2020年廣東省深圳市第七屆“鵬程杯”八年級邀請賽數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020年廣東省深圳市第七屆“鵬程杯”八年級邀請賽數(shù)學試卷一、選擇題（滿分36分，每小題6分，將你選擇的答案寫在題后的圓括號內(nèi)）1．（6分）不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的是（）A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣4n2 C．3m4﹣2m2﹣5 D．m2+2mn+n2﹣12．（6分）已知關(guān)于x的分式方程﹣2＝的解為正數(shù)（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠13．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的平分線，AB＝4，BC＝6（）A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：24．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，點P為邊AB上一動點（且點P不與點A，B重合），PE⊥BC于E，點M為EF的中點，則PM的最小值為（）A．3 B． C．2 D．5．（6分）[a]表示不超過a的最大整數(shù)．若實數(shù)a滿足方程，則[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5，點E是直線AB、CD之間任意一點，連接AE、BE、CE、DE（）A．36 B．30 C．15 D．12二、填空題（滿分48分，每小題8分，將你的答案寫在題后的橫劃線處）7．（8分）已知9+與9﹣的小數(shù)部分分別是a和b．8．（8分）已知△ABC的三邊a、b、c滿足a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc2＝0，則△ABC的形狀是．9．（8分）使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是．10．（8分）如圖，在△ABC中，高AD和BE交于點H，則∠ABC＝．11．（8分）已知﹣＝2，則+的值為．12．（8分）如圖△ABC中，AB＝AC，BC＝2，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長線于點E、F，則S△GPE﹣S△GAF的值為．三、解答題（滿分66分，第13-15題16分，第16題18分）13．（16分）已知，其中x、y、z互不相等，求證：x2y2z2＝1．14．（16分）將15個相同的小球放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，求每個盒子放入的球的個數(shù)不小于它的編號數(shù)的放法有多少種？15．（16分）已知如圖1，在△ABC中，高BD、CE交于點H（1）求證：∠ADE＝∠ABC；（2）如圖2，連結(jié)AH分別交DE、BC于G、F，若AH＝4，求AG的長．16．（18分）n個人參加象棋循環(huán)賽，每兩人都對弈一局且決出勝負．（1）求總共對弈多少局？（2）證明：比賽結(jié)束后，一定可以將這n個人列為一隊，使得隊列中的每一個人都戰(zhàn)勝了緊跟在他后面的那個人！

2020年廣東省深圳市第七屆“鵬程杯”八年級邀請賽數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（滿分36分，每小題6分，將你選擇的答案寫在題后的圓括號內(nèi)）1．（6分）不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的是（）A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣4n2 C．3m4﹣2m2﹣5 D．m2+2mn+n2﹣1【解答】解：A、﹣m2+n2＝n8﹣m2＝（n+m）（n﹣m），能分解因式；B、不能因式分解；C、利用十字相乘法能分解因式；D、利用分組分解法和公式法能分解因式．故選：B．2．（6分）已知關(guān)于x的分式方程﹣2＝的解為正數(shù)（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【解答】解：∵＝7，∴＝2，∴x＝2+k，∵該分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣3，∵x＞0，∴2+k＞6，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣6，故選：B．3．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的平分線，AB＝4，BC＝6（）A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCE＝∠DEC，∵CE是∠DCB的平分線，∴∠BCE＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴ED＝CD＝AB＝4，∵F是AD的中點，DF＝BC＝，∴EF＝ED﹣DF＝4﹣3＝1，∴AE＝AD﹣EF﹣DF＝6﹣3﹣3＝2，∴AE：EF：DF＝2：1：3，故選：B．4．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，點P為邊AB上一動點（且點P不與點A，B重合），PE⊥BC于E，點M為EF的中點，則PM的最小值為（）A．3 B． C．2 D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，∴BC＝＝3，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC＝∠PFC＝∠EPF＝90°，∴四邊形CEPF是矩形，∵M是EF的中點，∴延長PM經(jīng)過點C，∴EF＝CP，PM＝PC，當PC⊥AB時，PC＝，∴PM的最小值為，故選：D．5．（6分）[a]表示不超過a的最大整數(shù)．若實數(shù)a滿足方程，則[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題意得，1﹣，a﹣0．∵a＝+，∴＝a﹣，兩邊平方得：a﹣＝a8﹣2a+1﹣，整理得：a2﹣a+1＝2a，兩邊都除以a，得：a﹣1+，兩邊平方得：a5+1+﹣2a+2﹣，整理得：（a﹣1）7﹣2（1﹣）+，∴（a﹣6﹣）2＝6，∴a﹣1﹣＝8，∴a2﹣a﹣1＝4，解得：a＝，∵a＞0．∴a＝≈1.618，∴[a]＝2．故選：A．6．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5，點E是直線AB、CD之間任意一點，連接AE、BE、CE、DE（）A．36 B．30 C．15 D．12【解答】解：連接BD交AC于點O，∵AB＝BC＝CD＝DA＝5，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝×5＝3，∵AB＝5，∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝7，∴BD＝2OB＝2×3＝8，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝，過點E作EF⊥AB交AB的延長線于點F，交DC的延長線于點G，∵AB∥CD，∠F＝90°，∴∠G＝180°﹣∠F＝90°，∴EG⊥CD，∴S△EAB+S△ECD＝AB?EF+CD?FG＝S菱形ABCD＝×24＝12，故選：D．二、填空題（滿分48分，每小題8分，將你的答案寫在題后的橫劃線處）7．（8分）已知9+與9﹣的小數(shù)部分分別是a和b8．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜3，∴12＜9+＜13＜﹣3，∴a＝5+﹣12＝，5＜9﹣，∴b＝3﹣﹣5＝4﹣，∴原式＝（﹣4）×（4﹣﹣3）+8×（4﹣＝4﹣13﹣12+6+9+16﹣4＝4．故答案為：8．8．（8分）已知△ABC的三邊a、b、c滿足a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc2＝0，則△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a3﹣a2b+ab8﹣ac2﹣b3+bc6＝0，∴（a3+ab8﹣ac2）﹣（a2b+b6﹣bc2）＝0．∴a（a4+b2﹣c2）﹣b（a4+b2﹣c2）＝6．∴（a﹣b）（a2+b2﹣c8）＝0．∴a﹣b＝0或a4+b2﹣c2＝6．即a＝b或a2+b2＝c4．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．故答案為：等腰三角形或直角三角形．9．（8分）使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是22．【解答】解：∵原式＝＝x﹣1+，∴使得代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x分別為0、6、2、3、2，∴全體自然數(shù)x的和是0+1+7+3+5+11＝22．故答案為22．10．（8分）如圖，在△ABC中，高AD和BE交于點H，則∠ABC＝45°．【解答】解：∵△ABC為銳角三角形，∴高AD和BE在三角形內(nèi)．∵高AD和BE交于點H，∴∠ADC＝∠BEC＝90°．∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∴∠EAD＝∠EBD，又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案為45°11．（8分）已知﹣＝2，則+的值為5．【解答】解：∵﹣＝5，∴＝+4，兩邊平方得，25﹣x2＝4+15﹣x4+4，∴4＝3，兩邊平方得7（15﹣x2）＝9，化簡，得x2＝，∴+＝+＝5．故答案為：8．12．（8分）如圖△ABC中，AB＝AC，BC＝2，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長線于點E、F，則S△GPE﹣S△GAF的值為1．【解答】解：∵∠BAC＝90°，P是BC的中點，∴AP＝PB，AP⊥BC，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝∠APC＝90°，∵∠APF＝90°﹣∠GPB，∠BPE＝90°﹣∠GPB，∠PBE＝90°+∠PAB，∴∠APF＝∠BPE，∠PAF＝∠PBE，在△APF和△BPE中，，∴△APF≌△BPE（AAS），∴S△APF＝S△PBE，∴S△GPE﹣S△AGF＝S△PAF+△PGB﹣S△AGF＝S△PAG+S△PGB＝S△PAB＝S△ABC，∵AB＝AC，BC＝8，∴AB＝AC＝2，∴S△ABC＝AB?AC＝，∴S△PGE﹣S△PAG＝S△ABC＝×2＝8．故答案為：1．三、解答題（滿分66分，第13-15題16分，第16題18分）13．（16分）已知，其中x、y、z互不相等，求證：x2y2z2＝1．【解答】解：由可得：x﹣y＝﹣，同理，zx＝，∴x6y2z2＝××＝2．故結(jié)論得證．14．（16分）將15個相同的小球放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，求每個盒子放入的球的個數(shù)不小于它的編號數(shù)的放法有多少種？【解答】解：先在編號為2，3的盒內(nèi)分別放入6個，還剩12個小球，三個盒內(nèi)每個至少再放入1個，將12個球排成一排，有11個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中，共有＝55種方法．15．（16分）已知如圖1，在△ABC中，高BD、CE交于點H（1）求證：∠ADE＝∠ABC；（2）如圖2，連結(jié)AH分別交DE、BC于G、F，若AH＝4，求AG的長．【解答】（1）證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABD，∴，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC；（2）解：如圖2，過點E作EM⊥BD于M，∵BE⊥EC，DN⊥EC，∴∠BEH＝∠DNH＝90°，又∵∠EHB＝∠DHN，∴△BEH∽△DNH，∴＝，同理可得：，∵＝＝，＝＝，∴＝，＝，∴?＝?＝，同理可得：?＝?＝，∴＝，即，∴，∴＝，∴AG＝3．16．（18分）n個人參加象棋循環(huán)賽，每兩人都對弈一局且決出勝負．（1）求總共對弈多少局？（2）證明：比賽結(jié)束后，一定可以將這n個人列為一隊，使得隊列中的每一個人都戰(zhàn)勝了緊跟在他后面的那個