2024學(xué)年景德鎮(zhèn)市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

學(xué)年景德鎮(zhèn)市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷滿分：150分考試時(shí)間：120（分鐘）2024.11第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.直線的方向向量是（）A. B. C. D.3.“”是“兩條直線，平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.定義：通過小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）來判斷降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一個(gè)圓錐形容器（如圖）接了小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨5.直線關(guān)于x=1對稱直線，直線的方程是（）A.B.C. D.6.若P是所在平面外一點(diǎn)，且，，則點(diǎn)P在所在平面內(nèi)的射影O是的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心7.四邊形ABCD是矩形，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞旋轉(zhuǎn)至與四邊形重合，則直線所成角在旋轉(zhuǎn)過程中（）A.逐步變大B.逐步變小C先變小后變大D.先變大后變小8.半球內(nèi)放三個(gè)半徑為的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的有（）A.若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成一組基，則B.若非零向量，，滿足，，則有C.“傾斜角相等”是“斜率相等”的充要條件D.若是空間的一組基，則也是空間的一組基10.用一個(gè)平面去截正方體，所得截面不可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五邊形 D.正六邊形11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)直線，的方向向量分別為，，若，則__________.13.有一根高為，底面半徑為1圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________.14.如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱長為，過其底面中心作動(dòng)平面，交線段于點(diǎn)，交，的延長線于，兩點(diǎn).則______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線．（1）若直線不經(jīng)過第一象限，求k的取值范圍；（2）若直線交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值和此時(shí)直線的方程．16.如圖，平面，，，，，．（1）求證：平面ADE；（2）求直線與平面所成角的正弦值；17.如圖，為矩形，為梯形，平面平面，，，.

