高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)理試題含解析

...wd......wd......wd...黑龍江省齊齊哈爾市2017屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)〔理〕試題第一卷〔共60分〕一、選擇題：本大題共12個小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.設(shè)集合，則〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由題可得，又，所以=，應(yīng)選C2.設(shè)，假設(shè)〔為虛數(shù)單位〕為正實數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】,又其為正實數(shù)∴，∴∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為應(yīng)選：B3.假設(shè)拋物線上的點到其焦點的距離為5，則〔〕A.B.C.3D.4【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為根據(jù)拋物線定義可知：5=n+1,即n=4應(yīng)選：D4.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，此后腳痛遞減半,六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.〞其大意為:“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.〞根據(jù)這個描述可知該人第五天走的路程為〔〕A.24里B.12里C.6里D.3里【答案】B【解析】試題分析：記每天走的路程里數(shù)為,易知是公比的等比數(shù)列,,,應(yīng)選C.考點：等比數(shù)列.5.設(shè)，則“〞是“直線與直線垂直〞的〔〕A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線與直線垂直〞的充要條件為，解得：∴“〞是“直線與直線垂直〞的充分不必要條件應(yīng)選：A6.函數(shù)的大致圖象為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】當(dāng)時，，排除B，D當(dāng)x時，,排除C應(yīng)選：A7.點滿足其滿足“〞的槪率為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由圖象可知：滿足“〞的槪率為：應(yīng)選：B8.執(zhí)行如以以下圖的程序框圖，假設(shè)輸出的結(jié)果為40，則判斷框中可填〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】執(zhí)行程序：，得到，否；，否；，否；，否；，是；輸出40.應(yīng)選：B點睛：算法與流程圖的考察，側(cè)重于對流程圖循環(huán)構(gòu)造的考察.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括順序構(gòu)造、條件構(gòu)造、循環(huán)構(gòu)造，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.9.如以以下圖，在直三棱柱中，,分別為的中點，為線段上一點，設(shè)，給出下面幾個命題：①的周長是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，的周長最大；②的面積滿足等式，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積最??；③三梭錐的體積為定值.其中正確的命題個數(shù)是〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①取MN的中點為Q，連接MQ，易知:MQ⊥EF.的周長最大，即ME最大，也就是MQ最大，顯然，當(dāng)M在和A同時取到最大此時x=0或者1，故①錯誤；②的面積而∴滿足等式，當(dāng)時，,的面積最小值為,故②正確；③，此時為定值，，∴h亦為定值，故③正確應(yīng)選：C10.雙曲線的右頂點為，以為圓心，半徑為的圓與雙曲線的某條漸近線交于兩點，假設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】過A作AB⊥PQ，垂足為B，則B為PQ的中點，即，點A到漸近線的距離為：，即，得到∴，，，又∴雙曲線的離心率的取值范圍為點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建設(shè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.11.由1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)字組成七位數(shù)，要求沒有重復(fù)數(shù)字且6、7均不得排在首位與個位，1與6必須相鄰，則這樣的七位數(shù)的個數(shù)是〔〕A.300B.338C.600D.768【答案】D【解析】當(dāng)1在首位時，6只有一種排法，7有四種排法，余下四數(shù)共有中排法，共有種；當(dāng)1在個位時，同樣共有96種；當(dāng)1即不再首位也不在個位時，先把1和6排好，有種排法，再排7有3種排法，余下四數(shù)共有中排法，共有種綜上：共有=768應(yīng)選：D點睛：此題是一道帶有限制條件的排列組合題目，這種問題的常用解題策略有：相鄰問題捆繩法，不鄰問題插空法，特殊元素〔特殊位置〕優(yōu)先分析法，定序問題縮倍法，多排問題單排法，一樣元素隔板法等等.12.函數(shù)的圖象上關(guān)于直線對稱的點有且僅有一對，則實數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】作出如圖：，因為函數(shù)，的圖像上關(guān)于直線對稱的點有且僅有一對，所以函數(shù)在[3,7]上有且只有一個交點，當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖像過〔5，-2〕時，由，當(dāng)對數(shù)過〔7,2〕時同理a=，所以的取值范圍為點睛：對于分段函數(shù)首先作出圖形，然后根據(jù)題意分析函數(shù)在[3,7]上有且只有一個交點，根據(jù)圖像可知當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖像過〔5，-2〕時，由，當(dāng)對數(shù)過〔7,2〕時同理a=由此得出結(jié)果，在分析此類問題時要注意將問題進(jìn)展轉(zhuǎn)化，化繁為簡再解題.第二卷〔共90分〕二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13.向量的夾角為，，那么__________．【答案】1因為，所以所以所以14.在的展開式中，常數(shù)項是__________．【答案】【解析】第一個括號取，第二個括號為∴常數(shù)項是故答案為：15.某幾何體的三視圖如以以下圖，假設(shè)該幾何體的外接球外表積為，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】該幾何體的直觀圖為三棱錐.取AD的中點為O，由直角三角形斜邊的中線為斜邊的一半，可知OA=OB=OC=OD∴O為外接球的球心，又，得到OA=OB=OC=OD=，AD=BD=2,∴AB=∴該幾何體的體積為故答案為：點睛：思考三視圖復(fù)原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等〞的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.16.數(shù)列的通項公式為〔表示不超過的最大整數(shù)〕，為數(shù)列的前項和，假設(shè)存在滿足，則的值為__________．【答案】108...........................當(dāng)時，，顯然不存在；當(dāng)時，，顯然不存在；當(dāng)時，，解得：k=108故答案為：108三、解答題〔本大題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〕17.在中，角所對的邊分別為，且滿足.