22人教版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第一冊(cè)-第1課時(shí)-空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

1.4.1用空間向量研究直線、平面的向量表示第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用向量語言描述點(diǎn)、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.1.數(shù)學(xué)抽象——能夠抽象出直線的方向向量與平面的法向量.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——會(huì)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面向量的法向量2.掌握直線的方向向量和平面的法向量自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一空間中點(diǎn)、直線的向量表示1.點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量OP來表示我們把向量OP稱為點(diǎn)P的①位置向量.2.空間直線的向量表示式：如圖1,a是直線l的方向向量，在直線l上取AB=a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得AP=ta，即②AP=tAB.如圖2，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)上述兩個(gè)式子都稱為空間直線的③向量表示式由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.要點(diǎn)二空間平面的向量表示1.空間平面的向量表示式：如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,OP=OA+xAB+y2.平面的法向量：如圖，直線l⊥a，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的⑤法向量給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{p|a?AP自主思考1.基點(diǎn)是確定的嗎？提示是.2.已知A(2,2,0),B(0,0,2),C(0,0,0),p(1,1,1提示因?yàn)椴辉谕恢本€上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以由A,B,C三點(diǎn)確定一個(gè)平面，若P在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x,y使AP=xAB+y=AC，即(?1,?1,12)=x(?2,?2,2)+y(?2,?2,0),即，?2x?2y=?1,2x=12,解得x=y=14,所以3.“a?提示“a?名師點(diǎn)睛求平面法向量n的三個(gè)注意點(diǎn)（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時(shí),要選取不共線的兩個(gè)向量.（2）取特殊值：在求n的坐標(biāo)時(shí),可令x,y,z中的任一個(gè)為特殊值,得另外兩個(gè)值,從而得到平面的一個(gè)法向量.（3）注意0：假設(shè)法向量n=(x,y,z)互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一直線的方向向量精講精練例（1）已知點(diǎn)M(3,1,2),N(1,?5,?4),A(4,1,3),C為線段AB上一點(diǎn),且ACMN=13,A.(72,?C.(103,?1,1)（2）若M(2,0,?1),N(?1,3,1)在直線l上,則直線l的方向向量的單位向量為答案：（1）C（2）(?3解析：（1）∵C在線段AB上,∴AC∥AB,又MN是直線AB設(shè)C(x,y,z),易知MN=(?2,?6,?6),AC=(x?4,y?1,z?3)∴(x?4,y?1,z?3)=1即3(x?4)=?2,3(y?1)=?6,3(z?3)=?6,解得x=103,y=?1,z=1,∴（2）因?yàn)镸(2,0,?1),N(?1,3,1),所以MN=(?3,所以直線l的方向向量的單位向量是MN|解題感悟求直線的方向向量就是求與該直線共線的向量,注意直線的方向向量有無數(shù)個(gè).遷移應(yīng)用若A(?1,0,1),B(1,4,7)在直線l上.（1）則直線l的一個(gè)方向向量是()A.（1,2,3）B.（1,3,2）C.（2,1,3）D.（3,2,1）（2）若直線l的一個(gè)方向向量為(2x?1,x+1,3),則x的值為.答案：（1）A（2）1解析：（1）易知AB=(2,4,6)=2(1,2,3),取a=(1,2,3),則a∥AB故選A.（2）由（1）知AB=(2,4,6),又直線l的一個(gè)方向向量為(2x?1,x+1,3),所以2x?1解得x=1.探究點(diǎn)二平面的法向量精講精練例如圖,已知四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥（1）求平面ABCD的一個(gè)法向量;（2）求平面SAB的一個(gè)法向量.解析：以點(diǎn)A為原點(diǎn),AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1答案：（1）∵SA⊥平面ABCD,∴AS=(0,0,1)是平面（2）易知AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,AB,SA?