CD?（CD+165），（解得CD=9∴AC＝5，∵BC是⊙O的切線，∴AB⊥BC，由勾股定理可得：AB=A故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切割線定理、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握切割線定理、切線的性質(zhì)、勾股定理．9．如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM＝4cm時(shí)，⊙M與OA相切．【分析】作MH⊥OA于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)切線的判定方法得到當(dāng)MH＝2cm時(shí)，⊙M與OA相切，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OM＝4cm，【解答】解：作MH⊥OA于點(diǎn)H，如圖，當(dāng)MH＝2cm時(shí)，⊙M與OA相切，因?yàn)椤螼＝30°，所以此時(shí)OM＝2MH＝4cm，即OM＝4cm時(shí)，⊙M與OA相切．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．10．如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P＝70°，則∠ABO＝35°．【分析】由切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，PA＝PB，由等腰三角形的性質(zhì)求得∠ABP，即可求出∠ABO．【解答】解：∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴OA⊥PA，PA＝PB，∴∠PBO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠ABP＝∠BAP=180°-∠P∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．11．如圖，已知⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，∠C＝90°，BC邊上切點(diǎn)為點(diǎn)D．作⊙O的直徑DE，連結(jié)AE并延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，若∠AFC＝45°，F(xiàn)D＝2，則AB的長(zhǎng)為5．【分析】記⊙O與邊AB、AC的切點(diǎn)為H、G，連接OH、OG，易得出CD、CG、AC、AG長(zhǎng)，由切線長(zhǎng)定理可得AH＝AG，BD＝BH，設(shè)BF＝x，根據(jù)勾股定理列方程即可求出x，進(jìn)而得到AB長(zhǎng)．【解答】解：記⊙O與邊AB、AC的切點(diǎn)為H、G，連接OH、OG，∵⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠ACB＝∠OGC＝∠ODC＝90°，BH＝BD，AH＝AG，∴四邊形ODCG是矩形，在Rt△EDF中，∠AFC＝45°，則DE＝DF＝2，∴OD＝OG＝1，∴矩形ODCG是正方形，∴CD＝CG＝1，∴CF＝2+1＝3，在Rt△ACF中，∠AFC＝45°，AC＝CF＝3，∴AG＝3﹣1＝2＝AH，設(shè)BF＝x，則BD＝BH＝2+x，AB＝2+x+2＝4+x，BC＝3+x，在Rt△ABC中，32+（3+x）2＝（4+x）2，∴x＝1，∴AB＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理以及勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練使用切線長(zhǎng)定理．三．解答題12．如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE．（1）過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BP于點(diǎn)D，求證：CD⊥PA；（2）若⊙O的半徑為5，AB＝6，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，證明OC與AP平行即可．（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥A