數(shù)值分析第七章非線性方程求根習(xí)題答案

...wd......wd......wd...第七章非線性方程求根〔一〕問(wèn)題簡(jiǎn)介求單變量函數(shù)方程(7.1)的根是指求〔實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)〕，使得.稱為方程(7.1)的根,也稱為函數(shù)的零點(diǎn).假設(shè)可以分解為其中m為正整數(shù),滿足,則是方程(7.1)的根.當(dāng)m=1時(shí),稱為單根;當(dāng)m>1時(shí),稱為m重根.假設(shè)充分光滑,是方程(7.1)的m重根,則有假設(shè)在[a,b]上連續(xù)且,則方程(7.1)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根,稱[a,b]為方程(7.1)的有根區(qū)間.有根區(qū)間可通過(guò)函數(shù)作圖法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的幾種常用方法1.二分法設(shè)在[a,b]上連續(xù),,則在(a,b)內(nèi)有根.再設(shè)在(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)根.令,計(jì)算和.假設(shè)則,完畢計(jì)算;假設(shè),則令,得新的有根區(qū)間;假設(shè),則令,得新的有根區(qū)間.,.再令計(jì)算,同上法得出新的有根區(qū)間,如此反復(fù)進(jìn)展,可得一有根區(qū)間套且.故因此,可作為的近似根,且有誤差估計(jì)(7.2)2.迭代法將方程式(7.1)等價(jià)變形為(7.3)假設(shè)要求滿足則;反之亦然.稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).求方程(7.1)的根等價(jià)于求的不動(dòng)點(diǎn)由式(7.3)產(chǎn)生的不動(dòng)點(diǎn)迭代關(guān)系式(也稱簡(jiǎn)單迭代法)為(7.4)函數(shù)稱為迭代函數(shù).如果對(duì)任意,由式(7.4)產(chǎn)生的序列有極限則稱不動(dòng)點(diǎn)迭代法(7.4)收斂.定理7.1(不動(dòng)點(diǎn)存在性定理)設(shè)滿足以下兩個(gè)條件:1.對(duì)任意有2.存在正常數(shù),使對(duì)任意,都有(7.5)則在上存在惟一的不動(dòng)點(diǎn).定理7.2(不動(dòng)點(diǎn)迭代法的全局收斂性定理)設(shè)滿足定理7.1中的兩個(gè)條件,則對(duì)任意,由(7.4)式得到的迭代序列收斂.到的不動(dòng)點(diǎn),并有誤差估計(jì)式(7.6)和(7.7)定理7.3(不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性定理)設(shè)為的不動(dòng)點(diǎn),在的某個(gè)鄰域連續(xù),且,則迭代法(7.4)局部收斂.收斂階的概念設(shè)迭代過(guò)程(7.4)收斂于方程的根,如果迭代誤差當(dāng)時(shí)成產(chǎn)以下漸近關(guān)系式(7.8)則稱該迭代過(guò)程是p階收斂的.特別地,p=1時(shí)稱線性收斂,p>1時(shí)稱超線性收斂,p=2時(shí)稱平方收斂.定理7.4(收斂階定理)對(duì)于迭代過(guò)程(7.4),如果在所求根的鄰近連續(xù),并且(7.9)則該迭代過(guò)程在點(diǎn)的鄰近是收斂的,并有(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)迭代法(7.4)只有線性收斂階,甚至于不收斂時(shí),可用斯蒂芬森迭代法進(jìn)展加速.具體公式為(7.11)此法也可寫(xiě)成如下不動(dòng)點(diǎn)迭代式(7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收斂定理)設(shè)為式(7.12)中的不動(dòng)點(diǎn),則是的不動(dòng)點(diǎn);設(shè)存在,,則是的不動(dòng)點(diǎn),則斯蒂芬森迭代法(7.11)是2階收斂的.3.牛頓迭代法牛頓迭代法是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代法,其計(jì)算公式為其迭代函數(shù)為(7.13)牛頓迭代法的收斂速度當(dāng)時(shí),容易證明,,,由定理7.4知,牛頓迭代法是平方收斂的,且(7.14)重根情形的牛頓迭代法當(dāng)是的m重根時(shí),迭代函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),且.所以牛頓迭代法求重根只是線性收斂.假設(shè)的重?cái)?shù)m知道,則迭代式(7.15)求重根二階收斂.當(dāng)m未知時(shí),一定是函數(shù)的單重零點(diǎn),此時(shí)迭代式(7.16)也是二階收斂的.簡(jiǎn)化牛頓法如下迭代法稱為簡(jiǎn)化牛頓法或平行弦法.牛頓下山法為防止迭代不收斂,可采用牛頓下山法.具體方法見(jiàn)教材.4.弦截法將牛頓迭代法(7.13)中的用在,處的一階差商來(lái)代替,即可得弦截法(7.17)定理7.6假設(shè)在其零點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意有,又初值,,則當(dāng)鄰域充分小時(shí),弦截法(7.17)將按階收斂到.這里p是方程的正根.5.拋物線法弦截法可以理解為用過(guò)兩點(diǎn)的直線方程的根近似替的根.假設(shè)的三個(gè)近似根,,用過(guò)的拋物線方程的根近似代替的根,所得的迭代法稱為拋物線法,也稱密勒(Muller)法.當(dāng)在的鄰近有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,則拋物線法局部收斂,且收斂階為.二、知識(shí)構(gòu)造圖表7-1k0123456789111.251.251.31251.31251.31251.32041.32431.324321.51.51.3751.3751.134381.32821.32821.32821.32631.51.251.3751.31251.34381.32821.32041.32431.32631.3253+-+-++--++表7-2k012342.52.0820849992.1246700042.1194723872.1200949760.4179150010.0425850050.00051976170.000622589表7-3k01234543.5642375873.3919951683.3541248273.3483333843.3475299030.4357624130.1722424190.0378703410.0057914430.000803481此時(shí)已滿足誤差要求，即〔3〕由于，故根據(jù)定理7.4知方法是線性收斂的，并且有。例7-4對(duì)于迭代函數(shù)，試討論：〔1〕當(dāng)C為何值時(shí)，產(chǎn)生的序列收斂于；〔2〕C為何值時(shí)收斂最快〔3〕分別取，，計(jì)算的不動(dòng)點(diǎn)，要求解：〔1〕，，根據(jù)定理7.3，當(dāng)，亦即時(shí)迭代收斂。〔2〕由定理7.4知，當(dāng)，即時(shí)迭代至少是二階收斂的，收斂最快。〔3〕分別取，并取，迭代計(jì)算結(jié)果如表7-4所示。表7-401612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此時(shí)都到達(dá).事實(shí)上,例7-5給定初值以及迭代公式,常數(shù)證明:(1)該迭代函數(shù)是二階收斂的;(2)該迭代產(chǎn)生的序列收斂的充要條件是．解:(1)顯然,迭代函數(shù)為,且,即是的不動(dòng)點(diǎn).又,所以,，由定理7.4知，迭代是二階收斂的，且．〔２〕因，令，則然而故由此可知等價(jià)于，而又等價(jià)于，即．注〔１〕的結(jié)論也可以直接用二階收斂函數(shù)的定義去證明．另外，此題迭代式實(shí)際上是對(duì)使用牛頓迭代法而得．例7-6對(duì)為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),驗(yàn)證迭代對(duì)任意不收斂,但改用斯蒂芬森迭代卻是收斂的,并說(shuō)明斯蒂芬森迭代計(jì)算的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)的收斂階.解由于,當(dāng)時(shí),且有,介于與0之間,假設(shè),迭代不收斂.假設(shè)改用斯蒂芬森迭代(7.12),可得,根據(jù)定理7.3,斯蒂芬森迭代法收斂.由于,故用斯蒂芬森迭代計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)時(shí),收斂階.(請(qǐng)讀者注意,這一結(jié)論與定理7.5的結(jié)論是否矛盾?)例7-7當(dāng)R取適當(dāng)值時(shí),曲線與相切,試用迭法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值,要求不少于四位有效數(shù)字,且不必求R.解的導(dǎo)數(shù),由確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足,由兩曲線相切的條件,可得即令,則在內(nèi)有實(shí)根.又,故僅有一個(gè)根,構(gòu)造迭代公式,則當(dāng)時(shí),.故迭代收斂.取,計(jì)算結(jié)果如表7-5所示.表7-5011.51.4812480.018752231.4826711.4825630.001423由于,故可取,即可保證兩曲線切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值具有四位有效數(shù)字.例7-8曲線與在點(diǎn)附近相切,試用牛頓迭代法求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值,使.解兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別為和,兩曲線相切,導(dǎo)數(shù)相等,故有令,則,故區(qū)間是的有根區(qū)間.又當(dāng)時(shí),,因此在上有惟一實(shí)根.對(duì)應(yīng)用牛頓迭代法,得計(jì)算公式由于,故取迭代計(jì)算一定收斂,計(jì)算結(jié)果如表7-6所示.表7-60122.02.2930555561.8177835923451.7068152871.7000256111.7繼續(xù)計(jì)算仍得,故.注此題也可令,解得切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足方程,用有重根時(shí)的牛頓迭代法(7.15)式計(jì)算,此時(shí).仍取,經(jīng)四步可得.例7-9(牛頓迭代法收斂定理)設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足條件(1)(2)在上(3)滿足.則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于在內(nèi)的惟一實(shí)根,并且是平方收斂的.證明因在上連續(xù),由條件(1)知,方程在內(nèi)有根.又由于條件(2)知在上恒正或恒負(fù),所以在上嚴(yán)格單調(diào),因而是在內(nèi)的惟一實(shí)根.條件(1),(2)共有四種情形:(1)(2)(3)(4)僅就(1)進(jìn)展定理證明,其余三種情況的證明方法是類似的.由可知,再由知單增且.又由牛頓迭代法知又臺(tái)勞展開(kāi)得其中介于與之間.利用,得由以及前面證明的,有一般地,設(shè),則必有且同樣由臺(tái)勞公式及,得根據(jù)歸納法原理知,數(shù)列單調(diào)下降有下界,因此有極限.設(shè).對(duì)迭代式兩端取的極限,并利用.的連續(xù)性知,即.由上述證明知,有關(guān)系式,即對(duì)于單根,牛頓迭代法是平方收斂的.例7-10設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明解牛頓迭代法為故其中介于與之間,介于與之間,根據(jù)式(7.14)得例7-11設(shè)具有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù),是的重根是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列,證明(1)(2)(3)證明(1)因是的重根,則可以表示成所以由牛頓迭代法得故(2)利用及(1)的結(jié)論得(3)先證明牛頓迭代函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)因是的重零點(diǎn),則由假設(shè),具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),得且其中介于與之間,故有而所以注結(jié)論(1)和都說(shuō)明牛頓迭代法求重根時(shí)僅為線性收斂.結(jié)論(3)可以用來(lái)計(jì)算重根數(shù).例7-12考慮以下修正的牛頓公式(單點(diǎn)斯蒂芬森方法)設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),,試證明該方法是二階收斂的.證明將在處作臺(tái)勞展開(kāi),得其中介于與之間,于是由于是的單根,故所以故即迭代法是二階收斂的.四、學(xué)習(xí)效果測(cè)試題及答案1、證明方程在內(nèi)有一個(gè)實(shí)根,并用二分法求這個(gè)根.假設(shè)要求,需二分區(qū)間多少次?(答案:當(dāng)時(shí)對(duì)分次數(shù).)2、對(duì)方程,確定及,使對(duì)任意均收斂,并求出方程的各個(gè)根,誤差不超過(guò).(答案:(1);(2);(3))3、建設(shè)一個(gè)迭代公式計(jì)算,分析迭代的收斂性,取,計(jì)算.(答案:.)4、試分別采用和的斯蒂芬森迭代法求方程在區(qū)間內(nèi)的根,要求.(答案:取,其解分別為和.)5、由方程求二重根,試用牛頓法(7.13),有重根時(shí)的牛頓法(7.15),(7.16)計(jì)算,要求.(答案:三種方法均取,分別得)6、用弦切法求方程的根,要求.(答案:取,用式(7.17)得.)7、用拋物線法求解方程在附近的根,要求.(答案:取)8、試構(gòu)造一個(gè)求方程根的收斂的迭代格式,要求說(shuō)明收斂理由,并求根的近似值,使.(答案:有根區(qū)間,不動(dòng)點(diǎn)迭代式,取.另外,也可用牛頓迭代法求解得)9、試確定常數(shù),使迭代公式產(chǎn)生的序列收斂到,并使其收斂階盡可能高.(答案:利用定理7.4可得,且,此時(shí)迭代法三階收斂.)10、,試確定函數(shù)和,使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.(答案:利用定理(7.4)可得)五、課后習(xí)題全解1、用二分法求方程的正根,要求誤差小于0.05.解設(shè),故[1,2]為的有根區(qū)間.又,故當(dāng)時(shí),單增,當(dāng)時(shí)單增.而,由單調(diào)性知的惟一正根.根據(jù)二分法的誤差估計(jì)式(7.2)知要求誤差小于0.05,只需,解得,故至少應(yīng)二分6次.具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-7.表7-701234511.51.51.51.56251.59375221.751.6251.6251.6251.51.751.6251.56251.593751.609375-++----即.2、為求在附近的一個(gè)根,設(shè)將方程改寫(xiě)成以下等價(jià)形式,并建設(shè)相應(yīng)的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性,并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根.解取的鄰域[1.3,1.6]來(lái)考察.(1)當(dāng)時(shí),,故迭代公式在上整體收斂.(2)當(dāng)時(shí)故在[1.3,1.6]上整體收斂.(3)故發(fā)散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式計(jì)算.要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字,只需即取計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-8.表7-81231.4812480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820由于,故可取.3、對(duì)比求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量:(1)在區(qū)間[0,1]內(nèi)用二分法;(2)用迭代法,取初值.解(1)因,故,用二分法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-9.表7-90123456789101112131400000.06250.06250.07781250.08593750.089843750.089843750.089843750.0903320310.0903320310.0904541010.09051513610.50.250.1250.1250.093750.093750.093750.093750.0917968750.0908203120.0908203120.0905761710.0905761710.0905761710.50.250.1250.06250.093750.0781250.08593750.089843750.0917968750.0908203120.0903320310.0905761710.0904541010.0905151360.090545653+++-+---++-+--+0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.003906250.0019531250.0009765620.0004882810.000244140.000122070.0000610350.000030517此時(shí)具有三位有效數(shù)字.(2)當(dāng)時(shí),,故迭代試在[0,0.5]上整體收斂.取,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-10所示.表7-101230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951此時(shí),故準(zhǔn)確到三位小數(shù).4、給定函數(shù),設(shè)對(duì)一切,存在且,證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù),迭代過(guò)程均收斂于的根.證明由于,為單增函數(shù),故方程的根是惟一的(假定方程有根).迭代函數(shù),.由及得,,故,由此可得即.5、用斯蒂芬森迭代法計(jì)算第2題中(2)的近似根,準(zhǔn)確到.解記第2題中(2)的迭代函數(shù),(3)的迭代函數(shù)為,利用迭代式(7.11),計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-11.表7-1101231.51.4655584851.4655712331.465571232012341.51.4673422861.4655760851.4655712321.4655712326、設(shè),試確定函數(shù)和,使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂.解要求三階收斂到的根,根據(jù)定理7.4,應(yīng)有.于是由得故取即迭代至少三階收斂.7、用以下方法求在附近的根.根的準(zhǔn)確值,要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字.(1)用牛頓法;(2)用弦截法,取;(3)用拋物線法,取.解,對(duì)(1)取,用牛頓迭代法計(jì)算得,故.(2)取,利用弦截法得,,故取.(3).拋物線法的迭代式為迭代結(jié)果為:已達(dá)四位有效數(shù)字.8、分別用二分法和牛頓迭代法求的最小正根.解顯然滿足.另外當(dāng)較小時(shí),,故當(dāng)時(shí),,因此,方程的最小正根應(yīng)在內(nèi).記,容易算得,因此[4,4.6]是的有限區(qū)間.對(duì)于二分法,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-12.表7-1201234567894.04.34.454.454.48754.48754.48754.49218754.49218754.4933593754.64.64.64.5254.5254.506254.4968754.4968754.494531254.494531254.34.454.5254.48754.506254.4968754.49218754.494531254.4933593754.493445313++-+--+-+-此時(shí).假設(shè)用牛頓迭代法求解,由于,故取,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-13所示.表7-131234.5457321224.5061455884.494171634564.