平面SAB,∴AD⊥平面SAB,∴AD=(1解題感悟求平面法向量的步驟：（1）設(shè)出法向量;（2）選向量,在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線向量;（3）由垂直關(guān)系列出方程組;（4）解方程組;（5）賦非零值：取法向量中一個(gè)坐標(biāo)為非零值（常取±1）;（6）得結(jié)論.遷移應(yīng)用在正方體ABCD?A1B1C（1）平面BDD（2）平面BDEF的一個(gè)法向量.答案：（1）設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),連接AC（圖略）,易知AC⊥平面BDD所以AC=(?2,2,0)為平面BD（2）易知DB=(2,2,0),DE設(shè)平面BDEF的法向量為n=(x,y,z)∴n?DB令x=2,得y=?2,z=?1,即n=(2,?2,?1)為平面BDEF探究點(diǎn)三平面法向量的應(yīng)用精講精練例如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,點(diǎn)答案：以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為則A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),所以AE=(?1,2,0),AF設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)則n?取y=1,得n=(2,1,2)所以平面AEF的一個(gè)法向量為n=(2,1,2)解題感悟涉及平面法向量的問題,合理建立空間直角坐標(biāo)系和利用垂直關(guān)系聯(lián)立方程是解題的關(guān)鍵.遷移應(yīng)用1.在平面ABCD中,A(0,1,1),B（1,2,1）,C(?1,0,3),若a=(?1,y,z),且a為平面ABCD的法向量,則yA.2B.0C.1D.無意義答案：C解析：由題意得AB=(1,1,0),AC=(?1,?1,2),又a所以a?AB=0,a?AC=0,2.在直三棱柱ABC?A1B1C1中,CA=CB=1,∠ACB=90°,平面答案：2解析：以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,設(shè)AA1=?,由題意可知C(0,0,0)所以CA1=(1,0,?)根據(jù)法向量的定義可得,n?CA1=(?2,?2,1)?(1,0,?)=?2+?=0評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.（2021遼寧六校協(xié)作體高二期中聯(lián)考）已知平面α上的三點(diǎn)A(3,2,1),B(?1,2,0),C(4,?2,?1),則平面α的一個(gè)法向量為()A.（4,-9,-16）B.（4,9,-16）C.（-16,9,4）D.（16,9,-4）答案：B解析：由已知得AB=(?4,0,?1),AC設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,z)則n?AB=0,取x=4,可得z=?16,y=9,所以平面α的一個(gè)法向量為n=(4,9,?16)2.給出下列說法：①一個(gè)平面的法向量是唯一的;②一個(gè)平面的所有法向量都是同向的;③平面的法向量與該平面內(nèi)的任一向量都是垂直的;④與一個(gè)平面的法向量共線的所有非零向量都是該平面的法向量.其中正確的說法是.答案：③④解析：一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè),故①中說法錯(cuò)誤;一個(gè)平面的所有法向量不一定相同,故②中說法錯(cuò)誤;易知③、④中說法正確.3.平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(?1,0,1),B(1,1,2),C(2,?1,0),求平面α的一個(gè)法向量.答案：易知AB=(2,1,1),AC=(3,?1,?1),設(shè)平面α的法向量為則n?令z=?1,則y=1,x=0,∴n∴平面α的一個(gè)法向量為n=(0,1,?1)素養(yǎng)演練直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理——在關(guān)于法向量的探索性問題中的應(yīng)用已知四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,AD=2,點(diǎn)M、N在線段PB、DC上（不含端點(diǎn)）,且滿足BM=λMP（1）若λ=1,求平面PBD的一個(gè)法向量;（2）是否存在λ,使MN是平面PAB的法向量？請(qǐng)說明理由.答案：（1）建立空間直角坐標(biāo)系,當(dāng)λ=1時(shí),M,N分別為PB,DC的中點(diǎn),因?yàn)锳(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,2,0),所以M(12,0,設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z)則n?令y=1,則x=z=2,所以n所以平面PBD的一個(gè)法向量為n=(（2）假設(shè)存在λ,因?yàn)锽M=λMP,所以M(1所以MN=(易知PB=(1,0,?1),若MN是平面PAB的法向量,則MN?PB=0,MN此方程組無解,即假設(shè)不成立,所以不存在λ,使MN是平面PAB的法向量.