（1）若M為中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與直線所成角的大?。唬?）設(shè)平面平面，試判斷l(xiāng)與平面能否垂直？并證明你的結(jié)論.18.如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)．（1）若為中點(diǎn)，求證：；（2）若平面，求線段長度的最小值．19.在空間直角坐標(biāo)系中，若平面過點(diǎn)，且平面的一個(gè)法向量為，則平面的方程為，該方程稱為平面的點(diǎn)法式方程，整理后為（其中），該方程稱為平面的一般式方程.如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，，兩兩垂直，，，直線與平面所成的角為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別是，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）求平面的一般式方程.（2）求到直線距離.（3）在棱是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.樂平三中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷滿分：150分考試時(shí)間：120（分鐘）第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，由斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C2.直線的方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率及方向向量定義判斷即可.【詳解】直線的斜率為12，所以方向向量是.故選：A.3.“”是“兩條直線，平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用直線平行的條件計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩條直線，，兩直線平行，所以“”是“兩條直線，平行”的充分條件；因?yàn)橹本€的斜率存在且為，由兩直線平行，所以的斜率存在且為，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程均為，此時(shí)直線重合，故不符合題意，舍去；所以“”是“兩條直線，平行”的充要條件.故選：C.4.定義：通過小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（）來判斷降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一個(gè)圓錐形容器（如圖）接了小時(shí)的雨水，則這天降雨屬于哪個(gè)等級（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】計(jì)算圓錐的體積，進(jìn)而可得降雨高度，即可判斷.【詳解】做出容器的軸截面，如圖所示，則，，，則為中點(diǎn)，則，，由已知在直徑為的圓柱內(nèi)的降雨總體積，則降雨高度為，所以降雨級別為中雨，故選：B.5.直線關(guān)于x=1對稱直線，直線的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知直線與直線交于點(diǎn)，求出原點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)B，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式和直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，直線與直線交于點(diǎn)，直線過原點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線l關(guān)于直線對稱，所以原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且直線l過點(diǎn)A、B，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即.故選：C6.若P是所在平面外一點(diǎn)，且，，則點(diǎn)P在所在平面內(nèi)的射影O是的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】【分析】根據(jù)且，，利用線面垂直的判定定理得到，即可.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，且，所以平面，則，同理得，所以O(shè)是的垂心．故選：D7.四邊形ABCD是矩形，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞旋轉(zhuǎn)至與四邊形重合，則直線所成角在旋轉(zhuǎn)過程中（）A.逐步變大B.逐步變小C.先變小后變大D.先變大后變小【答案】D【解析】【分析】根據(jù)初始時(shí)刻ED與BF所成角可判斷BC，由題可知在平面內(nèi)的投影一直落在直線上，進(jìn)而某一時(shí)刻，可得與所成角為，可判斷AD.【詳解】由題可知初始時(shí)刻與所成角為0，故錯(cuò)誤，在四邊形AEFD繞旋轉(zhuǎn)過程中，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故在平面內(nèi)的投影一直落在直線上，所以一定存在某一時(shí)刻，而平面，，又平面，所以平面，此時(shí)與所成角為，然后開始變小，故直線所成角在旋轉(zhuǎn)過程中先變大后變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：D.8.半球內(nèi)放三個(gè)半徑為的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件求出以三個(gè)小球球心、、構(gòu)成的三角形的外接圓半徑，再通過勾股定理求解即可.【詳解】三個(gè)小球的球心、、構(gòu)成邊長為的正三角形，則其外接圓半徑為．設(shè)半球的球心為，小球與半球底面切于點(diǎn)．如圖，經(jīng)過點(diǎn)、、作半球的截面，半圓的半徑，于點(diǎn)．則．在中，由．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的有（）A.若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成一組基，則B.若非零向量，，滿足，，則有C.“傾斜角相等”是“斜率相等”的充要條件D.若是空間的一組基，則也是空間的一組基【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線、垂直、基底、共面、傾斜角和斜率的關(guān)系、充要條件等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，∵，與任何向量都不構(gòu)成空間向量的基底，∴，只能為共線向量，∴，A對；B選項(xiàng)，取，，，顯然滿足，，但與不平行，B不對；C選項(xiàng)，傾斜角相等時(shí)，可能傾斜角都是，此時(shí)直線沒有斜率，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，∵，，為一組基底，∴對于空間任意向量，存在實(shí)數(shù)m，n，t，使，∴，，也是一組基底，D對；故選：AD10.用一個(gè)平面去截正方體，所得截面不可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五邊形 D.正六邊形【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個(gè)平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個(gè)答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項(xiàng)．【詳解】當(dāng)截面為三角形時(shí)，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；截面為四邊形時(shí)，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；當(dāng)截面為五邊形時(shí)，不可能出現(xiàn)正五邊形；截面為六邊形時(shí)，可能出現(xiàn)正六邊形，故選：ABC．11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】在選項(xiàng)A中，利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；在選項(xiàng)B中，根據(jù)線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解判斷即可；在選項(xiàng)C中，根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解判斷即可；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.【詳解】在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)直線，的方向向量分別為，，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得方程，解方程即可.【詳解】由已知，即，則，解得，故答案為：.13.有一根高為，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________.【答案】【解析】【分析】考慮圓柱的側(cè)面展開圖，將其延展一倍后矩形的對角線的長度即為鐵絲的最短長度.【詳解】如圖，把圓柱的側(cè)面展開圖再延展一倍，所以鐵絲的最短長度即為的長，又，填.【點(diǎn)睛】幾何體表面路徑最短問題，往往需要考慮幾何體的側(cè)面展開圖，把空間問題轉(zhuǎn)為平面問題來處理.14.如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱長為，過其底面中心作動(dòng)平面，交線段于點(diǎn)，交，的延長線于，兩點(diǎn).則______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算得到，再利用空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，，由為底面中心，連接，，，又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以且，所以，即，即.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：空間向量的有效運(yùn)用：空間向量是解決空間幾何問題的有力工具.通過設(shè)定向量的關(guān)系，可以有效地將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，簡化求解過程.共面條件的判斷：四點(diǎn)共面的條件在空間幾何中非常重要.利用這一條件，可以將空間中的復(fù)雜關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單的線性關(guān)系，方便求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線．（1）若直線不經(jīng)過第一象限，求k的取值范圍；（2）若直線交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值和此時(shí)直線的方程．【答案】（1）（2）的最小值為，此時(shí)直線的方程為【解析】【分析】(1)驗(yàn)證時(shí)，直線是否符合要求，當(dāng)時(shí)，將直線方程化為斜截式，結(jié)合條件列不等式求k的取值范圍；(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為，不經(jīng)過第一象限；當(dāng)時(shí)，方程可化為，要使直線不經(jīng)過第一象限，則解得．綜上，k的取值范圍為．【小問2詳解】由題意可得，由取得，取得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，綜上，此時(shí)，直線的方程為．16.如圖，平面，，，，，．（1）求證：平面ADE；（2）求直線與平面所成角的正弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可利用面面平行的判定定理證明平面平面ADE，再由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由幾何體特征建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出直線的方向向量與平面的法向量，即可求出直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由，平面，平面，則平面，由，平面，平面，則平面，而，平面，故平面平面，又平面BCF，則平面；【小問2詳解】平面ABCD，平面，則，，又，以為原點(diǎn)，分別以為軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又，，所以，，，，則，，，令平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．17.如圖，為矩形，為梯形，平面平面，，，.

（1）若M為中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與直線所成角的大?。唬?）設(shè)平面平面，試判斷l(xiāng)與平面能否垂直？并證明你的結(jié)論.【答案】（1）證明見解析（2）（3）能垂直，證明見解析【解析】【分析】（1）先證明，再利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用線線平行可得是直線與直線所成角，利用面面垂直可得，結(jié)合已知條件可得，利用線面垂直可得，可得出的值，即可求解.（3）根據(jù)題意可得，利用平行的傳遞性，可證明平面.【小問1詳解】連結(jié)，交于，連接，∵為矩形，∴為的中點(diǎn)，在中，，分別為，的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槊?，面，所以平?【小問2詳解】∵，∴，∴是直線與直線所成角.∵矩形，∴，∵平面平面，又平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，，在中，∵，，∴，∵，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，在中，∵，∴，∴，從而直線與直線所成的角為；【小問3詳解】l與平面垂直.證明如下：∵為矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，∵平面平面，∴，則，由（2）可知平面，∴平面.18.如圖，平行六面體所有棱長均為，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)．（1）若為中點(diǎn)，求證：；（2）若平面，求線段長度的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由條件先求，，，再證明，由此完成證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求平面的法向量和直線的方向向量，由條件列方程確定的關(guān)系，再求的最小值即可.【小問1詳解】由已知，，，，所以，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所