〔1〕求的大??；〔2〕求的最大值.【答案】〔1〕;〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由條件結(jié)合正弦定理得：，又，所以，再利用余弦定理即可得到答案；〔2〕利用內(nèi)角和定理，化簡得到，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到最大值.試題解析：解：〔1〕根據(jù)可得，即在中,∵，∴，∴，∵，∴.〔2〕由〔1〕知，故，,，∵，∴，∴，∴的最大值為.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而到達(dá)解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18.2016年6月22日，“國際教育信息化大會〞在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國際教育信息化大會〞，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)展調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計“青少年〞與“中老年〞的人數(shù)之比為9:11.〔1〕根據(jù)條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“中老年〞比“青少年〞更加關(guān)注“國際教育信息化大會〞；〔2〕現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的方法選取9人進(jìn)展問卷調(diào)查.在這9人中再選取3人進(jìn)展面對面詢問，記選取的3人中關(guān)注“國際教育信息化大會〞的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:參考公式，其中.臨界值表：【答案】〔1〕列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為“中老年〞比“青少年〞更加關(guān)注“國際教育信息化大會〞.〔2〕分布列見解析，【解析】試題分析：〔Ⅰ〕根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算K2的值，即可得到結(jié)論；〔Ⅱ〕ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．試題解析：解：〔1〕依題意可知，抽取的“青少年〞共有人，“中老年〞共有人.完成的列聯(lián)表如下：則，因為,所以有的把握認(rèn)為“中老年〞比“青少年〞更加關(guān)注“國際教育信息化大會〞.〔2〕根據(jù)題意知選出關(guān)注的人數(shù)為3，不關(guān)注的人數(shù)為6，在這9人中再選取3人進(jìn)展面對面詢問，的取值可以為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.點睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值〞，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是:“探求概率〞，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列〞，即按標(biāo)準(zhǔn)形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值〞，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.19.如以以下圖，正三棱柱的底面邊長為2，是側(cè)棱的中點.〔1〕證明:平面平面；〔2〕假設(shè)平面與平面所成銳角的大小為，求四棱錐的體積.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕【解析】試題分析：〔1〕要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，又，即證平面.〔2〕建設(shè)空間坐標(biāo)系，由平面與平面所成銳角的大小為，得到，進(jìn)而得到四棱錐的體積.試題解析：解：〔1〕如圖①，取的中點，的中點，連接，易知又，∴四邊形為平行四邊形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴為正三角形，∴.又平面，,而，∴平面.又，∴平面.又平面，所以平面平面〔2〕〔方法一〕建設(shè)如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得.設(shè)為平面的一個法向量.由得即.顯然平面的一個法向量為，所以，即.所以.〔方法二〕如圖②，延長與交于點,連接.∵,為的中點，∴也是的中點,又∵是的中點,∴.∵平面,∴平面.∴為平面與平面所成二面角的平面角.所以,∴.點睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.20.如圖，橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，兩個焦點分別為，，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點.假設(shè)直線過點，且，求直線的方程.【答案】〔1〕;〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的方程；〔2〕因為，所以直線的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到直線的方程.試題解析：解：〔1〕因為,所以，①由四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，可得.②由①可得，所以，所以.所以橢圓的方程為.〔2〕由〔1〕易知點的坐標(biāo)分別為.因為，所以直線的斜率之和為0.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，，直線的方程為，由可得，∴，同理直線的方程為，可得，∴，，∴滿足條件的直線的方程為，即為.21.設(shè)函數(shù).〔1〕當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕當(dāng)時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù)的值.【答案】〔1〕單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;〔2〕【解析】試題分析：〔1〕求導(dǎo)，易知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.〔2〕，對m進(jìn)展分類討論，得到函數(shù)的最小值，函數(shù)有唯一零點即函數(shù)的最小值為零.試題解析：解：〔1〕依題意，知，其定義域為，當(dāng)時，，.令，解得.當(dāng)時，.此時單調(diào)遞增；當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.〔2〕由題可知，.令，即，因為，所以(舍去)，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因為函數(shù)有唯一零點，所以，由即可得，因為，所以，設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)時該函數(shù)是增函數(shù)，所以至多有一解.因為當(dāng)時，，所以方程的解為，即，解得.點睛：函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)別離參數(shù)法：先將參數(shù)別離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)〕，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建設(shè)極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.〔1〕求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程；〔2〕設(shè)直線與圓相交于兩點，求.【答案】〔1〕;〔2〕