素養(yǎng)探究：（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系,滲透了直觀想象的素養(yǎng);設(shè)出平面PBD的法向量,根據(jù)法向量的定義,建立方程組求解,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).（2）假設(shè)存在λ,使MN是平面PAB的法向量,然后根據(jù)平面法向量的定義建立方程組求解,滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).遷移應(yīng)用在三棱錐S?ABC中,底面是邊長(zhǎng)為23的正三角形,點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn),側(cè)棱SA和底面成45（1）在側(cè)棱SA上是否存在一點(diǎn)D,使BD是平面SAC的法向量？請(qǐng)說明理由;（2）求平面ACS的一個(gè)法向量.答案：連接OA,由題意可知SO⊥底面ABC,且OA⊥BC,所以以O(shè)為原點(diǎn),OC所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,OS所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為23的正三角形,且SA與底面所成的角為45°,所以所以O(shè)(0,0,0),C(3（1）假設(shè)存在點(diǎn)D,設(shè)AD=a,則D(0,3?2所以BD=(易知AC=(若BD是平面SAC的法向量,則BD?此方程組無解,所以在側(cè)棱SA上不存在一點(diǎn)D,使BD是平面SAC的法向量.（2）由(1)知AS=(0,?3,3),AC=(3,?3,0),設(shè)平面ACS的法向量為令z=1,則x=3,y=1,所以n=(3,1,1),所以平面課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若A(?1,0,2),B（1,4,10）在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為()A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（2,1,4）D.（4,2,1）答案：A2.設(shè)A是空間中一定點(diǎn),n為空間內(nèi)任一非零向量,則滿足條件AM?n=0A.圓B.直線C.平面D.線段答案：C3.（2020湖南張家界高二期末）已知直線l的一個(gè)方向向量為m=(2,?1,3),且直線l過A(0,y,3)和B(?1,2,z)兩點(diǎn),則y?z=A.0B.1C.32答案：A4.在正方體ABCD?A1BA.BD1B.DBC.BA答案：A5.平面α經(jīng)過三點(diǎn)O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2),則平面α的法向量可以是()A.（1,0,1）B.（1,0,-1）C.（0,1,1）D.（-1,1,0）答案：D6.（多選題）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,ABCD?AA.直線DDB.直線BCC.平面ABBD.平面B1答案：ABC7.若A(0,2,198)，B(1,?1,58)，C(?2,1,58)是平面α答案：2:3:(-4)素養(yǎng)提升練8.（多選題）已知空間中的三點(diǎn)A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1),則下列說法不正確的是()A.AC不是直線AB的一個(gè)方向向量B.直線AB的一個(gè)單位方向向量是(2C.AB與BC夾角的余弦值是5511D.平面ABC的一個(gè)法向量是（1,-2,5）答案：BC解析：易知AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1),所以不存在實(shí)數(shù)λ,使得因?yàn)锳B=(2,1,0),所以(25易知BC=(?3,1,1),所以cos設(shè)平面ABC的法向量是n=(x,y,z),則n?AB=0,n?BC=0,即9.（2020河南平頂山高二期末）如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，E,F分別在棱BBA.（1,-1,3）B.（1,-1,-3）C.（2,-3,6）D.（-2,3,-6）答案：A解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,平面AEF的法向量為n=(x,y,z)則A(1,0,0),E(1,1,13),F(0,1,23則n?AE=0,n?EF=0,即y+10.（多選題）（2021福建泉州高二期中）已知平面α過點(diǎn)A(1,?1,2),且其法向量n=(2,?1,2),則下列點(diǎn)中不在平面αA.（2,3,3）B.（3,-3,4）C.（-1,2,0）D.（-2,-3,4）答案：BC解析：對(duì)于A,設(shè)Q(2,3,3),則AQ=(1,4,1),所以AQ?n=1×2+4×(?1)+1×2=0,故對(duì)于B,設(shè)R(3,?3,4),則AR=(2,?2,2),所以AR?n=2×2+(?2)×(?1)+2×2=10≠0,故對(duì)于C,設(shè)M(?1,2,0),則AM=(?2,3,?2),所以AM?n=?2×2+3×(?1)+(?2)×2=?11≠0,故對(duì)于D,設(shè)N(?2,?3,4),則AN=(?3,?2,2),所以AN?n=?3×2+(?2)×(?1)+2×2=?6+2+4=0,故11.（2021山東濟(jì)寧魚臺(tái)一中高二月考）四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面的中心,A1O⊥平面答案：(1,0,-1